专题1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系(含答案)2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型 高分突破》(人教版)
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这是一份专题1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系(含答案)2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型 高分突破》(人教版),文件包含专题13一元二次方程根的判别式根与系数的关系3个考点八大题型原卷版2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》人教版docx、专题13一元二次方程根的判别式根与系数的关系3个考点八大题型解析版2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型高分突破》人教版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共25页, 欢迎下载使用。
【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】
【题型4 由根与系数的关系求代数式(直接)】
【题型5 由根与系数的关系求代数式(代换)】
【题型6 由根与系数的关系求代数式(降次)】
【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】
【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】
【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】
1.(2023春•南岗区校级期中)一元二次方程x2﹣2x﹣3=0根的情况是( )
A.有两个相等的实数根B.无实数根
C.有一个实数根D.有两个不等的实数根
【答案】D
【解答】解:∵Δ=(﹣2)2﹣4×1×(﹣3)=16>0,
∴一元二次方程x2﹣2x﹣3=0有两个不相等的实数根.
故选:D.
2.(2023•平顶山二模)定义运算:a※b=a2b+ab﹣1,例如:2※3=22×3+2×3﹣1=17,则方程x※1=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.只有一个实数根
【答案】A
【解答】解:由新定义得:x2+x﹣1=0,
∵Δ=12﹣4×1×(﹣1)=5>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
3.(2023•柘城县二模)一元二次方程x2+2x﹣5=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.没有实数根
C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根
【答案】A
【解答】解:∵Δ=22﹣4×1×(﹣5)=24>0,
∴一元二次方程x2+2x﹣5=0有两个不相等的实数根.
故选:A.
4.(2023•桂林二模)一元二次方程2x2﹣5x+6=0的根的情况为( )
A.无实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不等的实数根
【答案】A
【解答】解:2x2﹣5x+6=0,
∴b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×2×6=﹣23<0,
∴原方程没有实数根.
故选:A.
5.(2023•东城区一模)关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+1=0根的情况是( )
A.无实根B.有实根
C.有两个不相等实根D.有两个相等实根
【答案】C
【解答】解:∵x2﹣(k+3)x+2k+1=0,
∴Δ=b2﹣4ac=[﹣(k+3)]2﹣4×1×(2k+1)
=k2+6k+9﹣8k﹣4
=k2﹣2k+5
=(k﹣1)2+4,
∵(k﹣1)2≥0,
∴Δ=(k﹣1)2+4≥4>0,
∴方程有两个不相等的实根.
故选:C.
6.(2023•新郑市模拟)一元二次方程2x2﹣mx﹣1=0的根的情况是( )
A.没有实数根B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根D.无法确定
【答案】B
【解答】解:∵Δ=b2﹣4ac=(﹣m)2﹣4×2×(﹣1)=m2+8>0,
∴一元二次方程2x2﹣mx﹣1=0有两个不相等的实数根.
故选:B.
7.(2023•三门峡一模)一元二次方程(x﹣1)2=x+3的根的情况( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.只有一个实数根
【答案】A
【解答】解:∵(x﹣1)2=x+3,
∴x2+1﹣2x=x+3,
∴x2﹣3x﹣2=0,
∴a=1,b=﹣3,c=﹣2,
∴Δ=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣2)=17>0.
∴原方程有两个不相等的实数根.
故答案选:A.
8.(2023春•瑞安市期中)关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1=0的根的情况,下列说法中正确的是( )
A.有两个实数根B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根D.无实数根
【答案】A
【解答】解:∵Δ=k2﹣4(k﹣1)
=k2﹣4k+4
=(k﹣2)2≥0,
∴方程有两个实数根.
故选:A.
【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】
9.(2023•洛阳二模)已知关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根,则k的值为( )
A.k=4B.k=﹣4C.k≤4D.k<4
【答案】C
【解答】解:∵关于x的方程x2+4x+k=0有两个实数根,
∴△≥0,即Δ=16﹣4k≥0,
解得k≤4.
故k的取值范围为:k≤4;
故选:C.
10.(2023•济源一模)若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5=0有实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m≤1 B.m≤﹣1 C.m<﹣1D.m≥﹣1且m≠0
【答案】B
【解答】解:∵一元二次方程x2+4x+m+5=0有实数根,
∴Δ≥0,即42﹣4×1×(m+5)≥0,
解得m≤﹣1,
故选:B.
11.(2023•东莞市校级一模)已知方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值( )
A.k>﹣1B.k>1C.k>1且k≠0D.k>﹣1且k≠0
【答案】D
【解答】解:根据题意得k≠0且Δ=22﹣4×k×(﹣1)>0,
所以k>﹣1且k≠0.
故选:D.
12.(2023春•洞头区期中)关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是( )
A.﹣36B.﹣9C.9D.36
【答案】C
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(﹣6)2﹣4c=0,
解得c=9,
故选:C.
13.(2023•阿克苏市一模)若关于x的一元二次方程(k﹣2)x2+2x+3=0有两个实数根,则k的取值范围( )
A.B.C.k<且k≠2D. 且k≠2
【答案】D
【解答】解:根据题意得k﹣2≠0且Δ=22﹣4(k﹣2)×3≥0,
解得k≤且k≠2,
故选:D.
14.(2023•贵阳模拟)若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k=0没有实数根,则k的值可以是( )
A.﹣5B.﹣4C.﹣3D.2
【答案】A
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k=0无实数根,
∴Δ=(﹣4)2+4k<0,
∴k<﹣4,
∴四个选项中,只有A选项符合题意.
故选:A.
【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】
15.(2023春•蜀山区校级期中)已知关于x的一元二次方程x2+(2k﹣1)x﹣k﹣1=0.
(1)求证:无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有两个实数根x1、x2,且x1+x2﹣4x1x2=2,求k的值.
【答案】(1)见解答;
(2)﹣1.5.
【解答】(1)证明:∵Δ=(2k﹣1)2﹣4×1×(﹣k﹣1)
=4k2+1﹣4k+4k+4
=4k2+5>0,
∴无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:由根与系数的关系得出:x1+x2=﹣(2k﹣1),x1x2=﹣k﹣1,
由x1+x2﹣4x1x2=2得:﹣(2k﹣1)﹣4(﹣k﹣1)=2,
解得:k=﹣1.5.
16.(2023春•庐阳区校级期中)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+m﹣1=0.
(1)求证:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若a和b是这个一元二次方程的两个根,且a2+b2=9,求m的值.
【答案】(1)证明见解答过程;
(2)m=1或m=﹣3..
【解答】(1)证明:在关于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+m﹣1=0中a=1,b=﹣(m+2),c=m﹣1,
所以Δ=m2+4m+4﹣4m+4=m2+8,
无论m取何值,m2+8>0,
所以,无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:因为a和b是这个一元二次方程的两个根,
所以a+b=m+2,ab=m﹣1,
所以a2+b2=(a+b)2﹣2ab=(m+2)2﹣2m+2=m2+2m+6=(m+1)2+5=9.
解得m=1或m=﹣3.
17.(2023•门头沟区二模)已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果此方程的一个根为1,求k的值.
【答案】(1)略;
(2)k的值为0或2.
【解答】(1)证明:∵a=1,b=﹣2k,c=k2﹣1,
∴b2﹣4ac=(﹣2k)2﹣4×1×(k2﹣1)
=4k2﹣4k2+4
=4>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)由题意得12﹣2k×1+k2﹣1=0,
整理,得k2﹣2k=0,
解得k1=0,k2=2,
∴k的值为0或2.
18.(2023•金溪县模拟)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长,其中BC=10,求k值.
【答案】(1)见解答;
(2)k=9或k=10.
【解答】(1)证明:∵Δ=[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+k)=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)解:∵x2﹣(2k+1)x+k2+k=0,即(x﹣k)(x﹣k﹣1)=0,
解得:x1=k,x2=k+1.
当等腰△ABC的腰长为10时,
∴k=10或k+1=10,
∴k=9,
解得:k=9或k=10.
19.(2023•长安区校级一模)已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的一个根为x=0,且m为正数,求m的值.
【答案】(1)见解答;
(2)m=2.
【解答】(1)证明:∵Δ=(﹣2m)2﹣4(m2﹣4)=16>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)解:∵该方程的一个根为x=0,
∴m2﹣4=0,解得m=±2,
∵m是正数,
∴m=2.
20.(2022秋•东城区期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m﹣2=0.
(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)当该方程的判别式的值最小时,写出m的值,并求出此时方程的解.
【答案】(1)见解答;(2)x=﹣2或x=1.
【解答】(1)证明:∵Δ=(2m+1)2﹣4×1×(m﹣2)
=4m2+4m+1﹣4m+8
=4m2+9>0,
∴无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:m=0时,判别式的值最小,
把m=0代入方程,
x2+x﹣2=0,
(x+2)(x﹣1)=0,
∴x=﹣2或x=1.
【题型4 由根与系数的关系求代数式(直接)】
21.(2023•红桥区模拟)若一元二次方程x2+4x﹣12=0的两个根分别为x1,x2,则x1+x2的值等于( )
A.﹣4B.4C.﹣12D.12
【答案】A
【解答】解:∵一元二次方程x2+4x﹣12=0的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=﹣=﹣4,
故选:A.
22.(2023•五华县校级开学)设一元二次方程x2﹣12x+3=0的两个实根为x1和x2,则x1x2=( )
A.﹣2B.2C.﹣3D.3
【答案】D
【解答】解:x2﹣12x+3=0,
∴a=1,b=﹣12,c=3,
x1x2==3,
故选:D.
23.(2023•六盘水二模)已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两根,则x1+x2+2x1x2的值为( )
A.﹣2B.﹣1C.1D.2
【答案】D
【解答】解:根据题意得:x1+x2=﹣4,x1x2=3,
所以x1+x2+2x1x2=﹣4+2×3=2.
故选:D.
24.(2023•长丰县模拟)若m,n是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则m+n﹣mn的值是( )
A.5B.﹣5C.1D.﹣1
【答案】A
【解答】解:∵m,n是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,
∴m+n=2,mn=﹣3,
∴m+n﹣mn=2+3=5,
故选:A.
【题型5 由根与系数的关系求代数式(代换)】
25.(2023•南山区三模)若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2,则的值是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解答】解:由题意得x1+x2=﹣=4,x1x2==3,
∴==,
故选:C.
26.(2023•潍城区二模)若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的两根,则的值为( )
A.19B.9C.1D.﹣1
【答案】A
【解答】解:∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的两根,
∴x1+x2=3,x1•x2=﹣5,
∴+=(x1+x2)2﹣2x1x2=9+10=19.
故选:A.
27.(2023•汉阳区校级模拟)若实数m,n满足条件:m2﹣2m﹣1=0,n2﹣2n﹣1=0,则的值是( )
A.2B.﹣4C.﹣6D.2或﹣6
【答案】D
【解答】解:当m≠n时,
∴m、n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,
∴m+n=2,mn=﹣1,
∴原式=
=
=
=﹣6,
当m=n时,
原式=1+1=2,
故的值是2或﹣6.
故选:D.
28.(2023•兴庆区校级二模)已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根,则m2+mn+2m的值为( )
A.﹣10B.10C.3D.0
【答案】D
【解答】解:∵m是一元二次方程x2+2x﹣5=0的根,
∴m2+2m﹣5=0,
即m2=5﹣2m,
∴m2+mn+2m=5﹣2m+mn﹣2m=5+mn,
∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根,
∴mn=﹣5,
∴m2+mn+2m=5﹣5=0.
故选:D.
29.(2022秋•南安市期末)已知一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根分别是x1、x2,则x2+x1的值是( )
A.﹣2B.2C.﹣3D.3
【答案】D
【解答】解:∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根分别是x1,x2,
∴,,
∴.
故选:D.
30.(2023•临沭县一模)已知m,n是一元二次方程x2+2x﹣2023=0的两个实数根,则代数式m2+4m+2n的值等于( )
A.2023B.2022C.2020D.2019
【答案】D
【解答】解:∵m,n是一元二次方程x2+2x﹣2023=0的两个实数根,
∴m2+2m=2023,m+n=﹣2,
∴m2+4m+2n
=(m2+2m)+2(m+n)
=2023+(﹣4)
=2019.
故选:D
【题型6 由根与系数的关系求代数式(降次)】
31.(2023•河东区一模)已知x1,x2是方程x2﹣x﹣2023=0的两个实数根,则代数式的值是( )
A.4047B.4045C.2023D.1
【答案】A
【解答】解:∵x1,x2是方程x2﹣x﹣2023=0的两个实数根,
∴,x1x2=﹣2023,x1+x2=1,
∴=,
故选:A.
32.(2022秋•嘉陵区校级期末)如果m,n是一元二次方程x2+x=3的两个根,那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于( )
A.2018B.2012C.﹣2012D.﹣2018
【答案】A
【解答】解:∵m、n是一元二次方程x2+x=3的两个实数根,
∴m2+m﹣3=0,
∴m2=﹣m+3,
∴m3=m(﹣m+3)
=﹣m2+3m
=﹣(﹣m+3)+3m
=4m﹣3,
∴m3+4n﹣mn+2022
=4m﹣3+4n﹣mn+2022
=4(m+n)﹣mn+2019,
∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3=0的两个实数根,
∴m+n=﹣1,mn=﹣3,
∴原式=4×(﹣1)﹣(﹣3)+2019
=﹣4+3+2019
=2018.
故选:A.
【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】
33.(2023•安丘市模拟)已知方程x2+2023x﹣5=0的两根分别是α和β,则代数式α2+β+2024α的值为( )
A.0B.﹣2018C.﹣2023D.﹣2024
【答案】B
【解答】解:∵α为方程x2+2023x﹣5=0的根,
∴α2+2023α﹣5=0,
∴α2=﹣2023α+5,
∴α2+β+2024α=﹣2023α+5+β+2024α=α+β+5,
∵方程x2+2023x﹣5=0的两根分别是α和β,
∴α+β=﹣2023,
∴α2+β+2024α=﹣2023+5=﹣2018.
故选:B.
34.(2023•肥城市一模)已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024=0的两个实数根,则代数式m2﹣2m﹣n的值为( )
A.2020B.2021C.2022D.2023
【答案】D
【解答】解:∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2024=0的两个实数根,
∴m+n=1,
∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2024=0的实数根,
∴m2﹣m=2024,
∵m2﹣2m﹣n=m2﹣m﹣(m+n)=2024﹣1=2023,
故选:D.
35.(2023•鼓楼区校级模拟)已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010=0的两根,则a2﹣a﹣4b的值是( )
A.2020B.2021C.2022D.2023
【答案】C
【解答】解:∵a是关于x的方程x2+3x﹣2010=0的根,
∴a2+3a﹣2010=0,
∴a2=﹣3a+2010,
∴a2﹣a﹣4b=﹣3a+2010﹣a﹣4b=﹣4(a+b)+2010,
∵a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010=0的两根,
∴a+b=﹣3,
∴a2﹣a﹣4b=﹣4×(﹣3)+2010=2022.
故选:C.
36.(2023•东港区校级一模)已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022=0的两个实数根,则代数式m2﹣2m﹣n的值等于( )
A.2020B.2021C.2022D.2023
【答案】B
【解答】解:∵m、n是一元二次方x2﹣x﹣2022=0的两个实数根,
∴m+n=1,
∵m是一元二次方程x2﹣x﹣2022=0的实数根,
∴m2﹣m=2022,
∵m2﹣2m﹣n=m2﹣m﹣(m+n)=2022﹣1=2021,
故选:B
37.(2023春•江岸区校级月考)设α、β是方程x2+2019x﹣2=0的两根,则(α2+2022α﹣1)(β2+2022β﹣1)的值为( )
A.6076B.﹣6074C.6040D.﹣6040
【答案】B
【解答】解:∵α、β是方程x2+2019x﹣2=0的两根,
∴α2+2019α﹣2=0,β2+2019β﹣2=0,α+β=﹣2019,αβ=﹣2,
∴α2=2﹣2019α,β2=2﹣2019β,
∴(α2+2022α﹣1)(β2+2022β﹣1)
=(2﹣2019α+2022α﹣1)(2﹣2019β+2022β﹣1)
=(1+3α)(1+3β)
=1+3(α+β)+9αβ
=1+3×(﹣2019)+9×(﹣2)
=﹣6074.
故选:B.
38.(2022秋•莲池区校级期末)若m,n是一元二次方程x2+4x﹣9=0的两个根,则m2+5m+n的值是( )
A.4B.5C.6D.12
【答案】B
【解答】解:∵m,n是一元二次方程x2+4x﹣9=0的两个根,
∴m2+4m﹣9=0,m+n=﹣4,
∴m2+4m=9,
∴m2+5m+n=m2+4m+m+n=9﹣4=5.
故选:B
【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】
39.(2023•阿克苏市二模)若x=2是方程x2﹣x+m=0的一个根,则此方程的另一个根是( )
A.﹣1B.0C.1D.2
【答案】A
【解答】解:设x2﹣x+m=0另一个根是α,
∴2+α=1,
∴α=﹣1,
故选:A.
40.(2020秋•甘井子区期末)关于x的方程x2﹣4x+m=0有一个根为﹣1,则另一个根为( )
A.﹣2B.2C.﹣5D.5
【答案】D
【解答】解:∵关于x的方程x2﹣4x+m=0有一个根为﹣1,另一根为a,
∴﹣1+a=4,
解得:a=5,
则另一根为5.
故选:D.
41.(2020春•宣城期末)关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4=0的一个根x1=﹣2,则方程的另一个根x2和k的值为( )
A.x2=1,k=2B.x2=2,k=2C.x2=1,k=﹣1D.x2=2,k=﹣1
【答案】A
【解答】解:∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4=0的一个根x1=﹣2,
∴x1x2=﹣2x2=﹣2,x1+x2=﹣2+x2=﹣,
解得:x2=1,k=2,
则方程的另一个根x2和k的值为x2=1,k=2.
故选:A.
42.(2023•诸暨市模拟)关于x的一元二次方程x2+mx﹣2=0有一个解为x=1,则该方程的另一个解为( )
A.0B.﹣1C.2D.﹣2
【答案】D
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2=0的一个根是1,
∴12+m﹣2=0,
解得:m=1.
一元二次方程为:x2+x﹣2=0,设另一根为n,则:
1+n=﹣1,
∴n=﹣2.
故选:D.
43.(2023•洛阳一模)已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2=0有一个根是﹣2,则另一个根是( )
A.1B.﹣1C.2D.﹣2
【答案】D
【解答】解:设方程的另一个根是m,
根据根与系数的关系,得﹣2m=﹣2,
解得m=1,
故选:A.
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