第23章 图形的相似 单元测试卷（试卷）--2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

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第23章 单元测试卷一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)1.下列每组图形中是相似图形的是(　　)2．若eq \f(a,b)＝eq \f(3,2)，则eq \f(a－b,a)的值为(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)3．如图，已知BD∥AE，AB，ED交于点C，则有eq \f(BC,AB)＝eq \f(DC,ED)，这一步的依据是(　　)A．同位角相等，两直线平行 B．三角形中位线定理C．平行线分线段成比例 D．相似三角形对应边上的高等于相似比(第3题)　　　　4．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm、6 cm、9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边长为(　　)A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm5．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的面积与△DEF的面积和为20，则△DEF的面积为(　　)A．5 B．2 C．15 D．186．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的eq \f(4,9)，则eq \f(AO,OD)的值为(　　)(第6题)A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,5) C.eq \f(4,9) D.eq \f(4,13)7．下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与如图所示的三角形相似的是(　　)(第7题)8．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(1，2)、B(2，0)，以原点O为位似中心，将线段AB放大得到线段CD，若点D的坐标为(5，0)，则点C的坐标为(　　)(第8题)A．(2，5) B．(2.5，5) C．(3，5) D．(3，6)　 (第9题)　 (第10题)9．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，它以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步， 股十二步，问勾中容方几何？”如图，Rt△ABC的两条直角边长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为(　　)A.eq \f(25,17) B.eq \f(60,17) C.eq \f(100,17) D.eq \f(144,17)10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在边AD上，BF和CE交于点G，若EF＝eq \f(1,2)AD，则图中阴影部分的面积为(　　)A．25 B．30 C．35 D．40　　(第11题)　　　(第12题)　　　 二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)11．如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，若AD＝2，BD＝3，则AC的长为________．12．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝________．13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE.若DE＝2，则△ABC的面积是________．(第13题)14．如图是一个照相机成像的示意图．如果像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，则拍摄点离景物的距离为________m.(第14题) 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN.若点A(－1，3)的对应点为M(2，5)，则点B(－3，－1)的对应点N的坐标是________．(第15题) (第16题)16．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连结OE.下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③ACBD＝eq \r(21)7；④FB2＝OF·DF.其中正确的结论是________．(填写所有正确结论的序号)三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－3，5)．(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)作出以点A为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到的△A2B2C2(在位似中心同侧)，并直接写出点C2的坐标．(第17题)18.(10分)如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为点F.求证：△ABC∽△ECD.(第18题)19．(10分)如图，在△ABC中，AB＝2，AD⊥BC，垂足为点D，BD＝2DC.若E是AD的中点，求EC的长．(第19题)20．(13分)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6.(1)请用尺规作图的方法在AB上找一点D，使得△ACD∽△ABC(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，求AD的长．(第20题)21．(13分)下表是小明进行数学学科项目学习时的记录表的部分内容．项目主题：测量河流的宽度．项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板……各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：请你完成下列任务．(1)任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度AB；(2)任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识：________________________(写出一条即可)；(3)任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，画图简要说明一下．22．(14分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝kAB.点D是边AC上一个动点(不与点A、C重合)，以BD为对角线作菱形BEDF，使得∠BED＝∠BAC，DF交边BC于点H.(1)求证：∠ABE＝∠CBD；(2)求证：在点D的运动过程中，线段BH、BE、BC之间总满足BH·BC＝k2BE2；(3)连结EC，探索在点D的运动过程中，△EBC面积的变化规律．(第22题)答案一、1.A　2.A　3.C　4.C　5.B　6.A　7.D　8.B　9.B10．C二、11.eq \r(10) 　12.1　13.6　14.7　15.(0，1)　16.①③④三、17.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(第17题)(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．点C2的坐标为(1，－3)．18．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°.∴∠ACB ＋∠ACD＝90°.∵AC⊥DE，∴∠CDE＋∠ACD＝90°. ∴∠ACB＝∠CDE .∴△ABC∽△ECD.19．解：∵BD＝2DC，∴eq \f(BD,DC)＝2.∵E是AD的中点，∴eq \f(AD,DE)＝2，∴eq \f(BD,DC)＝eq \f(AD,DE)＝2.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠EDC＝90°，∴△ADB∽△EDC，∴eq \f(AB,EC)＝eq \f(BD,DC)＝2.∵AB＝2，∴EC＝1.20．解：(1)如图所示，点D即为所求．(第20题)(2)∵△ACD∽△ABC，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(AD,AC)，即eq \f(6,8)＝eq \f(AD,6)，解得AD＝eq \f(9,2).21．解：(1)由题意知BC∥DE，∴△ABC∽△ADE.∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE).又∵BC＝1.6 m，BD＝10 m，DE＝2 m，∴eq \f(AB,AB＋10)＝eq \f(1.6,2)，解得AB＝40 m.答：河流的宽度AB为40 m.(2)相似三角形的对应边成比例(答案不唯一，合理即可)(3)(答案不唯一，合理即可)如图，在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面B的位置，沿着河岸走一段距离，到达C处，在C处竖立一标杆，然后沿同方向继续行走到D处，使得CD＝BC，再沿着与河岸垂直的方向行走，当走到与A、C共线时停下，位置记为E，这时DE的长度即为河流的宽度．(第21题)22．(1)证明：∵四边形BEDF为菱形，∴EB＝ED，∴∠EBD＝eq \f(1,2)(180°－∠BED)．∵AB＝AC，∴∠ABC＝eq \f(1,2)(180°－∠BAC)．∵∠BED＝∠BAC，∴∠EBD＝∠ABC，∴∠EBD－∠ABD＝∠ABC－∠ABD，即∠ABE＝∠CBD.(2)证明：由题意易得∠BDH＝∠DBE＝∠CBA＝∠DCB.又∵∠DBH＝∠CBD，∴△DBH∽△CBD，∴eq \f(BD,BC)＝eq \f(BH,BD)，即BH·BC＝BD2.∵∠BED＝∠BAC，∠EBD＝∠ABC，∴△EBD∽△ABC，∴eq \f(AB,EB)＝eq \f(BC,BD)，∴eq \f(BC,AB)＝eq \f(BD,EB)＝k，∴BD＝kBE，∴BH·BC＝k2BE2.(3)解：连结AE，∵∠ABE＝∠CBD，且eq \f(AB,EB)＝eq \f(BC,BD)，∴△EBA∽△DBC，∴∠EAB＝∠DCB＝∠CBA，∴AE∥BC，∴在△EBC中，边BC上的高即为两平行线AE，BC之间的距离，为定值，∴△EBC的面积固定不变．题序12345678910答案主题测量河流宽度AB示意图(第21题)测量数据BC＝1.6 m, BD＝10 m, DE＝2 m