期末综合测试卷（试卷）2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

这是一份期末综合测试卷（试卷）2024-2025学年华东师大版九年级数学上册，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，与eq \r(2)是同类二次根式的是( )
A．eq \r(4) B．eq \r(6) C．eq \r(8) D．eq \r(20)
2．如果x＝2是方程x2－x＋c＝0的一个根，则常数c的值是( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
3．从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是( )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(3,5) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
4．已知y＝eq \r(x－3)＋eq \r(3－x)＋x＋3，则eq \r(x＋y)的值为( )
A．3 B．9 C．±3 D．eq \r(6)
5．已知m是方程x2－5x－3＝0的一个根，则代数式8＋5m－m2的值是( )
A．－3 B．5 C．3 D．－5
6．当1＜x＜4时，化简eq \r((1－x)2)－eq \r((x－4)2)的结果是( )
A．－3 B．3 C．2x－5 D．5
7．用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是( )
A．放大后，边长是原来的2倍
B．放大后，∠B的大小是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
8．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE＝1，则EF的长为( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(3,2)
C．6 D．eq \f(1,6)
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，1)，点A(4，1)，以点P为中心，把点A按逆时针方向旋转60°得到点B，在M1(－1，－eq \r(3))，M2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))，M3(1，eq \r(3)－1)，M4(2，2eq \r(3))四个点中，直线PB经过的点是( )
A．M1
B．M2
C．M3
D．M4
10．如图，在△ABC中，D是边BC上的点(不与点B，C重合)．过点D作DE∥AB交AC于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F.N是线段BF上的点，BN＝2NF；M是线段DE上的点，DM＝2ME.若已知△CMN的面积，则一定能求出( )
A．△AFE的面积 B．△BDF的面积
C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
二、填空题(每题3分，共24分)
11．计算：eq \r(8)·eq \r(6)－3eq \r(\f(4,3))＝________．
12．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是eq \f(1,4)，则盒子中棋子的总个数是________．
13．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin B＝________．
14．如图，河堤横断面的坡比是1∶eq \r(3)，AC＝12eq \r(3) m，则坡面AB的长度是________m.
15．如果一个三角形的三边长分别为5，12，13，与其相似的三角形的最长边为39，则较大的三角形的面积为________．
16．已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2，若 x1x2＋2x1＋2x2＝1，则实数k＝________．
17．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为________．
18．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于点G，连结BG并延长交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于点N.下列结论：①DE＝CN；②eq \f(BH,DH)＝eq \f(1,2)；③S△DEC＝3S△BNH；④∠BGN＝60°；⑤GN＋EG＝eq \r(3)BG.其中正确结论的个数有________个．
三、解答题(20题12分，24题14分，其余每题10分，共66分)
19．(1)计算：|eq \r(5)－3|＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)－eq \r(20)＋eq \r(3)cs 30°.
(2)先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b2－a2)＋\f(1,b＋a)))÷eq \f(b,b－a)，其中a＝－eq \r(5)，b＝eq \r(5)＋4.
20．解下列一元二次方程：(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋4x－1＝0；
(3)(x－2)2－3(x－2)＝0.
21．甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、茄子、西红柿三种中的一种．记种植辣椒为A，种植茄子为B，种植西红柿为C，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y.
(1)请用列表法或画树状图法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P.
22．如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3DF，∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝6，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
23．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30°，无人机距地面的铅直高度AM＝24eq \r(3)米，点M，C，D在同一条直线上，其中 tan α＝2.求河流的宽度CD(结果精确到1米，参考数据：eq \r(3)≈1.7)．
24．如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连结AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F.
(1)线段AM与线段AN的数量关系是________；
(2)若EF＝5，FG＝4，求AH的长；
(3)求证：FH＝2BM.
答案
一、1．C
2．D 【点拨】∵x＝2是方程x2－x＋c＝0的一个根，
∴22－2＋c＝0，∴c＝－2.
3．B 【点拨】根据题意，得随机抽取一个学号共有10种等可能结果，抽到的学号为男生的可能结果有6种，则抽到的学号为男生的概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，故选B.
4．A 【点拨】∵y＝eq \r(x－3)＋eq \r(3－x)＋x＋3，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3≥0，,3－x≥0，)) ∴x＝3，
∴y＝eq \r(3－3)＋eq \r(3－3)＋3＋3＝6，
∴eq \r(x＋y)＝eq \r(3＋6)＝3.
故选A.
5．B 【点拨】∵m是方程x2－5x－3＝0的一个根，
∴m2－5m＝3，∴8＋5m－m2＝8－(m2－5m)＝8－3＝5，故选B.
6．C 【点拨】当1＜x＜4时，
eq \r((1－x)2)－eq \r((x－4)2)
＝|1－x|－|x－4|
＝ x－1＋(x－4)
＝x－1＋x－4
＝2x－5.
故选C.
7．B
8．B 【点拨】∵直线l1∥l2∥l3，∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).
∵AB＝2，BC＝3，DE＝1，∴eq \f(2,3)＝eq \f(1,EF)，
∴EF＝eq \f(3,2)，故选B.
9．B 【点拨】∵点A(4，1)，点P(0，1)，∴PA⊥y轴，PA＝4.
由旋转得∠APB＝60°，
AP＝PB＝4.
如图，过点B作BC⊥y轴于C，易得∠BPC＝30°，
∴BC＝2，PC＝2eq \r(3)，∴B(2，1＋2eq \r(3))．
设直线PB的表达式为y＝kx＋b，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＋b＝1＋2\r(3)，,b＝1，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\r(3)，,b＝1，))
∴直线PB的表达式为y＝eq \r(3)x＋1.
当x＝－1时，y＝－eq \r(3)＋1，
∴点M1(－1，－eq \r(3))不在直线PB上；
当x＝－eq \f(\r(3),3)时，y＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＋1＝0，
∴M2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))在直线PB上；
当x＝1时，y＝eq \r(3)＋1，
∴M3(1，eq \r(3)－1)不在直线PB上；
当x＝2时，y＝2eq \r(3)＋1，
∴M4(2，2eq \r(3))不在直线PB上．
故选B.
10．D 【点拨】如图，连结ND，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，
∠A＝∠DEC.
∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC，
∴eq \f(FB,ED)＝eq \f(FD,EC).
∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴NF＝eq \f(1,3)BF，ME＝eq \f(1,3)DE，∴eq \f(NF,ME)＝eq \f(BF,DE)，∴eq \f(FD,EC)＝eq \f(NF,ME).
又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC，
∴∠ECM＝∠FDN.
∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB，
∴MC∥ND，∴S△MNC＝S△MDC.
∵DM＝2ME，∴S△EMC＝eq \f(1,2)S△DMC＝eq \f(1,2)S△MNC.
∵S△DCE＝S△EMC＋S△DMC，
∴S△DCE＝eq \f(1,2)S△MNC＋S△MNC＝eq \f(3,2)S△MNC.
故选D.
二、11．2eq \r(3) 12．12 13．eq \f(3,5) 14．24
15．270 【点拨】∵52＋122＝132，∴三边长为5，12，13的三角形是直角三角形，其面积＝eq \f(1,2)×5×12＝30.易得两个三角形的相似比为eq \f(39,13)＝3，则两个三角形的面积比为32＝9，∴较大的三角形的面积为30×9＝270.
16．－5 【点拨】∵一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝3，x1x2＝k.
∵x1x2＋2x1＋2x2＝1，∴k＋6＝1，解得k＝－5.
17．4 【点拨】如图，过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，
易得BD∥CE，
∴△ABD∽△ACE，
∴eq \f(BD,CE)＝eq \f(AB,AC).
设B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(k,m)))，则BD＝m，
∵点B为AC的中点，∴eq \f(BD,CE)＝eq \f(AB,AC)＝eq \f(1,2)，
∴CE＝2BD＝2m，∴C点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m，\f(k,2m))).
设直线BC的表达式为y＝ax＋b，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ma＋b＝\f(k,m)，,2ma＋b＝\f(k,2m)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(k,2m2)，,b＝\f(3k,2m)，))
∴直线BC的表达式为y＝－eq \f(k,2m2)x＋eq \f(3k,2m).
当x＝0时，y＝eq \f(3k,2m)，
∴A点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3k,2m)))，根据题意得eq \f(1,2)·eq \f(3k,2m)·2m＝6，解得k＝4.
18．3 【点拨】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠NBC＝∠ECD＝90°，BC＝CD，
∴∠NCB＋∠GCD＝90°.
∵CG⊥DE，∴∠EDC＋∠GCD＝90°，
∴∠NCB＝∠EDC.
在△NBC和△ECD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠NCB＝∠EDC，,BC＝CD，,∠NBC＝∠ECD，))
∴△NBC≌△ECD，
∴DE＝CN，NB＝CE，则结论①正确．
∵E为BC的中点，BC＝CD，
∴BE＝CE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)CD，∴NB＝eq \f(1,2)CD.
∵在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴△NBH∽△CDH，
∴eq \f(BH,DH)＝eq \f(NB,CD)＝eq \f(1,2)，则结论②正确．
如图①，过H点作IJ∥BC，分别交AB，CD于点I，J，则易得IJ＝BC＝CD，且HI，HJ分别为△NBH，△CDH的高．
∵△NBH∽△CDH，
∴eq \f(HI,HJ)＝eq \f(NB,CD)＝eq \f(1,2)，即HI＝eq \f(1,2)HJ，
∴HI＝eq \f(1,3)IJ＝eq \f(1,3)CD，IB＝CF＝eq \f(2,3)BN，
∴S△BNH＝eq \f(1,2)BN·HI＝eq \f(1,2)CE×eq \f(1,3)CD＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)CE·CD))＝eq \f(1,3)S△DEC，
即S△DEC＝3S△BNH，则结论③正确．
如图②，过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DE，交DE的延长线于Q，
∴∠BPC＝∠Q＝∠PGQ＝90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，
即∠NBP＝∠EBQ.
又∵BE＝CE，NB＝CE，
∴NB＝BE.
在△BPN和△BQE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠NBP＝∠EBQ，,∠NPB＝∠Q＝90°，,NB＝EB，))
∴△BPN≌△BQE，
∴BP＝BQ，
∴矩形PBQG是正方形，
∴∠BGN＝45°，则结论④错误．
如图③，连结NE，
设BN＝x(x>0)，
则BE＝CE＝x，
∴BC＝2x.
∵∠NBC＝90°，
∴CN＝eq \r(BC2＋BN2)＝eq \r(5)x，EN＝eq \r(BE2＋BN2)＝eq \r(2)x.
由△ECN的面积可得eq \f(1,2)CN·EG＝eq \f(1,2)CE·BN，即eq \f(1,2)eq \r(5)x·EG＝eq \f(1,2)x·x，解得EG＝eq \f(\r(5),5)x，
∴GN＝eq \r(EN2－EG2)＝eq \f(3\r(5),5)x，
∴GC＝CN－GN＝eq \f(2\r(5),5)x.
∵AB∥CD，∴△NGB∽△CGF，
∴eq \f(BN,FC)＝eq \f(BG,FG)＝eq \f(GN,GC)＝eq \f(\f(3\r(5),5)x,\f(2\r(5),5)x)＝eq \f(3,2)，
∴FC＝eq \f(2,3)BN＝eq \f(2,3)x(点F与点J重合)，BG＝eq \f(3,2)FG，
∴BG＝eq \f(3,5)BF.
在Rt△BCF中，BF＝eq \r(BC2＋FC2)＝eq \f(2\r(10),3)x，
∴BG＝eq \f(3,5)×eq \f(2\r(10),3)x＝eq \f(2\r(10),5)x，
∴eq \f(GN＋EG,BG)＝eq \f(\f(3\r(5),5)x＋\f(\r(5),5)x,\f(2\r(10),5)x)＝eq \r(2)，
即GN＋EG＝eq \r(2)BG，则结论⑤错误．
综上，正确结论的个数有3个．
三、19．【解】(1)原式＝3－eq \r(5)＋2－2eq \r(5)＋eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝5－3eq \r(5)＋eq \f(3,2)＝eq \f(13,2)－3eq \r(5).
(2)原式＝[eq \f(a,(b＋a)(b－a))＋eq \f(b－a,(b＋a)(b－a))]·eq \f(b－a,b) ＝eq \f(b,(b＋a)(b－a))·eq \f(b－a,b)＝eq \f(1,b＋a).
当a＝－eq \r(5)，b＝eq \r(5)＋4时，
原式＝eq \f(1,\r(5)＋4－\r(5))＝eq \f(1,4) .
20．【解】(1)x2－2x＝0，
∴x(x－2)＝0.
∴x1＝0，x2＝2.
(2)x2＋4x－1＝0，
移项，得x2＋4x＝1，
配方，得x2＋4x＋4＝1＋4，即(x＋2)2＝5，
∴x＋2＝±eq \r(5)，
∴x1＝－2＋eq \r(5)，x2＝－2－eq \r(5).
(3)(x－2)2－3(x－2)＝0，
∴(x－2)(x－2－3)＝0，
∴x－2＝0或x－5＝0，
∴x1＝2，x2＝5.
21．【解】(1)画树状图如图．
则(x，y)所有可能出现的结果有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，即结果总数为9种．
(2)由(1)可知共有9种等可能情况，甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3种，则P＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3)，∴甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率P为eq \f(1,3).
22．(1)【证明】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°.
又∵∠BEF＝90°，
∴∠ABE＋∠AEB＝∠AEB＋∠DEF＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF.
(2)【解】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BG.
∵CF＝3FD，
∴DF＝1.5.
设DE＝x，
∵△ABE∽△DEF，∴eq \f(DF,AE)＝eq \f(DE,AB)，
即eq \f(1.5,6－x)＝eq \f(x,6)，解得x1＝x2＝3，经检验，符合题意．
∴DE＝3.
∵AD∥BG，
∴△CGF∽△DEF，
∴eq \f(DE,CG)＝eq \f(DF,CF).
又∵CF＝3FD，∴eq \f(3,CG)＝eq \f(1,3)，∴CG＝9，
∴BG＝BC＋CG＝15.
23．【解】如图，过点B作BE⊥MD于点E，则易得四边形AMEB是矩形，
∴BE＝AM＝24eq \r(3)米，ME＝AB＝12米．
易得AF∥MD，∴∠ACM＝α.
在Rt△AMC中，tan α＝tan∠ACM＝eq \f(AM,MC)＝2，
∴eq \f(24\r(3),MC)＝2，∴MC＝12eq \r(3)米．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－30°＝60°，tan∠DBE＝eq \f(DE,BE)，
∴tan 60°＝eq \f(DE,24\r(3))＝eq \r(3)，∴DE＝24eq \r(3)×eq \r(3)＝72(米)，
∴CD＝DE－CE＝DE－(MC－ME)＝72－(12eq \r(3)－12)＝84－12eq \r(3)≈84－12×1.7≈64(米)．
答：河流的宽度CD约为64米．
24．(1)AM＝AN 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴∠ADN＝∠ABM＝90°.又∵BM＝DN，∴△ABM≌△ADN.∴AM＝AN.
(2)【解】由题知，EH＝EG＝4＋5＝9，∴AM＝HE＝9.
∵∠MAH＝∠HEG，∠AHM＝∠EHF，
∴△AHM∽△EHF，∴eq \f(AH,EH)＝eq \f(AM,EF)，∴eq \f(AH,9)＝eq \f(9,5)，∴AH＝eq \f(81,5).
(3)【证明】连结GH，如图，令∠BAM＝α，则∠MAH＝∠HEG＝2α，在△HEG中，EH＝EG，∴∠G＝∠EHG＝eq \f(1,2)(180°－2α)＝90°－α.
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°－∠BAH＝90°－3α.
∴∠GFH＝∠FEH＋∠EHF＝2α＋90°－3α＝90°－α，
∴∠G＝∠GFH，∴FH＝GH.
延长线段MB至点I，使BI＝BM，连结AI，如图，则AB垂直平分IM，
∴AI＝AM，∴∠IAM＝2∠BAM＝2α，
∴∠IAM＝∠HEG.
又∵AM＝AI＝EH＝EG，∴△IAM≌△HEG，∴GH＝IM，∴FH＝IM＝2BM.