初中2.6 等腰三角形授课ppt课件

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知识点3　等边三角形及其性质
1.(2022辽宁鞍山中考)如图,直线a∥b,等边三角形ABC的顶 点C在直线b上,∠2=40°,则∠1的度数为 (　　) A.80°　    B.70°　    C.60°　    D.50°
解析　如图,因为△ABC为等边三角形, 所以∠A=60°,因为∠A+∠3+∠2=180°,所以∠3=180°-40°-60°=80°,因为a∥b,所以∠1=∠3=80°.故选A.
2.(2023甘肃武威中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高, 以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠ DEC= (　　) A.20°　    B.25°　    C.30°　    D.35°
解析　因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=60°.因为BD是 AC边上的高,所以BD平分∠ABC,所以∠CBD= ∠ABC=30°.由作图痕迹得BD=ED,所以∠DEC=∠CBD=30°,故选C.
3.(手拉手模型)(2024北京海淀师达中学期中)如图,B、C、D 在一条直线上,△ABC和△ADE是等边三角形,若CE=15,CD= 6,则AC=　　　    .
解析　因为△ABC、△ADE是等边三角形,所以AB=AC,AD= AE,∠BAC=∠EAD=60°,所以∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠ CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,  所以△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE=15,所以BC=BD-CD=15-6=9.因为△ABC是等边三角形,所以AC= BC=9.
4.(2023山东菏泽成武期中)已知:如图,△ABC为等边三角形, AE=CD,AD、BE相交于点P.(1)求证:△ABE≌△CAD.(2)求证:∠BPD=60°.
证明　(1)因为△ABC为等边三角形,所以AB=CA,∠ABC=∠BAE=∠ACD=60°,因为AE=CD,所以△ABE≌△CAD(SAS).(2)由(1)知△ABE≌△CAD,所以∠ABE=∠CAD,所以∠BPD=180°-(∠PBD+∠PDB)=180°-(∠PBD+∠C+∠ CAD)=180°-(∠PBD+∠C+∠ABE)=180°-(∠ABC+∠C)=180° -120°=60°.
知识点4　等边三角形的判定
5.(新独家原创)列出几种三角形:①三条边都相等的三角形; ②三个角都相等的三角形;③有一个角等于60°的等腰三角 形;④有两个角等于60°的三角形;⑤三个外角(每个顶点处各 取一个外角)都相等的三角形;⑥一腰上的中线也是这条腰上 的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有 (　　)A.3个　    B.4个　    C.5个　    D.6个
解析　根据等边三角形的定义和判定方法可知,①②③都是 等边三角形;有两个角等于60°的三角形,第三个角也等于60°, 所以三个角都相等,④也是等边三角形;三个外角(每个顶点 处各取一个外角)都相等的三角形,三个内角也相等,⑤也是 等边三角形;一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形, 如图,AB=AC,BD是△ABC的边AC上的中线和高线,因为BD 是△ABC的边AC上的中线和高线,所以AD=CD,BD⊥AC,所 以AB=BC,又因为AB=AC,所以AB=AC=BC,所以△ABC是等 边三角形,⑥也是等边三角形.综上,是等边三角形的有6个.
6.(2024山东聊城阳谷期中)如图,△ABC为等边三角形,BD⊥ AC于点D,DE∥BC交AB于点E.(1)求证:△ADE是等边三角形.(2)求证:AE= AB.
证明　(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠A=∠ABC=∠C=60°.因为DE∥BC,所以∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°,所以∠A=∠AED=∠ADE,所以△ADE是等边三角形.(2)因为△ABC为等边三角形,所以AB=BC=AC.因为BD⊥AC,所以AD= AC.因为△ADE是等边三角形,所以AE=AD,所以AE=   AB.
7.(手拉手模型)(2024山东滨州滨城期中,16,★★★)如图,已 知点B是边AC上的动点(不与A,C重合),在AC的同侧作等边 △ABD和等边△BCE,连接AE,CD,得到结论:①△ABE≌△ DBC;②∠CBE=60°;③GF∥AC;④△BFG是等边三角形;⑤ HB平分∠AHC;⑥AH=DH+BH;⑦CH=BH+EH;⑧∠HGF=∠ HBF;⑨∠HFG=∠GBH;⑩图中共有2对全等三角形.其中正 确的是　 　　    .(填序号)
解析　因为△ABD、△BCE为等边三角形,所以AB=DB,∠ ABD=∠CBE=60°,BE=BC,所以∠DBE=60°,∠ABE=∠DBC. 在△ABE和△DBC中, 所以△ABE≌△DBC(SAS),①②正确;因为△ABE≌△DBC,所以∠BAE=∠BDC, 在△AGB和△DFB中, 所以△AGB≌△DFB(ASA),所以BG=BF.又因为∠DBF=60°,所以△BFG是等
边三角形,所以∠BGF=60°=∠ABD,所以GF∥AC,③④正确; 因为△ABE≌△DBC,所以AE=DC,所以在△ABE和△DBC中, AE和边DC上的高相等,即点B到AE和DC的距离相等,所以 HB平分∠AHC,⑤正确;如图,在AE上截取AN=DH,连接BN.在 △ABN和△DBH中, 所以△ABN≌△DBH(SAS),所以BN=BH,∠ABN=∠DBH,所以∠ABN+∠DBN=∠ DBH+∠DBN,即∠NBH=∠ABD=60°,所以△BNH是等边三角
形,所以BH=NH,所以AH=AN+NH=DH+BH,⑥正确;如图,在 CD上截取CM=BH,连接EM.因为∠BAE=∠BDC,∠CHE=∠ BAE+∠BCD,所以∠CHE=∠BDC+∠BCD=∠ABD=60°.因为 HB平分∠AHC,所以∠BHG=∠BHF=60°,所以∠BEH+∠ EBH=∠BCH+∠ECM=60°,因为△ABE≌△DBC,所以∠BCD =∠BEA,所以∠EBH=∠ECM,在△EBH和△ECM中,  所以△EBH≌△ECM(SAS),所以EM=EH,∠
CEM=∠BEH,所以∠BEH+∠BEM=∠CEM+∠BEM=∠BEC= 60°,即∠HEM=60°,所以△EMH是等边三角形,所以EH=MH, 所以CH=CM+MH=BH+EH,⑦正确;因为∠BHG=∠BFG=60°, 所以∠BEH+∠HBF=∠BEH+∠HGF=60°,所以∠HGF=∠ HBF,所以∠EHC=∠HFG+∠HGF=∠GBH+∠HBF=60°,所 以∠HFG=∠GBH,⑧⑨正确;图中不只有2对全等三角形,⑩ 错误.综上,正确的是①②③④⑤⑥⑦⑧⑨.
8.(动点问题)(2024北京师大附属实验中学期中,18,★★★)如 图,在锐角△ABC中,∠A=30°,S△ABC=14,BC=4,点D,E,F分别为 AB,BC,AC上的动点,则△DEF周长的最小值为　　　    .
解析　如图,作点E关于AB的对称点G,作点E关于AC的对称 点H,连接GH,交AB于点D,交AC于点F,连接AG,AH,AE,由对 称性可知GD=DE,EF=FH,AG=AE=AH,∠GAD=∠DAE,∠ EAC=∠HAC,所以△DEF的周长=DE+DF+EF=GD+DF+FH =GH,∠GAH=∠GAD+∠DAE+∠EAC+∠HAC=2∠DAE+2 ∠EAC=2(∠DAE+∠EAC)=2∠BAC=60°,所以△AGH为等边 三角形,所以GH=AH=AG,所以GH=AE.当AE⊥BC时,AE最短, 此时△DEF的周长最小.因为BC=4,△ABC的面积为14,所以 AE=7,所以△DEF周长的最小值为7.
9.(空间观念)(动点问题)(2020山东烟台中考)如图,在等边三 角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以 DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.【问题解决】如图1,若点D在边BC上,求证:CE+CF=CD.【类比探究】如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段 CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系,并说明理由.
图1 图2
解析　【问题解决】证明:如图①所示,在CD上截取CH=CE, 连接EH.  图①因为△ABC是等边三角形,所以∠ECH=60°,因为CE=CH,所以△CEH是等边三角形,所以EH=EC=CH,∠CEH=60°.
因为△DEF是等边三角形,所以DE=FE,∠DEF=60°,所以∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,所以∠DEH=∠ FEC.在△DEH和△FEC中, 所以△DEH≌△FEC(SAS),所以DH=CF,所以CD=CH+DH=CE+CF,即CE+CF=CD.【类比探究】CD+CE=CF.理由如下:
因为△ABC是等边三角形,所以∠A=∠B=60°.如图②所示,过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,  图②所以∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,
所以△GCD为等边三角形,所以DG=CD=CG.因为△EDF为等边三角形,所以ED=DF,∠EDF=60°,所以∠EDF=∠GDC,所以∠EDG=∠FDC.在△EGD和△FCD中, 所以△EGD≌△FCD(SAS),所以EG=FC,所以CF=EG=CG+CE=CD+CE,即CD+CE=CF.
10.(推理能力)(分类讨论思想)如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB, 点D在BC所在的直线上,点E在射线AC上,且AD=AE,连接DE.(1)如图1,若∠B=∠C=35°,∠BAD=80°,求∠CDE的度数.(2)如图2,若∠ABC=∠ACB=75°,∠CDE=18°,求∠BAD的度 数.(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时,试探究∠ BAD与∠CDE的数量关系,并说明理由.
解析　(1)因为∠B=∠C=35°,所以∠BAC=110°,因为∠BAD=80°,所以∠DAE=30°,因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED= ×(180°-30°)=75°,所以∠CDE=∠AED-∠C=75°-35°=40°.(2)因为∠ACB=75°,∠CDE=18°,所以∠E=75°-18°=57°,因为AD=AE,所以∠ADE=∠E=57°,
所以∠ADC=∠ADE-∠CDE=39°,因为∠ABC=∠ADB+∠BAD=75°,所以∠BAD=36°.(3)2∠CDE=∠BAD.理由:设∠ABC=∠ACB=y,∠ADE=∠AED=x,∠CDE=α,∠ BAD=β.如图①,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x-α,所以 ①-②得2α-β=0,所以2α=β,即2∠CDE=∠BAD.