2023-2024学年北京市昌平区高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市昌平区高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知角α的终边经过P(2,−1)，则csα等于( )
A. 55B. − 55C. 2 55D. −2 55
2.若sinθ>0且tanθ0,|φ|0)，f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)求f(x)在区间[−π4,π6]上的最小值；
(Ⅲ)若f(x)在区间[0,m]上单调递增，求实数m的最大值．
19.(本小题15分)
在△ABC中，a2+b2+ab=c2．
(Ⅰ)求∠C；
(Ⅱ)若a= 6，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在．
(ⅰ)求sinB的值；
(ⅱ)求△ABC的面积．
条件①：csA= 22；
条件②：c=2；
条件③：c=3 2sinA
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题15分)
如图，在几何体ABCDEF中，侧面ADEF是正方形，平面CDE⊥平面ABCD，CD/​/AB，∠ADC=90°，AB=2CD．
(Ⅰ)求证：AD⊥CE；
(Ⅱ)求证：CE/​/平面ABF；
(Ⅲ)判断直线BE与CF是否相交，说明理由．
21.(本小题15分)
已知函数f(x)=sinx+csx，先将f(x)图象上所有点向右平移π4个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍，得到函数g(x)的图象．
(Ⅰ)求g(x)的解析式和零点；
(Ⅱ)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解α、β．
(ⅰ)求实数m的取值范围；
(ⅱ)求cs(α−β)的值.(用含m的式子表示)
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.A
6.B
7.D
8.C
9.C
10.B
11.8
12.−35
13.−1
14.[−1,1] (− 22,0)
15.①②④
16.解：∵sinα=35，且α为第二象限角，∴csα=− 1−sin2α=−45，
∴tanα=sinαcsα=35−45=−34．
(Ⅰ)tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11−(−34)×1=17；
(Ⅱ)cs2α 2sin(α−π4)=cs2α−sin2α 2(sinαcsπ4−csαsinπ4)
=(csα+sinα)(csα−sinα) 2× 22(sinα−csα)=−(sinα+csα)=−(35−45)=15．
17.解：(Ⅰ)因为向量a=(3,−1)，b=(1,m)，
所以ma−b=(3m−1,−2m)，
因为a⊥(ma−b)，
所以a⋅(ma−b)=3(3m−1)+2m=0，
解得m=311；
(Ⅱ)若m=−2，则b=(1,−2)，
所以a⋅b=3+2=5，
所以cs=a⋅b|a||b|=5 32+(−1)2× 12+(−2)2= 22，
又因为∈[0,π]，
所以a与b夹角的大小π4．
18.解：(Ⅰ)f(x)=2 3sinω2xcsω2x−csωx= 3sinωx−csωx=2sin(ωx−π6)；
由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
故T=π，
所以ω=2．
故f(x)=2sin(2x−π6).
(Ⅱ)由于x∈[−π4,π6]，故2x−π6∈[−2π3,π6]，
当x=−π6时，函数取得最小值为−2.，
(Ⅲ)令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2，(k∈Z)；
整理得−π6+kπ≤x≤kπ+π3，(k∈Z)；
由于函数f(x)在区间[0,m]上单调递增，
故−π6+kπ≤0≤x≤m≤kπ+π3，(k∈Z)；
故mmax=π3．
19.解：(Ⅰ)因为a2+b2+ab=c2，即a2+b2−c2=−ab，
由余弦定理可得：a2+b2−c2=2abcsC，
可得csC=−12，而C∈(0,π)，
可得C=2π3；
(Ⅱ)a= 6，
若选条件①：csA= 22，A∈(0,π3)，
(i)可得A=π4，则B=π−A−C=π12，
sinπ12=sin(π3−π4)=sinπ3csπ4−csπ3sinπ4= 6− 24，
由正弦定理可得asinA=csinC，
即 6 22=c 32，解得c=3，
(ii)所以S△ABC=12acsinB=12× 6×3× 6− 24=3(3− 3)4；
若选条件②，c=2，C=2π3，a= 6，
(i)由正弦定理可得asinA=csinC，即 6sinA=2 32，
解得sinA=3 24>1，该三角形不存在；
若选条件③：c=3 2sinA，a= 6，C=2π3，
由正弦定理可得：csinC=asinA，
即3 2sinA 32= 6sinA，
可得sin2A=12，因为sinA>0，
所以sinA= 22，
而A∈(0,π3)，
所以A=π4；
下面同条件①的计算．
综上所述：(i)sinB= 6− 24；(ii)3(3− 3)4．
20.证明：(Ⅰ)因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，
又AD⊥DC，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面CDE，
又CE⊂平面CDE，
所以AD⊥CE．
(Ⅱ)取AB中点H，连接CH，FH，
因为AB=2CD，CD/​/AB，
所以AH/​/DC且AH=DC，
所以四边形AHDC为平行四边形，则AD/​/HC且AD=HC，
因为侧面ADEF是正方形，AD/​/EF且AD=EF，
所以HC//EF且HC=EF，即四边形HCEF为平行四边形，
则HF//CE，
又HF⊂平面ABF，CE⊄平面ABF，
所以CE/​/平面ABF．
(Ⅲ)解：直线BE与CF不相交，理由如下：
由(Ⅱ)知CE/​/平面ABF，
所以CE∩平面ABF=⌀，
又BF⊂平面ABF，所以CE∩BF=⌀，
又HF//CE，BF∩FH=F，
所以BF与CE不平行，故BF与CE异面，从而BE与CF不相交．
21.解：(Ⅰ)因为函数f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，所以将f(x)图象上的所有点向右平移π4个单位，
得到y= 2sinx的图象．再将y= 2sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍，
得到函数g(x)的图象．所以g(x)=2sinx，其零点为kπ(k∈Z)．
(Ⅱ)(i)因为f(x)+g(x)=m，所以3sinx+csx=m．
即 10(3 10sinx+1 10csx)=m，即 10sin(x+φ)=m(其中csφ=3 10,sinφ=1 10)，
因为关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解，
所以|m 10|