苏科版八年级上册1.3 探索三角形全等的条件教学课件ppt

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知识点7　斜边、直角边定理(HL)
1.下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是 (　　)A.斜边和一直角边对应相等B.两个锐角对应相等C.一锐角和斜边对应相等D.两条直角边对应相等
解析    A.符合斜边、直角边定理,可以判定两个直角三角形 全等,故A选项不符合题意;B.全等三角形的判定必须有边的参与,只有角不能判定两个 直角三角形全等,故B选项符合题意;C.符合AAS,故C选项不符合题意;D.符合SAS,故D选项不符合题意.故选B.
2.如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,添加一 个条件,不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB的是 (　　) A.AB=DC　    B.AC=DBC.∠ABC=∠DCB　    D.BC=BD
解析　∵∠A=∠D=90°,BC=CB,∴当添加AB=CD或AC=DB 时,可根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB;当添加∠ABC=∠DCB时,可根据“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DCB;当添加BC=BD时,无法判定Rt△ABC≌Rt△DCB.故选D.
3.(2024江苏南京栖霞月考)如图,AB⊥EF于点B,CD⊥EF于点 D,BE=DF.若要用“HL”判定Rt△ABF≌Rt△CDE,则需要 添加的条件为　　　　 　    .
解析　添加的条件为AF=EC.∵BE=DF,∴DE=BF.∵AB⊥EF 于点B,CD⊥EF于点D,∴∠ABF=∠CDE=90°.在Rt△ABF和Rt△CDE中, ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).故答案为AF=EC.
4.(教材变式·P28例8)如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥ AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证:CE=DF.  
证明　∵AC⊥BC,AD⊥BD,∴∠ACB=∠BDA=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中, ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴S△ABC=S△BAD.∵CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,∴ AB·CE= AB·DF,∴CE=DF.
5.如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如 果AD=AF,AC=AE.求证:BC=BE.  
证明　在Rt△ADC和Rt△AFE中, ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL),∴CD=EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中, ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),∴BD=BF,∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE.
6.(2024江苏徐州沛县月考,6,★☆☆)如图,CD⊥AB,BE⊥AC, 垂足分别为D、E,BE、CD相交于点O.如果AB=AC,那么图中 全等的直角三角形的对数是 (　　)
A.1　    B.2　    C.3　    D.4
解析　∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠ADC=∠AEB=90°.在△ADC和△AEB中, ∴△ADC≌△AEB(AAS),∴AD=AE,∠C=∠B.∵AB=AC,∴BD=CE.在△BOD和△COE中, ,
∴△BOD≌△COE(AAS),∴OB=OC,OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中, ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),∴共有3对全等的直角三角形.故选C.
7.(2024江苏常州天宁期中,15,★☆☆)如图,△ABC和△DCB 有公共边BC,且AB=DC,作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、 F,AE=DF,那么求证AC=BD时,需要证明全等的三角形是 　　　　　　　　　　 　　　　    .
Rt△ABE≌Rt△DCF,△AEC≌△DFB
解析　∵AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,∴∠AEB=∠DFC=90°.∵AB=DC,AE=DF,∴Rt△ABE≌Rt△DCF,∴BE=CF,∴EC=BF.∵AE=DF,∴△AEC≌△DFB,∴AC=BD.
8.(2024江苏宿迁泗阳期末,18,★★☆)在四边形ABCD中,∠ ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,CF=AE,BC=DA. 求证:Rt△ABE≌Rt△CDF.
证明　在Rt△ADC与Rt△CBA中, ∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL),∴DC=BA.又∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,∴∠AEB=∠CFD=90°.在Rt△ABE与Rt△CDF中, ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
9.(三垂直模型)(2024江苏泰州兴化期末,21,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E.(1)若B、C在DE的同侧(如图①所示)且AD=CE.求证:AB⊥AC.(2)若B、C在DE的两侧(如图②所示),且AD=CE,其他条件不变,AB与AC是否仍然垂直?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
图① 图②
解析　(1)证明:∵BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB=∠AEC=90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中, ∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴∠DBA=∠EAC.∵∠DAB+∠DBA=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∴∠BAC=180°-(∠BAD+∠CAE)=90°,∴AB⊥AC.
(2)是.证明:同(1)可证Rt△ABD≌Rt△CAE,∴∠DAB=∠ECA.∵∠CAE+∠ECA=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,即∠BAC=90°,∴AB⊥AC.
10.(推理能力)如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10 cm,BC=5 cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在线段AC上和 过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到什么位置 时,△ABC和△APQ全等?
解析　分情况讨论:①当P运动到线段AC的中点(即AP=BC=5 cm)时,∵∠C=∠ QAP=90°,在Rt△ABC与Rt△QPA中, ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL).②当P与C点重合(即AP=AC=10 cm)时,在Rt△ABC与Rt△PQA中, 
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).综上所述,当点P运动到AC的中点或点P与点C重合时,△ABC 和△APQ全等.
方法指引 　　全等三角形的证明思路:
微专题　添加适当的条件说明两个三角形全等
1.已知两边:(1)找夹角SAS;(2)找直角HL;(3)找另一边SSS.2.已知一边一角:(1)边为角的对边→找任一角AAS.(2)边为角的邻边:①找夹角的另一边SAS;②找夹边的另一角 ASA;③找边的对角AAS.(3)已知两角:①找夹边ASA;②找任一边AAS.
1.(2023四川甘孜州中考)如图,AB与CD相交于点O,AC∥BD, 只添加一个条件,能判定△AOC≌△BOD的是 (　　) A.∠A=∠D　    B.AO=BO C.AC=BO　    D.AB=CD
解析　由AC∥BD可得∠A=∠B,∠C=∠D,可添加AO=BO,利 用AAS证明△AOC≌△BOD.故选B.
2.(2024江苏南京鼓楼期中)如图,在四边形ABCD中,∠B= ∠D,要使△ABC≌△CDA,可添加下列选项中的 (　　) A.AB=CD　    B.AD=BC C.AB∥CD　    D.∠B=∠CAB