期末综合测试卷（试卷）--2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

这是一份期末综合测试卷（试卷）--2024-2025学年华东师大版九年级数学上册，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式中，与eq \r(20)是同类二次根式的是( )
A.eq \r(15) B.eq \r(45) C.eq \r(\f(3,5)) D.eq \r(18)
2．关于x的一元二次方程x2＝1的根是( )
A．x＝1 B．x1＝1，x2＝－1
C．x＝－1 D．x1＝x2＝1
3．用配方法解方程x2＋4x－1＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x＋4)2＝5 B．(x＋2)2＝5 C．(x＋4)2＝3 D．(x＋2)2＝3
4．下列事件中，是必然事件的是( )
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有2个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次， 命中靶心
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
5．某班一同学在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又各自教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这个实验．若设1名同学每次都能教会x名同学，则可列方程为( )
A．x＋(x＋1)x＝36 B．1＋x＋(1＋x)x＝36
C．1＋x＋x2＝36 D．x＋(x＋1)2＝36
6．若eq \r(3)的整数部分为x，小数部分为y，则eq \r(3)x－y的值是( )
A．3 eq \r(3)－3 B.eq \r(3) C．1 D．3
7．定义运算：a*b＝2ab, 若a、b是方程x2＋x－m＝0(m>0)的两个根，则(a＋1)*b＋2a的值为( )
A．m B．2－2m C．2m－2 D．－2m－2
8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cs α＝eq \f(3,5)，AB＝4，则AC的长为( )
A．3 B.eq \f(16,5) C.eq \f(20,3) D.eq \f(16,3)
(第8题) (第9题)
9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连结AC、BD，则eq \f(AC,BD)＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
10．如图，正方形ABCD的边AB＝3，对角线AC和BD交于点O，P是边CD上靠近点D的三等分点，连结PA、PB，分别交BD、AC于点M、N，连结MN.有下列结论：①OM＝MD；②eq \f(S△OMA,S△ONB)＝eq \f(5,2)；③MN＝eq \f(3\r(58),20)；④S△MDP＝eq \f(3,8)，其中正确的是( )
(第10题)
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11．计算：eq \r(12)＋eq \r(27)＝________．
12．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出1个球是红球的概率为________．
13．若关于x的方程x2＋(k－3)x－k2＝0的两根互为相反数，则k＝________.
14．如图，添加一个条件：__________________________，使△ADE∽△ABC.(写一个即可)
(第14题) (第15题)

15．如图，在三角形纸片ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，BF＝4，CF＝6.将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为________．
16．如图，菱形ABCD的顶点A在函数y＝eq \f(3,x)(x>0)的图象上，函数y＝eq \f(k,x)(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且过B、D两点．若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝________．
(第16题)
三、解答题(本题共9小题，共86分)
17．(8分)计算：eq \r(（－3）2)－2sin 45°＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(2)－1)).
18．(8分)解方程：2x2－7x－4＝0.
19．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)、A(2，1)、B(1，－2)．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧按21放大，画出△OAB的一个位似图形△OA1B1；
(2)画出将△OAB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△O2A2B2；
(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是， 请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
(第19题)
20.(8分)如图，将Rt△AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转，得到△A′OB′，使点A的对应点A′落在边AB上，过点B′作B′C∥AB，交AO的延长线于点C.
(第20题)
(1)求证：∠BA′O＝∠C；
(2)若OB＝2OA，求tan∠OB′C的值．
21．(8分)如图，已知▱ABCD，点F在AB的延长线上，CF⊥AB.
(1)尺规作图：在边BC上找一点E，使得△DCE∽△CBF(保留作图痕迹，不写作法，不必证明)
(2)在(1)的条件下，若E为BC的中点，AD＝8，BF＝3，求AB的长．
(第21题)
22．(10分)定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”．例如：一元二次方程x2－4＝0的两个根是x1＝2，x2＝－2，2和－2互为相反数，则方程x2－4＝0是“对称方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”：
①x2＋x－2＝0；②x2－12＝0.
(2)已知关于x的一元二次方程x2－(k2－4)x－3k＝0 (k是常数)是“对称方程”，求k的值．
23．(10分)如图，在等腰三角形ADC中，AD＝AC，B是DC上的一点，连结AB，且有AB＝DB.
(1)若∠BAC＝90°，AC＝eq \r(3)，求CD的长；
(第23题)
(2)若 eq \f(AB,CD)＝eq \f(1,3)，求证：∠BAC＝90°.
24．(12分)在如今智能手机的功能中，都可以利用手势密码进行锁屏和解锁．其中最常见的就是利用3×3的正方形点阵设置密码，我们将其称为“9点码”．通常，在设置“9点码”时，只能连结相邻的两点(如图，不妨将9个点依次对应数字1到9，例如图中路线Ⅰ，Ⅱ是可行的，路线Ⅲ，Ⅳ是不可行的)，不能走重复的路线，从而形成相应的密码线段，线段越多，密码越复杂．已知小明设置的“9点码”从右上角的点“3”出发，且用了3个数字．
(1)已知横向和纵向的相邻两点距离为1，且以小明设置的“9点码”所经过的点为顶点的三角形恰好是等腰三角形，则该等腰三角形的面积所有可能的值为________；
(2)用概率知识并结合树状图回答：若小明设置的“9点码”用了3个数字，对于一个不知道该密码的人(已知出发点和用了3个数字)，通过画树状图，求其一次尝试能将小明手机解锁的概率．
(第24题)
25．(14分)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P、Q分别是边AD、AC上的动点．
(1)填空：AC＝________；
(2)若AP＝3PD，且点A关于PQ的对称点A′落在边CD上，求tan∠A′QC的值；
(3)设AP＝a，直线PQ交直线BC于点T，求△APQ与△CTQ面积之和S的最小值．(用含a的代数式表示)
(第25题)
答案
一、1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C 9.D
10．D
二、11.5 eq \r(3) 12.eq \f(3,8) 13.3
14．∠ADE＝∠B(答案不唯一)
15．5 eq \r(3) 16.6＋2 eq \r(3)
三、17.解：原式＝3－2×eq \f(\r(2),2)＋eq \r(2)－1＝2.
18．解：原方程可化为(x－4)(2x＋1)＝0，
∴x－4＝0或2x＋1＝0，
∴x1＝4，x2＝－eq \f(1,2).
19．解：(1)如图，△OA1B1为所作．
(2)如图，△O2A2B2为所作．
(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形．如图，点M为所求，其坐标为(－4，2)．
(第19题)
20．(1)证明：如图，∵B′C∥AB，∴∠A＋∠C＝180°.
由旋转，得OA′＝OA，∴∠1＝∠A.
∵∠1＋∠BA′O＝180°，∴∠A＋∠BA′O＝180°，
∴∠BA′O＝∠C.
(第20题)
(2)解：如图，由旋转，得OB′＝OB，
∠A′OB′＝∠AOB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°.
∵∠3＋∠4＝90°，∴∠2＝∠4.
由(1)得，∠BA′O＝∠C，
∴△A′OB≌△COB′，∴∠B＝∠OB′C.
在Rt△AOB中，OB＝2OA，
∴tan B＝eq \f(OA,OB)＝eq \f(1,2).
∴tan∠OB′C＝tan B＝eq \f(1,2).
21．解：(1)如图，点E即为所求．
(第21题)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，AB＝CD.
∵E为BC的中点，∴CE＝BE＝eq \f(1,2)BC＝4.
∵△DCE∽△CBF，∴eq \f(CE,BF)＝eq \f(DC,BC)，
∴eq \f(4,3)＝eq \f(DC,8)，∴DC＝eq \f(32,3)，∴AB＝DC＝eq \f(32,3).
22．解：(1)①x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，
∴x1＝－2，x2＝1.
∵－2和1不互为相反数，∴不是“对称方程”．
②由题意，得x＝±eq \r(12)＝±2 eq \r(3)，
即x1＝2 eq \r(3)，x2＝－2 eq \r(3).
∵2 eq \r(3)与－2 eq \r(3)互为相反数，∴是“对称方程”．
(2)设x1，x2为原方程的解，∵该方程为“对称方程”，
∴x1＋x2＝k2－4＝0，即k2＝4，解得k＝±2.
当k＝－2时，方程为x2＋6＝0，无解，不符合题意．
当k＝2时，方程为x2－6＝0，符合题意．∴k的值为2.
23．(1)解：∵AD＝AC，AB＝DB，
∴∠C＝∠D，∠D＝∠DAB，∴∠C＝∠D＝∠DAB.
∵∠BAC＝90°，∠C＋∠D＋∠DAC＝∠C＋∠D＋∠DAB＋∠BAC＝180°，∴∠C＋∠D＋∠DAB＝90°，
∴∠C＝∠D＝∠DAB＝30°.
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝AC·tan 30°＝eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝1，
∴BC＝2AB＝2，BD＝AB＝1，
∴CD＝BD＋BC＝1＋2＝3.
(2)证明：∵eq \f(AB,CD)＝eq \f(1,3)，AB＝DB，
∴BC＝2AB，DC＝3AB.
∵∠DAB＝∠C，∠D＝∠D，
∴△DAB∽△DCA，∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AD,CD).
∵AD＝AC，∴AC2＝3AB2.
∵BC＝2AB，∴BC2＝4AB2.
∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°.
24．解：(1)eq \f(1,2)或1
(2)如图．
(第24题)
由树状图可得，所有等可能的结果有15种，而符合条件的结果只有1种，所以一次尝试能将小明手机解锁的概率为eq \f(1,15).
25．解：(1)4 eq \r(2)
(2)∵在正方形ABCD中，AB＝4，AC为对角线，
∴AD＝AB＝4，∠DAC＝∠DCA＝45°，∠ADC＝90°.
∵点A关于PQ的对称点A′落在CD边上，
∴△APQ和△A′PQ关于PQ对称，
∴AP＝A′P，∠PAQ＝∠PA′Q＝45°.
∵∠DA′Q＝∠DCA＋∠A′QC＝∠PA′Q＋∠PA′D，
∴∠A′QC＝∠PA′D.
∵AP＝3PD，AD＝4，∴A′P＝AP＝3，PD＝1，
∴A′D＝eq \r(A′P2－PD2)＝2 eq \r(2)，
∴tan∠A′QC＝tan∠PA′D＝eq \f(PD,A′D)＝eq \f(1,2 \r(2))＝eq \f(\r(2),4).
(3)如图，过点Q作直线MN⊥AD于点M，交BC于点N，则MN⊥BC.
(第25题)
∵AP∥CT，∴△APQ∽△CTQ，∴eq \f(AP,CT)＝eq \f(QM,QN) .
设QM＝h，则QN＝4－h，∴eq \f(a,CT)＝eq \f(h,4－h)，
解得CT＝eq \f(a（4－h）,h) ，
∴S＝eq \f(1,2)ah＋eq \f(1,2)·eq \f(a（4－h）,h)·(4－h)＝eq \f(1,2)ah＋eq \f(a（4－h）2,2h)，
整理得ah2－(4a＋S)h＋8a＝0.∵方程有实数根，
∴[－(4a＋S)]2－4a·8a≥0，即(4a＋S)2≥32a2.
又∵4a＋S>0，a>0，∴4a＋S≥4 eq \r(2)a，
∴S≥(4 eq \r(2)－4)a .
当S＝(4 eq \r(2)－4)a时，由方程可得h1＝h2＝2 eq \r(2)，满足题意．故当h＝2 eq \r(2)时，△APQ与△CTQ面积之和S最小，最小值为(4 eq \r(2)－4)a.题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案