2.11 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型（苏科版）（学生版）

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专题2.11 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型【苏科版】考卷信息：本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！【题型1 数列型规律探究】1．（2023春·山东济宁·六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（    ）A．3n-2个 B．3n+2个 C．5n+1个 D．5n-1个2．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（　　）A．253 B．255 C．257 D．2593．（2023春·河北保定·七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（    ）A．380 B．382 C．384 D．3864．（2023春·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（　　　）A．-3029 B．-3032 C．-3035 D．-30385．（2023春·江西上饶·七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 AM=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)6．（2023春·湖南永州·九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，则72020的个位数字是 ．【题型2 裂差型规律探究】1．（2023春·浙江杭州·七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= ．2．（2023春·福建泉州·七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：第1个等式：a1=11×3=12×1-13；第2个等式：a2=13×5=12×13-15；第3个等式：a3=15×7=12×15-17；第4个等式：a4=17×9=12×17-19；…请回答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5=_________=_________；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_________=_________(n为正整数)；（3）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2018的值．（4）求15×10+110×15+115×20+120×25+……+12015×2020的值3．（2023春·北京·七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7＋2|＝ ；②|－12＋15|＝ ；（2）用简单的方法计算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋|12021－12020|．4．（2023春·河北保定·七年级校联考期中）观察下列各式：-1×12=-1+12-12×13=-12+13-13×14=-13+14……(1)按照上述规律，第4个等式是：________________________________(2)第n个等式是：________________________(3)运用你发现的规律计算：-15×16+-16×17(4)-1×12+-12×13+-13×14+⋯+-12021×12022=________5．（2023春·河南新乡·七年级校考期中）（1）12×23=________12×23×34=________12×23×34×45=________猜想：12×23×34×45×⋯⋯×nn+1=________（2）根据上面的规律，解答下列问题：①计算：1100-1×199-1×198-1×⋯⋯×13-1×12-1②将2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14……，依次类推，最后减去余下的12020，则剩余的结果是多少?6．（2023春·浙江金华·七年级统考期中）我们知道：1-12=21×2-11×2=11×2；12-13=32×3-22×3=12×3；13-14=43×4-33×4=13×4；…，反过来，可得：11×2=1-12；12×3=12-13；13×4=13-14；…，各式相加，可得：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34．根据上面的规律，解答下列问题：(1)11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7=___________；(2)计算：11×5+15×9+19×13+⋅⋅⋅+197×101；(3)计算：11×4×7+14×7×10+17×10×13+⋅⋅⋅+194×97×100．【题型3 新定义型规律探究】1．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知：C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=10，C64=6×5×4×31×2×3×4=15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C118= ．2．（2023春·全国·七年级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，…；（2）f(12)=2，f(13)=3，f(14)=4，f(15)=5，…．利用以上规律计算：f(12008)-f(2008)= ．3．（2023春·江西宜春·七年级统考期中）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14……利用以上规律计算：f12019+f12018+f12017+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f13+f12 +f1+f2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+f2019的值为： .4．（2023春·山西临汾·七年级校联考期中）探究规律，完成相关题目．老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”然后老师写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；(-3)※(-5)=+(|3|+|5|)=+8；(-3)※(+4)=-(|3|+|4|)=-7；(+5)※(-6)=-(|5|+|6|)=-11；0※(+8)=8；(-6)※0=6．小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)归纳※（加乘）运算的运算法则．两数进行※（加乘）运算时，运算法则是： ；特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算运算法则是： ．(2)计算：①(-5)※0※(-3)；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）②(-4)※3※(-10)※(-5)．5．（2023春·重庆潼南·七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题．甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；(-3)*(+6)=-9；(+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：(-2)*(-7)= ；(+4)*(-3)= ；0*(-5)= ．请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：两数进行*（加乘）运算时， ．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ．(2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）6．（2023春·北京房山·七年级统考期末）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；1    2    3    4    =（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？【题型4 含n2型规律探究】1．（2023春·全国·七年级期末）观察下列等式：（1）13=12（2）13+23=32（3）13+23+33=62（4）13+23+33+43=102……根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（   ）A．45 B．54 C．55 D．652．（2023·浙江嘉兴·七年级校联考期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为n2-12，偶数项表示为n22．如：第一个数为12-12=0，第二个数为222=2，…现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点P在原点，记为P1；第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；…按此规律跳跃，点P20表示的数为 ．3．（2023春·广东珠海·八年级校联考期末）观察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④……（1）第⑤个式子　 　，第⑩个式子　 　；（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明：（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…（1+12016×2018）．4．（2023春·四川乐山·七年级统考期中）(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1﹣1n2＝______(3)利用上述规律计算下式的值：(1-122)×(1-132)×(1-142)×…×(1-1992)×(1-11002)5．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：12=1×2×36；12+22=2×3×56；12+22+32=3×4×76；12+22+32+42=4×5×96；…(1)根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；(2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：112+122+132+142+152．6．（2023春·北京·七年级北京四中校考期中）阅读材料．我们知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵中共有nn+12个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为　 　，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=　 　，因此，12+22+32+…+n2=　 　．【解决问题】根据以上发现，计算：12+22+32+⋯1021+2+3+⋯+10的结果为　 　．【题型5 定义两个数的运算】1．（2023春·天津·七年级校考期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝2a-b,a≥ba-2b,a”或“=”）(5)计算：-142÷-12④×-7⑥--48÷-17④+-15．（2023春·江苏·七年级期末）数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定m=||c-a|-|c-b||，n=|c-a|+|c-b|（1）当a=-3，b=4，c=2时，则m=______，n=______．（2）当a=-3，b=4，m=3，n=7时，则c=______．（3）当a=-3，b=4，且n=2m，求c的值．（4）若点A、B、C为数轴上任意三点，p=|a-b|，化简：|m-p|-|p-n|+2|m-n|6．（2023春·福建厦门·七年级大同中学校考期中）利用图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图条，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，将第一行数字从左到右一次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，（规定20=1）如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班的学生．(1)图3中所来示学生所在班级序号是_____________．(2)我校两校区七年级共有18个班，班级编号从1至18，问是否能用该系统全部识别？若能，请说明原因，并在图4的第一行表示出班级编号为18的班级．若不能，请你运用数字“1”、“2”，结合“+”、“-”、“×”、“÷”或乘方运算（每个数字和符号使用次数不限）对该系统规则进行改编，并求出改编后的新系统规则可表示的班级编号范围．1﹣122(1+13)(1-13) 1﹣132(1+15)(1-15)1﹣142(1+14)(1-14)1﹣152(1+12)(1-12)