青岛版初中八年级数学上册专项素养综合练(六)等腰三角形中三种常见的辅助线课件

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专项素养综合全练(六)等腰三角形中三种常见的辅助线1.如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是BC边的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:ED⊥DF.类型一　等腰三角形中有底边中点时,常作底边上的中线证明　连接AD,如图所示, ∵AB=AC,∠BAC=90°,∴△ABC为等腰直角三角形,∴∠B=∠C=45°.∵D为BC的中点,∴BD=CD,AD⊥BC. ∵∠B=∠C=45°,∴△ABD与△ACD均为等腰直角三角形,∴AD=BD=CD,∠DAC=∠B=45°,∵BE=AF,∴△BED≌△AFD,∴∠BDE=∠ADF.又∵∠BDE+∠EDA=90°,∴∠EDF=∠ADF+∠EDA=90°,即ED⊥DF.2.如图,△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB.类型二　等腰三角形没有底边中点时,常作底边上的高证明　如图,过E作EF⊥AC于F,∵EA=EC,∴AF=FC= AC.∵AC=2AB,∴AF=AB.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,在△BAE和△FAE中, ∴△BAE≌△FAE(SAS),∴∠ABE=∠AFE=90°,∴EB⊥AB.3.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)求证:PD=QD;(2)过点P作直线BC的垂线,垂足为E,点P,Q在移动的过程中,线段BE,ED,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.类型三　等腰三角形中证与腰有关的线段时,常作腰的平行线(或垂线)解析　(1)证明:如图,过P点作PF∥AC交BC于F. ∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=PF,∴PF=CQ.在△PFD与△QCD中, ∴△PFD≌△QCD(AAS),∴PD=QD.(2)存在,线段ED是长度保持不变的线段.理由:由(1)得△PFD≌△QCD,∴DF=CD,∴FD= FC.由(1)知BP=PF,∵PE⊥BF,∴EF= BF, ∴ED=FD+EF= FC+ BF= BC,∴线段ED是长度保持不变的线段.