2023-2024学年上海市浦东新区重点中学高一（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区重点中学高一（上）期末数学试卷(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a，b都是自然数，则“a+b是偶数”是“a，b都是偶数”的条件．( )
A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=−lnxB. f(x)=12xC. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|
3.若实数x，y满足x2+4y2−xy=3，则成立．( )
A. xy≥1B. x2+4y2≤4C. x+2y≥− 2D. x+2y≤ 2．
4.已知非空集合A、B满足：A∪B=R，A∩B=⌀，已知函数f(x)=−x2,x∈A−2x+1,x∈B，对于下列两个命题：①存在无穷多非空集合对(A,B)，使得方程f(x)=−2无解；②存在唯一的非空集合对(A,B)，使得f(x)为偶函数.下列判断正确的是( )
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确C. ①②都正确D. ①②都错误
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知全集U=R，集合A={x||x|>0}，则A−=______．
6.函数y=lg21+x1−x的定义域是______．
7.已知x>0，则f(x)=x+2x的最小值为______ ．
8.方程x2+x+c=0的两个实数根为x1、x2，若x12x2+x22x1=3，则实数c=______．
9.若幂函数的图像经过点(4,2)，则此幂函数为y= ______ ．
10.若x>0时，指数函数y=(m2−3)x的值总大于1，则实数m的取值范围是______．
11.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f(x)=ex−1，则f(x)的值域是______．
12.已知tanα=−34，则sinα= ______ ．
13.函数f(x)=lg3(−x2+x)的严格增区间为______ ．
14.关于x的方程|2x−3|+|−x+2|=|x−1|的解集为______．
15.设p>0，q>0且满足lg16p=lg20q=lg25(p+q)，则pq=______．
16.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1).若对任意x∈(−∞,m]，都有f(x)≥−89，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知角α的终边过点P(2t,−3t)(t≠0)，求角α的正弦、余弦，正切及余切值．
18.(本小题10分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=4x+k2x(k∈R)．
(1)是否存在实数k，使函数y=f(x)是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当k=1时，判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明．
19.(本小题10分)
已知全集为实数集R，集合M={x|116≤22x≤256}，N={x|lg5(x2−4x)≥1}，求：
(1)M∩N；
(2)若对任意的x∈(M∩N)，使得a+1>(12)xa成立，求实数a的取值范围．
20.(本小题10分)
环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据如下表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①M1(v)=140v3+bv2+cv；②M2(v)=1000⋅23v+a；③M3(v)=300lgav+b．
(1)当0≤v≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由)，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的关系满足N(v)=2v2−10v+200(80≤v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
21.(本小题14分)
已知函数f(x)=2x(x∈R)，记g(x)=f(x)−f(−x)．
(1)解不等式：f(2x)−f(x)≤6；
(2)设k为实数，若存在实数x0∈(1,2]，使得g(2x0)=k⋅g2(x0)−1成立，求k的取值范围；
(3)记h(x)=f(2x+2)+a⋅f(x)+1(其中a为实数)，若对于任意的x∈[0,1]，均有h(x)⩾12，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：令a=1，b=3，满足a+b是偶数，但a，b都不是偶数，故充分性不成立，
a，b都是偶数，
则a+b是偶数，故必要性成立，
故“a+b是偶数”是“a，b都是偶数”的必要不充分条件．
故选：B．
根据已知条件，依次讨论充分性，必要性，即可求解．
本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A，因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=−lnx在(0,+∞)上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在(0,+∞)上单调递增，y=1x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=1x在(0,+∞)上单调递减，y=−x在(0,+∞)上单调递减，
所以f(x)=−1x在(0,+∞)上单调递增，故C正确；
对于D，因为f(12)=3|12−1|=312= 3，f(1)=3|1−1|=30=1，f(2)=3|2−1|=3，
显然f(x)=3|x−1|在(0,+∞)上不单调，D错误．
故选：C．
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可．
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵x2+4y2−xy=3，∴x2+4y2=xy+3，
又∵x2+4y2≥2x⋅2y=4xy，当且仅当x=2y时，取等号，
∴xy+3≥4xy，即xy≤1，故A错误，
∴x2+4y2=xy+3≤4，故B正确，
∴(x+2y)2=x2+4xy+4y2=3+5xy≤8，
∴−2 2≤x+2y≤2 2，故CD错误，
故选：B．
由题意可知x2+4y2=xy+3，由基本不等式可得x2+4y2≥2x⋅2y=4xy，当且仅当x=2y时，取等号，代入可得xy≤1，进而可判断AB，再结合(x+2y)2=x2+4xy+4y2=3+5xy可判断CD．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，设∃a∈R，A=[a,+∞)，B=(−∞,a)，
易知当x∈B时，f(x)>−2a+1，当x∈A时，f(x)≤−a2，
令−2a+1≥−2−a20，
解得−10，所以f(x)=x+2x≥2 x⋅2x=2 2，
当且仅当x=2x，即x= 2时，等号成立．
故答案为：2 2．
利用基本不等式即可得解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】−3
【解析】解：∵方程x2+x+c=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=−1，x1x2=c，
∵x12x2+x22x1=3，∴x1x2(x1+x2)=3，
∴−c=3，∴c=−3．
故答案为：−3．
由根与系数的关系，可得x1+x2=−1，x1x2=c，进而可求c．
本题考查函数的零点与方程根的关系，属基础题．
9.【答案】y=x12,x∈[0,+∞)
【解析】解：由题意，设幂函数y=xα，
则2=4α，解得α=12，
所以y=x12,x∈[0,+∞)．
故答案为：y=x12,x∈[0,+∞)．
设幂函数y=xα，将点(4,2)代入，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
10.【答案】(−∞,−2)∪(2,+∞)
【解析】解：若x>0时，指数函数y=(m2−3)x的值总大于1，则m2−3>1，解得m2．
则实数m的取值范围是(−∞,−2)∪(2,+∞)．
故答案为：(−∞,−2)∪(2,+∞)．
根据指数函数a>1时，函数单调递增，可得m2−3>1，求解即可．
本题考查指数函数性质的应用，属于基础题．
11.【答案】(−1,1)
【解析】解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，且x≤0时，f(x)=ex−1，
∴f(x)=−1ex+1,x>0ex−1，
∴当x>0时，f(x)=−1ex+1∈(0,1)，
当x≤0时，f(x)=ex∈(−1,0]，
则f(x)的值域是(−1,1)．
故答案为：(−1,1)．
推导出f(x)=−1ex+1,x>0ex−1，由此能求出f(x)的值域．
本题考查函数的定义域和函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】−35或35
【解析】解：因为tanα=−340，解得sinα=35；
若角α为第四象限角，则tanα=sinαcsα=−34sin2α+cs2α=1sinα0，即x2−x