2025年高考数学一轮复习课时作业-等比数列【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-等比数列【含解析】，共8页。

1.(5分)在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6=( )
A.6B.-8或8
2.(5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21B.42C.63D.84
3.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+16,则a的值为( )
A.-13B.13C.-12D.12
4.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为22,则lg2a7+lg2a11的值为( )
A.1B.2C.3D.4
【加练备选】
设等比数列{an}的公比为q>0,且q≠1,Sn为数列{an}的前n项和,记Tn=anSn,则( )
A.T3≤T6B.T3C.T3≥T6D.T3>T6
5.(5分)已知数列{an}为等比数列,且a2a10=4a6,Sn为等差数列{bn}的前n项和,且S6=S10,a6=b7,则b9=( )
A.43B.-43C.-83D.-4
6.(5分)(多选题)设等比数列{an}的公比为q,则下列说法正确的是( )
A.数列{anan+1}是公比为q2的等比数列
B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列
C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列
D.数列1an是公比为1q的等比数列
7.(5分)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2= .
8.(5分)已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=14,
则a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2= .
9.(5分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a2+2a3=6,则公比q= ,S4= .
10.(10分)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+2n-3.
(1)若bn=an+2n-1,证明:数列{bn}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
11.(10分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.
(1)证明:a1=b1;
(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数.
【能力提升练】
12.(5分)(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a9a10>1,a9-1a10-1<0,则下列结论正确的是( )
A.01
C.Sn的最大值为S10D.Tn的最大值为T9
13.(5分)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若S10S5=242243,则公比q= .
14.(10分)已知公比不为1的等比数列{an}满足a1+a3=5,且a1,a3,a2构成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,求使Sk>238成立的最大正整数k的值.
2025年高考数学一轮复习课时作业- 等比数列【解析版】 (时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6=( )
A.6B.-8或8
C.-8D.8
【解析】选D.因为a1·a3=a22=4,所以a2=±2.
当a2=-2时,a32=a2·a4<0无意义,
所以a2=2,所以q2=a4a2=2,
所以a6=a4·q2=4×2=8.
2.(5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21B.42C.63D.84
【解析】选B.设数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,
又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),
所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.
3.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+16,则a的值为( )
A.-13B.13C.-12D.12
【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+16,
又因为数列{an}是等比数列,所以a+16=a2,所以a=-13.
4.(5分)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为22,则lg2a7+lg2a11的值为( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选C.由题意得a4a14=(22)2=8,
由等比数列的性质,得a4a14=a7a11=8,
所以lg2a7+lg2a11=lg2(a7a11)=lg28=3.
【加练备选】
设等比数列{an}的公比为q>0,且q≠1,Sn为数列{an}的前n项和,记Tn=anSn,则( )
A.T3≤T6B.T3C.T3≥T6D.T3>T6
【解析】选D.T6-T3=a6(1-q)a1(1-q6)-a3(1-q)a1(1-q3)=q5(1-q)1-q6-q2(1-q)1-q3=-q2(1-q)1-q6,
由于q>0且q≠1,所以1-q与1-q6同号,所以T6-T3<0,所以T65.(5分)已知数列{an}为等比数列,且a2a10=4a6,Sn为等差数列{bn}的前n项和,且S6=S10,a6=b7,则b9=( )
A.43B.-43C.-83D.-4
【解析】选B.因为数列{an}为等比数列,且a2a10=4a6,
所以a62=4a6,解得a6=4.
设等差数列{bn}的公差为d,因为S6=S10,
所以b7+b8+b9+b10=0,则b7+b10=0.
因为a6=b7=4,所以b10=-4,
所以3d=b10-b7=-4-4=-8,所以d=-83,
所以b9=b7+2d=4+2×(-83)=-43.
6.(5分)(多选题)设等比数列{an}的公比为q,则下列说法正确的是( )
A.数列{anan+1}是公比为q2的等比数列
B.数列{an+an+1}是公比为q的等比数列
C.数列{an-an+1}是公比为q的等比数列
D.数列1an是公比为1q的等比数列
【解析】选AD.对于A,由anan+1an-1an=q2(n≥2)知数列{anan+1}是公比为q2的等比数列;
对于B,当q=-1时,数列{an+an+1}的项中有0,不是等比数列;
对于C,当q=1时,数列{an-an+1}的项中有0,不是等比数列;
对于D,1an+11an=anan+1=1q,
所以数列1an是公比为1q的等比数列.
7.(5分)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2= .
【解析】设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由题意得-1+3d=-q3=8⇒d=3,q=-2⇒a2b2=-1+3-1×(-2)=1.
答案:1
8.(5分)已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=14,
则a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2= .
【解析】设数列{an}的公比为q,则q3=a5a2=18,解得q=12,a1=a2q=4,a3=a2q=1.
易知数列{anan+1an+2}是首项为a1a2a3=4×2×1=8,公比为q3=18的等比数列,
所以a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=8(1-18n)1-18=647(1-2-3n).
答案:647(1-2-3n)
9.(5分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a2+2a3=6,则公比q= ,S4= .
【解析】由题意,数列{an}是各项均为正数的等比数列,
由a1=6,a2+2a3=6,可得a1q+2a1q2=6q+12q2=6,
即2q2+q-1=0,解得q=12或q=-1(舍去).
由等比数列的前n项和公式,可得S4=6×[1-(12) 4]1-12=454.
答案:12 454
10.(10分)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+2n-3.
(1)若bn=an+2n-1,证明:数列{bn}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】(1)因为an+1=2an+2n-3,bn=an+2n-1,
所以bn+1bn=an+1+2n+1an+2n-1=2an+4n-2an+2n-1=2.
又b1=a1+2-1=2,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)可知,bn=2n,则an=2n-2n+1,
Sn=21-1+22-3+…+2n-2n+1=21+22+…+2n-(1+3+…+2n-1)
=2-2n+11-2-n(1+2n-1)2=2n+1-n2-2.
11.(10分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.
(1)证明:a1=b1;
(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,
由a2-b2=a3-b3得a1+d-2b1=a1+2d-4b1,即d=2b1,
由a2-b2=b4-a4得a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),即a1=5b1-2d,
将d=2b1代入,得a1=5b1-2×2b1=b1,即a1=b1.
【解析】(2)由(1)知an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)×2b1=(2n-1)a1,bn=b1·2n-1,
由bk=am+a1,得b1·2k-1=(2m-1)a1+a1,
由a1=b1≠0得2k-1=2m,
由题知1≤m≤500,所以2≤2m≤1 000,
所以k=2,3,4,…,10,共9个数,
即集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}={2,3,4,…,10}中元素的个数为9.
【能力提升练】
12.(5分)(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a9a10>1,a9-1a10-1<0,则下列结论正确的是( )
A.01
C.Sn的最大值为S10D.Tn的最大值为T9
【解析】选AD.由题意得a9>1>a10>a11…,
所以013.(5分)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若S10S5=242243,则公比q= .
【解析】由S10S5=242243,a1=-1,
知公比q≠1,S10-S5S5=-1243.
由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5=-1243,所以q=-13.
答案:-13
14.(10分)已知公比不为1的等比数列{an}满足a1+a3=5,且a1,a3,a2构成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,求使Sk>238成立的最大正整数k的值.
【解析】(1)设公比为q.由题意得a1+a2=2a3,所以a1(1+q-2q2)=0,
又因为a1≠0,所以q=-12或1(舍去),
因为a1+a3=5,所以a1(1+q2)=5,所以a1=4,所以an=4·(-12)n-1.
(2)Sn=4[1-(-12) n]1-(-12)=83[1-(-12)n].
因为Sk>238,所以83[1-(-12)k]>238,所以564<-(-12)k,
显然,k为奇数,即(12)k>564>464=(12)4.
解得k≤3,所以满足条件的最大正整数k的值为3.