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初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理教学演示ppt课件
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这是一份初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理教学演示ppt课件，共34页。
知识点1 勾股定理的逆定理
1.下面几组数,不能作为直角三角形三边长度的是 ( )A.1.5,2,2.5 B.3,4,5C.6,8,12 D.30,40,50
解析 +22=2.52,符合勾股定理的逆定理,能作为直角三 角形三边长度,不符合题意+42=52,符合勾股定理的逆定理,能作为直角三角形三边 长度,不符合题意+82≠122,不符合勾股定理的逆定理,不能作为直角三角 形三边长度,符合题意+402=502,符合勾股定理的逆定理,能作为直角三角形三 边长度,不符合题意.故选C.
2.(教材变式·P85练习T2)△ABC的三边为a、b、c,且(a+b)(a- b)=c2,则 ( )A.边a的对角是直角B.边b的对角是直角C.边c的对角是直角D.△ABC是钝角三角形
解析 ∵(a+b)(a-b)=c2,∴a2-b2=c2,∴a2=b2+c2.又∵a、b、c为△ABC的三边,∴该三角形为直角三角形,∠A=90°,∴边a的对角是直角.故选A.
3.(2024江苏镇江润州期中)已知△ABC的三条边分别 为a、b、c,三个内角分别为∠A、∠B、∠C,则满足下列条 件的△ABC不是直角三角形的是 ( )A.a=6,b=8,c=10 B.a2-c2=b2C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A-∠B=∠C
解析 A.∵102=62+82,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,不 符合题意;B.∵a2-c2=b2,∴a2=b2+c2,∴△ABC是直角三角形,不符合题意;C.设∠A=x°,则∠B= °,∠C= °,则x+ + =180,∴x= ,即∠A= °,∴△ABC不是直角三角形,符合题意;D.∵∠A-∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=90°,∴△ABC 是直角三角形,不符合题意.故选C.
4.(2024江苏淮安淮阴期中)已知△ABC的三边长分别是6 cm、8 cm、10 cm,则△ABC的面积是 .
5.如图,在△ABC中,D为BC边上的点,已知AB=13,AD=12,AC= 15,BD=5,求△ACD的面积.
解析 在△ABD中,AB=13,AD=12,BD=5,∴BD2+AD2=52+122= 169,AB2=132=169,∴BD2+AD2=AB2,∴△ABD是直角三角形,即 AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵AD=12,AC=15,∴CD2=AC2-AD2=1 52-122=81,∴CD=9,∴S△ACD= CD·AD= ×9×12=54.
6.(2024江苏盐城大丰期末)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°, AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连接DC,DB,且CD=4, BD=3.(1)求BC的长.(2)求证:△BCD是直角三角形.
解析 (1)在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,∴BC2= AB2-AC2=132-122=25,∴BC=5.(2)证明:在△BCD中,CD=4,BD=3,BC=5,∴CD2+BD2=42+32=52=BC2,∴△BCD是直角三角形.
7.(教材变式·P85练习T3)下列各组数中,是勾股数的一组是 ( )A.0.3,0.4,0.5 B. , , C.32,42,52 D.8,15,17
解析 ∵0.3,0.4,0.5与 , , 均不是正整数,∴这两组数不是勾股数,∴选项A、B不符合题意.∵92+162≠252,∴这组数不是勾股数,∴选项C不符合题意.∵82+152=172,∴这组数是勾股数,∴选项D符合题意.故选D.
8.以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,称3,4,5为勾股数组, 记为(3,4,5),类似地,还可得到下列勾股数组:(5,12,13),(7,24,2 5)等.(1)根据上述三组勾股数组的规律,写出第四组勾股数组.(2)用含n(n为正整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律, 并证明.
解析 (1)根据题意可得第四组勾股数组为9,40,41.(2)根据题意可知,第n组勾股数组为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1).证明: ∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8 n2+4n+1,(2n2+2n+1)2=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2 +4n+1,∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2,∴规律(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)成立.
9.(2023山东济宁中考,9,★★☆)如图,在正方形网格中,每个 小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方 形的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 ( )
A.180°-α B.180°-2α C.90°+α D.90°+2α
解析 如图,过点B作BG∥CD,连接EG, ∵BG∥CD,∴∠ABG=∠CFB=α.∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,∴BG2+BE2=EG2,∴△BEG是直角三角形,∴∠GBE=90°,
∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.故选C.
10.(新考向·新定义试题)(2021湖南常德中考,8,★★☆)阅读 理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即 m=a2+b2,那么称m为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是 广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广 义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的 是 ( )A.②④ B.①②④ C.①② D.①④
解析 ①∵7不能表示为两个正整数的平方和,∴7不是广义勾股数,故①结论正确.②∵13=22+32,∴13是广义勾股数,故②结论正确.③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数,如5和10是广 义勾股数,但是它们的和不是广义勾股数,故③结论错误.④设m1=a2+b2,m2=c2+d2,则m1·m2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.当ad=bc时,ad-bc=0,∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数,如2和2都是广义勾股数,2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论 错误.∴正确的是①②.故选C.
11.(2024江苏镇江丹徒期末,12,★☆☆)若三角形的边长分别 为5 cm、12 cm、13 cm,则它的最长边上的中线为 cm.
12.(2023江苏南通中考,16,★☆☆)勾股数是指能成为直角三 角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式 的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中 a,b均小于c,a= m2- ,c= m2+ ,m是大于1的奇数,则b= (用含m的式子表示).
解析 ∵a,b,c是勾股数,其中a,b均小于c,a= m2- ,c= m2+ ,∴b2=c2-a2= - = m4+ + m2- = m4+ + m2- m4- + m2=m2.∵m是大于1的奇数,∴b=m.故答案为m.
13.(推理能力)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA, PB,PC,以BP为一边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ的数量关系,并证明你的结论.(2)若PB=8,PA=6,PC=10,求∠APB的度数.
解析 (1)AP=CQ.证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=CB,∴∠ABP+∠PBC=60°.又∵∠PBQ=60°=∠PBC+∠CBQ,∴∠ABP=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中, ∴△ABP≌△CBQ(SAS),∴AP=CQ.
(2)连接PQ,如图. ∵△ABP≌△CBQ,∴∠BQC=∠BPA.∵BP=BQ,∠PBQ=60°,∴△PBQ为等边三角形,∴PQ=PB=8,∠BQP=60°,
在△PQC中,PQ=8,CQ=AP=6,PC=10,∴PQ2+CQ2=82+62=102=PC2,∴∠PQC=90°,∴∠BQC=90°+60°=150°,∴∠APB=∠BQC=150°.
14.(推理能力)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如 图①,则有a2+b2=c2.当△ABC为锐角三角形时,小明猜想:a2+b 2>c2.理由:如图②,过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,∴b2-x2=c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax,∵a>0,x>0,∴2ax>0,
∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2.(1)请你猜想,当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系, 不用证明.(2)在图③中,作BC边上的高.(3)证明你猜想的结论.
图① 图② 图③
解析 (1)当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系为a2 +b2
知识点1 勾股定理的逆定理
1.下面几组数,不能作为直角三角形三边长度的是 ( )A.1.5,2,2.5 B.3,4,5C.6,8,12 D.30,40,50
解析 +22=2.52,符合勾股定理的逆定理,能作为直角三 角形三边长度,不符合题意+42=52,符合勾股定理的逆定理,能作为直角三角形三边 长度,不符合题意+82≠122,不符合勾股定理的逆定理,不能作为直角三角 形三边长度,符合题意+402=502,符合勾股定理的逆定理,能作为直角三角形三 边长度,不符合题意.故选C.
2.(教材变式·P85练习T2)△ABC的三边为a、b、c,且(a+b)(a- b)=c2,则 ( )A.边a的对角是直角B.边b的对角是直角C.边c的对角是直角D.△ABC是钝角三角形
解析 ∵(a+b)(a-b)=c2,∴a2-b2=c2,∴a2=b2+c2.又∵a、b、c为△ABC的三边,∴该三角形为直角三角形,∠A=90°,∴边a的对角是直角.故选A.
3.(2024江苏镇江润州期中)已知△ABC的三条边分别 为a、b、c,三个内角分别为∠A、∠B、∠C,则满足下列条 件的△ABC不是直角三角形的是 ( )A.a=6,b=8,c=10 B.a2-c2=b2C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A-∠B=∠C
解析 A.∵102=62+82,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,不 符合题意;B.∵a2-c2=b2,∴a2=b2+c2,∴△ABC是直角三角形,不符合题意;C.设∠A=x°,则∠B= °,∠C= °,则x+ + =180,∴x= ,即∠A= °,∴△ABC不是直角三角形,符合题意;D.∵∠A-∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=90°,∴△ABC 是直角三角形,不符合题意.故选C.
4.(2024江苏淮安淮阴期中)已知△ABC的三边长分别是6 cm、8 cm、10 cm,则△ABC的面积是 .
5.如图,在△ABC中,D为BC边上的点,已知AB=13,AD=12,AC= 15,BD=5,求△ACD的面积.
解析 在△ABD中,AB=13,AD=12,BD=5,∴BD2+AD2=52+122= 169,AB2=132=169,∴BD2+AD2=AB2,∴△ABD是直角三角形,即 AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵AD=12,AC=15,∴CD2=AC2-AD2=1 52-122=81,∴CD=9,∴S△ACD= CD·AD= ×9×12=54.
6.(2024江苏盐城大丰期末)如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°, AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连接DC,DB,且CD=4, BD=3.(1)求BC的长.(2)求证:△BCD是直角三角形.
解析 (1)在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,∴BC2= AB2-AC2=132-122=25,∴BC=5.(2)证明:在△BCD中,CD=4,BD=3,BC=5,∴CD2+BD2=42+32=52=BC2,∴△BCD是直角三角形.
7.(教材变式·P85练习T3)下列各组数中,是勾股数的一组是 ( )A.0.3,0.4,0.5 B. , , C.32,42,52 D.8,15,17
解析 ∵0.3,0.4,0.5与 , , 均不是正整数,∴这两组数不是勾股数,∴选项A、B不符合题意.∵92+162≠252,∴这组数不是勾股数,∴选项C不符合题意.∵82+152=172,∴这组数是勾股数,∴选项D符合题意.故选D.
8.以3,4,5为边长的三角形是直角三角形,称3,4,5为勾股数组, 记为(3,4,5),类似地,还可得到下列勾股数组:(5,12,13),(7,24,2 5)等.(1)根据上述三组勾股数组的规律,写出第四组勾股数组.(2)用含n(n为正整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律, 并证明.
解析 (1)根据题意可得第四组勾股数组为9,40,41.(2)根据题意可知,第n组勾股数组为(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1).证明: ∵(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8 n2+4n+1,(2n2+2n+1)2=4n4+4n3+2n2+4n3+4n2+2n+2n2+2n+1=4n4+8n3+8n2 +4n+1,∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2,∴规律(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)成立.
9.(2023山东济宁中考,9,★★☆)如图,在正方形网格中,每个 小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方 形的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 ( )
A.180°-α B.180°-2α C.90°+α D.90°+2α
解析 如图,过点B作BG∥CD,连接EG, ∵BG∥CD,∴∠ABG=∠CFB=α.∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,∴BG2+BE2=EG2,∴△BEG是直角三角形,∴∠GBE=90°,
∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.故选C.
10.(新考向·新定义试题)(2021湖南常德中考,8,★★☆)阅读 理解:如果一个正整数m能表示为两个正整数a,b的平方和,即 m=a2+b2,那么称m为广义勾股数,则下面的四个结论:①7不是 广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广 义勾股数;④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的 是 ( )A.②④ B.①②④ C.①② D.①④
解析 ①∵7不能表示为两个正整数的平方和,∴7不是广义勾股数,故①结论正确.②∵13=22+32,∴13是广义勾股数,故②结论正确.③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数,如5和10是广 义勾股数,但是它们的和不是广义勾股数,故③结论错误.④设m1=a2+b2,m2=c2+d2,则m1·m2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd)=(ac+bd)2+(ad-bc)2.当ad=bc时,ad-bc=0,∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数,如2和2都是广义勾股数,2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论 错误.∴正确的是①②.故选C.
11.(2024江苏镇江丹徒期末,12,★☆☆)若三角形的边长分别 为5 cm、12 cm、13 cm,则它的最长边上的中线为 cm.
12.(2023江苏南通中考,16,★☆☆)勾股数是指能成为直角三 角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式 的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中 a,b均小于c,a= m2- ,c= m2+ ,m是大于1的奇数,则b= (用含m的式子表示).
解析 ∵a,b,c是勾股数,其中a,b均小于c,a= m2- ,c= m2+ ,∴b2=c2-a2= - = m4+ + m2- = m4+ + m2- m4- + m2=m2.∵m是大于1的奇数,∴b=m.故答案为m.
13.(推理能力)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA, PB,PC,以BP为一边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.(1)观察并猜想AP与CQ的数量关系,并证明你的结论.(2)若PB=8,PA=6,PC=10,求∠APB的度数.
解析 (1)AP=CQ.证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°,AB=CB,∴∠ABP+∠PBC=60°.又∵∠PBQ=60°=∠PBC+∠CBQ,∴∠ABP=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中, ∴△ABP≌△CBQ(SAS),∴AP=CQ.
(2)连接PQ,如图. ∵△ABP≌△CBQ,∴∠BQC=∠BPA.∵BP=BQ,∠PBQ=60°,∴△PBQ为等边三角形,∴PQ=PB=8,∠BQP=60°,
在△PQC中,PQ=8,CQ=AP=6,PC=10,∴PQ2+CQ2=82+62=102=PC2,∴∠PQC=90°,∴∠BQC=90°+60°=150°,∴∠APB=∠BQC=150°.
14.(推理能力)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如 图①,则有a2+b2=c2.当△ABC为锐角三角形时,小明猜想:a2+b 2>c2.理由:如图②,过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,∴b2-x2=c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax,∵a>0,x>0,∴2ax>0,
∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2.(1)请你猜想,当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系, 不用证明.(2)在图③中,作BC边上的高.(3)证明你猜想的结论.
图① 图② 图③
解析 (1)当△ABC中∠C为钝角时,a2+b2与c2的大小关系为a2 +b2
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