2025年高考数学一轮复习课时作业-空间直线、平面的垂直【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-空间直线、平面的垂直【含解析】，共18页。
1.(5分)(多选题)若m,n,l为空间三条不同的直线,α,β,γ为空间三个不同的平面,则下列为真命题的是( )
A.若m⊥l,n∥l,则m⊥n
B.若m⊥β,m∥α,则α⊥β
C.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
D.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β
2.(5分)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是( )
A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α
B.l⊥m,m∥α
C.α⊥β,l∥β
D.l∥m,m⊥α
3.(5分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
4.(5分)如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC,垂足为S,AN⊥PB,垂足为N,则下列结论不正确的是( )
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
5.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A?BCD,则在三棱锥A?BCD中,下列结论正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
6.(5分)(多选题)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则下列结论可能正确的有( )
A.DF⊥BC
B.BD⊥FC
C.平面BDF⊥平面BCF
D.平面DCF⊥平面BCF
【加练备选】
(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AE⊥PC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中正确的是( )
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
7.(5分)如图所示是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中,棱 所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.(注:填上你认为正确的一条棱即可,不必考虑所有可能的情况)
8.(5分)在正方体ABCD?A1B1C1D1中,N为底面ABCD对角线的交点,P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
(1)CM与PN是异面直线;
(2)若P为棱A1D1的中点,则|CM|>|PN|;
(3)过P,A,C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形;
(4)平面PAN⊥平面BDD1B1.
9.(5分)在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,请写出一个与A1O垂直的正方体的截面: .
10.(10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).
(1)判断四边形BCEF是否是平面四边形,并写出判断理由;
(2)当EF⊥CF时,求证:平面ADEF⊥平面ABCD.
【能力提升练】
11.(5分)《九章算术》中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,点E,F分别为线段PB,PC的中点.下列说法正确的是( )
A.四面体E-BCD和四面体F-BCD都是鳖臑
B.四面体E-BCD和四面体F-BCD都不是鳖臑
C.四面体E-BCD是鳖臑,四面体F-BCD不是鳖臑
D.四面体E-BCD不是鳖臑,四面体F-BCD是鳖臑
12.(5分)正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB和CD的中点,将正方形沿EF折成直二面角如图所示,M为矩形AEFD内的一点,MO⊥EF于点O,如果∠MBE=∠MBC,tan∠MBO=12,那么线段MO的长为 .
13.(10分)如图所示,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAD;
(2)求证:AD⊥PB;
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
2025年高考数学一轮复习课时作业-空间直线、平面的垂直【解析版】(时间:45分钟 分值:75分)
【基础落实练】
1.(5分)(多选题)若m,n,l为空间三条不同的直线,α,β,γ为空间三个不同的平面,则下列为真命题的是( )
A.若m⊥l,n∥l,则m⊥n
B.若m⊥β,m∥α,则α⊥β
C.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
D.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β
【解析】选AB.C中,α与β可能平行或相交;
D中,α与β可能平行或相交.
2.(5分)已知α,β是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l⊥α的是( )
A.l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α
B.l⊥m,m∥α
C.α⊥β,l∥β
D.l∥m,m⊥α
【解析】选D.对于A,l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l与α相交、平行或l⊂α,故A错误;
对于B,l⊥m,m∥α,则l与α相交、平行或l⊂α,故B错误;
对于C,α⊥β,l∥β,则l与α相交、平行或l⊂α,故C错误;
对于D,l∥m,m⊥α,则l⊥α,故D正确.
3.(5分)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
【解析】选A.由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1.
因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.
4.(5分)如图,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC,垂足为S,AN⊥PB,垂足为N,则下列结论不正确的是( )
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
【解析】选B.因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又AN⊂平面PAB,所以BC⊥AN.又因为AN⊥PB,BC∩PB=B,PB,BC⊂平面PBC,所以AN⊥平面PBC.又AN⊂平面ANS,AN⊂平面PAB,所以平面ANS⊥平面PBC,平面PAB⊥平面PBC,所以A,C正确,D显然正确.
5.(5分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A?BCD,则在三棱锥A?BCD中,下列结论正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
【解析】选D.因为在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又因为AD⊥AB,AD∩CD=D,
所以AB⊥平面ADC,即平面ABC⊥平面ADC.
6.(5分)(多选题)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则下列结论可能正确的有( )
A.DF⊥BC
B.BD⊥FC
C.平面BDF⊥平面BCF
D.平面DCF⊥平面BCF
【解析】选BC.对于A,因为BC∥AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,则A错误;对于B,设点D在平面BCF上的射影为点P,
当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,所以B正确;对于C,当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以C正确;对于D,因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上,所以D错误.
【加练备选】
(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,AE⊥PC,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中正确的是( )
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
【解析】选ABD.对于A,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,而BC⊂底面圆面,则PA⊥BC,又由圆的性质可知AC⊥BC,且PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,则BC⊥平面PAC,所以A正确;
对于B,由A项可知BC⊥AE,由题意可知AE⊥PC,且BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PCB,
所以AE⊥平面PCB.而EF⊂平面PCB,
所以AE⊥EF,所以B正确;
对于C,由B项可知AE⊥平面PCB,因而AC与平面PCB不垂直,
所以AC⊥PB不成立,所以C错误;
对于D,由B项可知,AE⊥平面PCB,AE⊂平面AEF,由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC,所以D正确.
7.(5分)如图所示是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中,棱 所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.(注:填上你认为正确的一条棱即可,不必考虑所有可能的情况)
【解析】如图,结合平面图形还原出正方体,
结合正方体性质易知,棱CG,DH,EH,FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.
答案:CG,DH,EH,FG(任选一个作答)
8.(5分)在正方体ABCD?A1B1C1D1中,N为底面ABCD对角线的交点,P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
(1)CM与PN是异面直线;
(2)若P为棱A1D1的中点,则|CM|>|PN|;
(3)过P,A,C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形;
(4)平面PAN⊥平面BDD1B1.
【解析】由A,N,C三点共线,M为AP的中点,可得直线CA,PM为相交直线,所以CM,PN为相交直线,故(1)错误;
设正方体的棱长为2,则AC=22,AP=5,AM=52,AN=2,
CM2=AM2+AC2-2AM·AC·cs∠PAC=54+8-210cs∠PAC=374-210cs∠PAC,
PN2=AN2+AP2-2AN·AP·cs∠PAC=2+5-210cs∠PAC=7-210cs∠PAC,
CM2-PN2=374-7=94>0,即|CM|>|PN|,故(2)正确;
在C1D1上取一点K,连接KP,KC,A1C1,使得PK∥A1C1,
由A1C1∥AC,可得PK∥AC,
则截面PKCA为过P,A,C的正方体的截面,由正方体的性质可得AP=CK,
则过P,A,C三点的正方体的截面是等腰梯形,故(3)错误;
由正方形的性质可得AC⊥BD,
B1B⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,可得B1B⊥AC,BD∩B1B=B,
所以AC⊥平面BDD1B1,又AC⊂平面PAN,所以平面PAN⊥平面BDD1B1,故(4)正确.
答案:(2)(4)
9.(5分)在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,请写出一个与A1O垂直的正方体的截面: .
【解析】如图,连接AC,BD,BG,DG,A1G,OG,A1C1,
易知BD⊥AC,BD⊥AA1,又AC∩AA1=A,
故BD⊥平面ACC1A1,因为A1O⊂平面ACC1A1,
故BD⊥A1O,设正方体的棱长为2,
则A1O=AA12+AO2=4+2=6,OG=OC2+CG2=2+1=3,A1G=A1C12+C1G2
=8+1=3,故A1G2=A1O2+OG2,
故A1O⊥OG,OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.
答案:平面GBD(答案不唯一)
10.(10分)如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如图1),将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图2).
(1)判断四边形BCEF是否是平面四边形,并写出判断理由;
【解析】(1)结论:四边形BCEF不可能是平面四边形.理由如下:若B,C,E,F共面,则由BC∥AD,BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,
又BC∥AD,则AD∥EF,矛盾.
所以四边形BCEF不可能是平面四边形.
(2)当EF⊥CF时,求证:平面ADEF⊥平面ABCD.
【解析】(2)在平面ADEF中,易得EF⊥FD,
又因为EF⊥CF,FD∩CF=F,
所以EF⊥平面CDF,又CD⊂平面DCF,
所以EF⊥CD,
又因为CD⊥AD,而AD,EF延长后相交,
所以CD⊥平面ADEF,
又因为CD⊂平面ABCD,
所以平面ADEF⊥平面ABCD.
【能力提升练】
11.(5分)《九章算术》中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,点E,F分别为线段PB,PC的中点.下列说法正确的是( )
A.四面体E-BCD和四面体F-BCD都是鳖臑
B.四面体E-BCD和四面体F-BCD都不是鳖臑
C.四面体E-BCD是鳖臑,四面体F-BCD不是鳖臑
D.四面体E-BCD不是鳖臑,四面体F-BCD是鳖臑
【解析】选D.不妨设PD=CD=BC=2,则DE=BE=3,BD=22,
所以cs∠BED=DE2+BE2-BD22DE·BE=-130,由于平面AEFD⊥平面BEFC,且交线为EF,MO⊥EF,所以MO⊥平面BEFC,则MO⊥OB,
所以tan∠MBO=MOOB=xOB=12,则OB=2x,
则OE=4x2-1,OF=2-4x2-1,BM=5x,EM=5x2-1,BE2+EM2=BM2,BE⊥EM.
OC2=2-4x2-12+12,MC2=
2-4x2-12+12+x2,由于∠MBE=∠MBC,所以cs∠MBE=cs∠MBC,即15x=5x2+22-2-4x2-12+12+x22×5x×2,
解得x=22,即MO=22.
答案:22
13.(10分)如图所示,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAD;
【解析】(1)在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG⊂平面ABCD,所以BG⊥平面PAD.
(2)求证:AD⊥PB;
【解析】(2)如图,连接PG,因为△PAD为正三角形,G为线段AD的中点,
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD,又PG∩BG=G,所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
【解析】(3)能,当F为线段PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:
取线段PC的中点F,连接DE,EF,DF.
在△PBC中,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE.
而FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,PB⊂平面PGB,GB⊂平面PGB,PB∩GB=B,
所以平面DEF∥平面PGB.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,PG⊥AD,
所以PG⊥平面ABCD.
又PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.