2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的基本定理及坐标表示【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-平面向量的基本定理及坐标表示【含解析】，共13页。

1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且a∥b,则m=( )
A.-32 B.23 C.-12 D.32
2.(5分)如图所示,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=( )
A.0B.BEC.ADD.CF
3.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)下列两个向量,能作为基底向量的是( )
A.e1=(0,0),e2=(3,2)
B.e1=(2,-1),e2=(1,2)
C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)
D.e1=(2,1),e2=(3,4)
4.(5分)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=( )
A.OHB.OGC.EOD.FO
5.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( )
A.65 B.85 C.2 D.83
6.(5分)(多选题)(2023·漳州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=3DC,点M满足CM=2MD,N是BC的中点.设AB=a,AD=b,则下列等式正确的是( )
A.BD=a-b B.AC=13a+b
C.BM=-89a+b D.AN=23a+13b
7.(5分)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是 .
8.(5分)已知O为坐标原点,P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),则与OP共线的单位向量为 .
9.(5分)(2023·九江模拟)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3AE=AC,BE交AD于点F,设BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ= ;
AFAD= .
10.(10分)(2023·泰安模拟)如图,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC.设AB=a,AC=b.
(1)用a,b表示BC,MN;
(2)若P为△ABC内部一点,且AP=512a+14b.求证:M,P,N三点共线,并指明点P的具体位置.
【加练备选】
(多选题)(2023·重庆模拟)如图,AB=2AE,AC=3AD,线段BD与CE交于点F,记AB=a,AC=b,则( )
A.DE=12a-13bB.DE=-12a+23b
C.AF=35a+215bD.AF=25a+15b
11.(10分)(2023·信阳模拟)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标;
(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.
【能力提升练】
12.(5分)已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC=( )
A.13a+23b B.23a+13b
C.23a+43b D.43a+23b
13.(5分)若{α,β}是平面内一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.已知向量a在基底{p=(1,-1),q=(2,1)}下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 .
14.(10分)如图所示,在△ABC中,AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD.
(1)试用向量a,b表示BD,AE;
(2)若AE交BD于点O,求AOOE及BOOD的值.
【解题指南】(2)由A,O,E三点共线,得到AO=λ3a+2λ3b,由B,O,D三点共线,得到AO=(1-μ)a+μ3b,列出方程λ3a+2λ3b=(1-μ)a+μ3b,得出方程组,即可求解.
2025年高考数学一轮复习课时作业- 平面向量的基本定理及坐标表示【解析版】(时间:45分钟 分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)已知向量a=(1,m),b=(2,-3),且a∥b,则m=( )
A.-32 B.23 C.-12 D.32
【解析】选A.根据题意,a=(1,m),b=(2,-3),
若a∥b,则有2×m=1×(-3),解得m=-32.
2.(5分)如图所示,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=( )
A.0B.BEC.ADD.CF
【解析】选D.由于BA=DE,因此BA+CD+EF=CD+DE+EF=CF.
3.(5分)(多选题)(2023·哈尔滨模拟)下列两个向量,能作为基底向量的是( )
A.e1=(0,0),e2=(3,2)
B.e1=(2,-1),e2=(1,2)
C.e1=(-1,-2),e2=(4,8)
D.e1=(2,1),e2=(3,4)
【解析】选BD.A选项,零向量和任意向量平行,所以e1,e2不能作为基底.
B选项,因为21≠-12,所以e1,e2不平行,可以作为基底.
C选项,e1=-14e2,所以e1,e2平行,不能作为基底.
D选项,因为23≠14,则e1,e2不平行,可以作为基底.
4.(5分)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=( )
A.OHB.OGC.EOD.FO
【解析】选D.在方格纸上作出OP+OQ,如图所示,
连接FO,则容易看出OP+OQ=FO.
5.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( )
A.65 B.85 C.2 D.83
【解析】选B.建立如图所示的平面直角坐标系,
则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,
所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),
所以CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),
因为CA=λCE+μDB,
所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),
所以-2λ+μ=-2,λ+2μ=2,
解得λ=65,μ=25,则λ+μ=85.
6.(5分)(多选题)(2023·漳州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=3DC,点M满足CM=2MD,N是BC的中点.设AB=a,AD=b,则下列等式正确的是( )
A.BD=a-b B.AC=13a+b
C.BM=-89a+b D.AN=23a+13b
【解析】选BC.
对于A,BD=AD-AB=b-a,A错误;
对于B,AC=AD+DC=b+13AB=13a+b,B正确;
对于C,BM=AM-AB=AD+DM-AB=AD+13DC-AB=AD+19AB-AB=-89a+b,C正确;
对于D,由B知:AN=12(AB+AC)=12(a+13a+b)=23a+12b,D错误.
7.(5分)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),|BC|=2|AC|,则向量OB的坐标是 .
【解析】由点C是线段AB上一点,|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.设点B(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即2-x=-2,3-y=-4,解得x=4,y=7,所以向量OB的坐标是(4,7).
答案:(4,7)
8.(5分)已知O为坐标原点,P1P=-2PP2,若P1(1,2),P2(2,-1),则与OP共线的单位向量为 .
【解析】由P1P=-2PP2得P1P+2PP2=0,即P1P2+PP2=0,P1P2=P2P,
OP2-OP1=OP-OP2,
OP=2OP2-OP1=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4),
OP=32+(-4)2=5,
与OP同向的单位向量为OPOP=(35,-45),反向的单位向量为(-35,45).
答案:(35,-45)和(-35,45)
9.(5分)(2023·九江模拟)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E在边AC上,且满足3AE=AC,BE交AD于点F,设BF=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ= ;
AFAD= .
【解题指南】根据向量共线定理表示出AD,AF,从而求出λ,μ,即可求解出λ+μ,AFAD.
【解析】设AF=mAD,BF=nBE,
根据向量共线定理,得AF=mAD,
AF=nAE+(1-n)AB,3AE=AC,
所以AF=n3AC+(1-n)AB,
又因为AD=12(AB+AC),
所以n3AC+(1-n)AB=m2(AB+AC),
得n3=m21-n=m2,解得m=12n=34,
代入BF=nBE=n(AE-AB)=34(13AC-AB)=14AC-34AB,得λ=-34,μ=14,
则有λ+μ=-12,AFAD=12.
答案:-12 12
10.(10分)(2023·泰安模拟)如图,在△ABC中,AM=13AB,BN=12BC.设AB=a,AC=b.
(1)用a,b表示BC,MN;
【解析】(1)依题意,BC=AC-AB=b-a,
MN=BN-BM=12BC+23AB=12(b-a)+2a3=12b+16a.
(2)若P为△ABC内部一点,且AP=512a+14b.求证:M,P,N三点共线,并指明点P的具体位置.
【解析】(2)由AM+AN=13AB+AC+CN=13AB+AC-12BC=13a+b-12(b-a)=56a+12b,
又AP=512a+14b,所以AP=12AM+12AN,
12+12=1,故M,P,N三点共线,且P是MN的中点.
【加练备选】
(多选题)(2023·重庆模拟)如图,AB=2AE,AC=3AD,线段BD与CE交于点F,记AB=a,AC=b,则( )
A.DE=12a-13bB.DE=-12a+23b
C.AF=35a+215bD.AF=25a+15b
【解析】选AD.DE=AE-AD=12AB-13AC=12a-13b,故A正确.
设AF=xa+yb,
EF=EA+AF=(x-12)a+yb,
EC=EA+AC=-12a+b,
因为EF∥EC,所以x-12-12=y1,
同理DF=xa+(y-13)b,DB=a-13b,DF∥DB,x1=y-13-13,
联立解得x=25,y=15,所以AF=25a+15b,D正确.
11.(10分)(2023·信阳模拟)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+λe2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.
(1)求实数λ的值;
【解析】(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.
因为A,E,C三点共线,
所以存在实数k,使得AE=kEC,
即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),
得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2.
因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,
所以1+2k=0k-1-λ=0,
解得k=-12,λ=-32.
(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标;
【解析】(2)BC=BE+EC=-e1-32e2-2e1+e2=-3e1-12e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).
(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.
【解析】(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以AD=BC,
设A(x,y),则AD=(3-x,5-y),
因为BC=(-7,-2),
所以3-x=-75-y=-2,
解得x=10y=7,
即点A的坐标为(10,7).
【能力提升练】
12.(5分)已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC=( )
A.13a+23b B.23a+13b
C.23a+43b D.43a+23b
【解析】选C.
因为BC=BE+EC=b+EC,AC=AD+DC=a+DC,
且EC=12AC,DC=12BC,
可得BC=b+12AC,AC=a+12BC,
所以BC=b+12(a+12BC),
整理得BC=23a+43b.
13.(5分)若{α,β}是平面内一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.已知向量a在基底{p=(1,-1),q=(2,1)}下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 .
【解析】因为a在基底{p,q}下的坐标为(-2,2),
所以a=-2p+2q=(2,4),
令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),
所以-x+y=2,x+2y=4,即x=0,y=2,
所以a在基底{m,n}下的坐标为(0,2).
答案:(0,2)
14.(10分)如图所示,在△ABC中,AB=a,AC=b,BE=2EC,AC=3AD.
(1)试用向量a,b表示BD,AE;
【解题指南】(1)根据平面向量的线性运算法则,求解即可;
【解析】(1)由AB=a,AC=b,
BE=2EC,AC=3AD,
可得BD=AD-AB=13AC-AB=13b-a;
AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC=13a+23b.
(2)若AE交BD于点O,求AOOE及BOOD的值.
【解题指南】(2)由A,O,E三点共线,得到AO=λ3a+2λ3b,由B,O,D三点共线,得到AO=(1-μ)a+μ3b,列出方程λ3a+2λ3b=(1-μ)a+μ3b,得出方程组,即可求解.
【解析】(2)因为A,O,E三点共线,所以存在实数λ,使得AO=λAE=λ(13a+23b)=λ3a+2λ3b,
因为B,O,D三点共线,所以存在实数μ,
使得BO=μBD,所以AO-AB=μBD,
可得AO=AB+μBD=a+μ(-a+13b)=(1-μ)a+μ3b,
所以λ3a+2λ3b=(1-μ)a+μ3b,因为a,b不共线,则λ3=1-μ2λ3=μ3,解得λ=37μ=67,
所以AO=37AE,BO=67BD,
所以AOOE=34,BOOD=6.