2023-2024学年上海市长宁区高二(下)期末数学试卷(含解析)
展开1.某高中共有学生1200人,其中高一、高二、高三的学生人数比为6:5:4,现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本,则高三年级应该抽取( )人.
A. 16B. 18C. 20D. 24
2.圆x2+y2−8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是( )
A. 相交B. 内切C. 相离D. 外切
3.给出下列4个命题:
①若事件A和事件B互斥,则P(A∩B)=P(A)P(B);
②数据2,3,6,7,8,10,11,13的第70百分位数为10;
③已知y关于x的回归方程为y=−0.5x+0.7,则样本点(2,−1)的离差为−0.7;
④随机变量X的分布为,则其数学期望E[X]=1.6.
其中正确命题的序号为( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
4.将正整数n分解为两个正整数k1、k2的积,即n=k1⋅k2,当k1、k2两数差的绝对值最小时,我们称其为最优分解.如20=1×20=2×10=4×5,其中4×5即为20的最优分解,当k1、k2是n的最优分解时,定义f(n)=|k1−k2|,则数列{f(5n)}的前2023项的和为( )
A. 51012B. 51012−1C. 52023D. 52023−1
二、填空题:本题共12小题,共54分。
5.双曲线x24−y2=1的渐近线方程为______.
6.直线 3x−y+1=0与直线y=0的夹角大小为______.
7.在(x+1x)6的二项展开式中,x2项的系数为______.
8.已知等差数列{an}中,a7+a9=15,a4=1,则a12的值等于 .
9.设随机变量X服从正态分布N(0,σ2),且P(X>−2)=0.9,则P(X>2)= ______.
10.已知函数f(x)=csx,则Δx→0limf(π2+Δx)−f(π2)Δx= ______.
11.从装有3个红球和4个蓝球的袋中,每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A,“第二次摸球时摸到蓝球”为B,则P(B|A)= ______.
12.某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与气温.由表中数据所得回归直线方程为y =−2x+b ,据此预测当气温为5℃时,用电量的度数约为______度.
13.有3名男生与2名女生排成一队照相,2名女生互不相邻的概率为______.
14.已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2−2x−3)f′(x)>0的解集为______.
15.设F1、F2为双曲线Γ:x2a2−y29=1(a>0)左、右焦点,且Γ的离心率为 5,若点M在Γ的右支上,直线F1M与Γ的左支相交于点N,且|MF2|=|MN|,则|F1N|= ______.
16.对于任意的x1、x2∈R,且x2>0,不等式|ex1−x1|+|lnx2−x2|>a恒成立,则实数a的取值范围为______.
三、解答题:本题共5小题,共76分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知数列{an}满足a1=1,an=3an−1+4(n≥2).
(1)求证:数列{an+2}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
18.(本小题14分)
(1)已知直线方程l1:(m+6)x−5y+5=0,l2:2x+(m−5)y+1=0,求出实数m分别取何值时,l1与l2分别:相交、平行、垂直;
(2)已知曲线C的方程为(x−2)2+y2=1,求过点B(1,−3)且与曲线C相切的直线方程.
19.(本小题14分)
(1)为了解中草药甲对某疾病的预防效果,研究人员随机调查了100名人员,调查数据如表.(单位:个)若规定显著性水平α=0.05,试分析中草药甲对预防此疾病是否有效.
附:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
(2)已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球,设2个球中红球的个数为X,求X的分布、期望和方差.
20.(本小题16分)
已知抛物线Γ:y2=4x.
(1)求抛物线Γ的焦点F的坐标和准线l的方程;
(2)过焦点F且斜率为12的直线与抛物线Γ交于两个不同的点A、B,求线段AB的长;
(3)已知点P(1,2),是否存在定点Q,使得过点Q的直线与抛物线Γ交于两个不同的点M、N(均不与点P重合),且以线段MN为直径的圆恒过点P?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(本小题18分)
已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx.(其中a为常数).
(1)若a=−2,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)当a<0时,求函数y=f(x)的最小值;
(3)当0≤a<1时,试讨论函数y=f(x)的零点个数,并说明理由.
答案解析
1.A
【详解】解:高三年级学生的人数所占的比例为46+5+4=415,
故应从高三年级抽取的学生的人数为:60×415=16,
故选:A.
2.B
【详解】解:把圆x2+y2−8x+6y+16=0化为标准方程得:(x−4)2+(y+3)2=9,
∴圆心A的坐标为(4,−3),半径r=3,
由圆x2+y2=64,得到圆心B坐标为(0,0),半径R=8,
两圆心间的距离d=|AB|=5,
∵8−3=5,即d=R−r,
则两圆的位置关系是内切.
故选:B.
3.C
【详解】解:对于①,若事件A和事件B互斥,P(A∩B)=0,①错误;
对于②,共有8个数据,8×70%=5.6,根据百分位数的定义直接取第六位即可,②正确;
对于③,若y关于x的回归方程为y=−0.5x+0.7,则样本点(2,−1)的残差为e=y−y =(−1)−(−0.5×2+0.7)=−0.7,③正确;
对于④,E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.3=1.7,④错误.
故选:C.
4.B
【详解】解:当n=2k(k∈N∗)时,52k=5k×5k,
则f(52k)=|5k−5k|=0,
当n=2k−1(k∈N∗)时,52k−1=5k−1×5k,
则f(52k−1)=|5k−5k−1|=5k−5k−1,
故数列{f(5n)}的前2023项的和为(5−1)+0+(52−5)+0+(53−52)+⋅⋅⋅+(51011−51010)+0+(51012−51011)=51012−1.
故选:B.
5.y=±12x
【详解】解:双曲线x24−y2=1的a=2,b=1,
可得渐近线方程为y=±bax,
即有y=±12x.
故答案为:y=±12x.
6.π3
【详解】解:因为直线 3x−y+1=0的斜率为k= 3,则其倾斜角为π3,
所以直线 3x−y+1=0与直线y=0的夹角大小为π3.
故答案为:π3.
7.15
【详解】解:根据二项式定理,(x+1x)6的通项为Tr+1=C6r⋅x6−r⋅(1x)r=C6rx6−2r,r=0,1,2,…,6,
当6−2r=2时,即r=2时,可得T3=15x2,
即x2项的系数为15,
故答案为:15.
8.14
【详解】解:根据题意,设等差数列{an}的公差为d,
若a7+a9=15,a4=1,则有a7+a9=a4+3d+a4+5d=2a4+8d=15,
解可得:d=138,
则a12=a4+8d=1+13=14;
故答案为:14.
9.0.1
【详解】解:X服从正态分布N(0,σ2),其正态分布曲线关于y轴对称,
由对称性可知P(X>2)=P(X<−2)=1−P(X>−2)=1−0.9=0.1.
故答案为:0.1.
10.−1
【详解】解:由题意得,f′(π2)=Δx→0limf(π2+Δx)−f(π2)Δx,
f(x)=csx,f′(x)=−sinx,f′(π2)=−sinπ2=−1.
故答案为:−1.
11.23
【详解】解:由题意可知,P(A)=37,P(AB)=37×46=27,
故P(B|A)=P(AB)P(A)=23.
故答案为:23.
12.40
【详解】解:根据题意,x−=14(14+12+8+6)=10,y−=14(22+26+34+38)=30,
则b =y−+2x−=30+2×10=50,
所以y =−2x+50,
故当x=5时.y =−2×5+50=40.
故答案为:40.
13.35
【详解】解:3名男生与2名女生排成一队照相,共有A55=120种不同的排法,
其中2名女生互不相邻的排法有A33A42=72种,
所以2名女生互不相邻的概率为72120=35.
故答案为:35.
14.(−∞,−1)∪(−1,1)∪(3,+∞)
【详解】解:由函数图象可知f′(x)>0的解集为:(−∞,−1)∪(1,+∞),
f′(x)<0的解集为:(−1,1).
由(x2−2x−3)f′(x)>0,得
x2−2x−3>0f′(x)>0①或x2−2x−3<0f′(x)<0②
解①得:x<−1或x>3;
解②得:−1
故答案为:(−∞,−1)∪(−1,1)∪(3,+∞).
15.3
【详解】解:由Γ的离心率为 5,可得e=ca= a2+9a2= 5,解得a=32.
因为|MF2|=|MN|,所以由双曲线的定义,
可得|MF1|−|MF2|=|MN|+|NF1|−|MF2|=|NF1|=2a=3.
故答案为:3.
16.(−∞,2)
【详解】解:令f(x)=ex−x,x>0,
则f′(x)=ex−1,
所以当x∈(−∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
所以f(x)min=f(0)=1>0,
所以ex−x>0;
令g(x)=lnx−x(x>0),
所以g′(x)=1x−1=1−xx,
所以当x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,f(x)单调递减;
所以g(x)max=g(1)=−1<0,
所以−g(x)≥1,
又因为对于任意的x1、x2∈R,且x2>0,不等式|ex1−x1|+|lnx2−x2|>a恒成立,
即对于任意的x1、x2∈R,且x2>0,不等式|f(x1)|+|g(x2)|>a恒成立,
即f(x1)−g(x2)>a恒成立,
所以[f(x1)−g(x2)]min>a,
即1+1>a,a<2,
所以a的取值范围为:(−∞,2).
故答案为:(−∞,2).
17.解:(1)证明:数列{an}满足an=3an−1+4,变形可得an+2=3(an−1+2),
又由a1=1,则a1+2=3,
故数列{an+2}是首项为3,公比为3的等比数列;
(2)根据题意,由(1)的结论,数列{an+2}是首项为3,公比为3的等比数列,
则an+2=3×3n−1=3n,
变形可得:an=3n−2.
【详解】(1)根据题意,由an=3an−1+4,变形可得an+2=3(an−1+2),结合等比数列的定义分析可得结论;
(2)根据题意,由等比数列的通项公式可得an+2=3×3n−1=3n,变形可得答案.
18.解:(1)若l1与l2平行,则(m+6)(m−5)+10=0,解得m=−5或m=4,
当m=−5时,l1:x−5y+5=0与l2:x−5y+12=0平行,故m=−5满足假设,
当m=4时,l1:2 x−y+1=0与l2:2x−y+1=0重合,故m=4不满足假设,
所以当且仅当m=−5时,l1与l2平行,
若l1与l2垂直,则2(m+6)−5(m−5)=0,解得m=373,
而如果l1与l2不平行,也不重合时,那么l1与l2相交,
换言之若l1与l2相交,则当且仅当m≠4且m≠−5;
(2)圆C:(x−2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径为r=1;
过点B(1,−3)且斜率不存在的直线为x=1,圆心(2,0)到直线x=1的距离等于半径1,故x=1满足题意,
过点B(1,−3)且斜率为k的直线为y=kx−k−3,若它与题设圆相切,
则有|k−3| k2+1=1,解得k=43,此时所求直线为y=43x−133,即4x−3y−13=0,
综上所述,所求直线为x=1或4x−3y−13=0.
【详解】(1)先分别求出平行、重合以及垂直时的m值,然后再利用直线的位置关系以及补集的概念即可求得相交时m的范围;
(2)分所求直线斜率是否存在进行讨论,由圆心到直线的距离等于半径即可列式求解.
19.解:(1)零假设H0:中草药甲对预防此疾病无效,确定显著性水平α=0.05,
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(29×9−16×46)275×25×45×55=1444297≈4.862>3.841,
否定零假设,
∴中草药甲对预防此疾病有效果.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C32C92=112,
P(X=1)=C61C31C92=12,
P(X=2)=C62C92=512,
∴X的分布列为:
E(X)=0×112+1×12+2×512=43.
D(X)=112×(0−43)2+12×(1−43)2+512×(2−43)2=718.
【详解】(1)计算出卡方,即可判断;
(2)X的所在可能取值为0,1,2,服从超几何分布,由此能求出结果.
20.解:(1)抛物线Γ:y2=4x,
则p=2,且焦点在x轴正半轴,
故抛物线Γ的焦点F(1,0),准线l:x=−1;
(2)由(1)可得,F(1,0),
则直线AB方程为y=12(x−1),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程y=12(x−1)y2=4x,化简整理可得,x2−18x+1=0,
Δ=(−18)2−4×1×1=320>0,x1+x2=18,
故|AB|=x1+x2+p=20;
(3)存在,理由如下:
设直线MN:x=my+n,M(x3,y3),N(x4,y4),
联立方程x=my+ny2=4x,消去x可得,y2−4my−4n=0,
则Δ=16(m2+n)>0,y3+y4=4m,y3y4=−4n,
PM=(x3−1,y3−2),PN=(x4−1,y4−2),
若以线段MN为直径的圆恒过点P,
则PM⊥PN,
PM⋅PN=(x3−1)(x4−1)+(y3−2)(y4−2)=(my3+n−1)(my4+n−1)+(y3−2)(y4−2)
=(m2+1)y3y4+(mn−m−2)(y3+y4)+(n−1)2+4=(m2+1)⋅(−4n)+(mn−m−2)⋅(4m)+(n−1)2+4,
=−4(m+1)2+(n−3)2=(n+2m−1)(n−2m−5)=0,解得n+2m−1=0或n−5m−5=0,
若n+2m−1=0,即n=1−2m,
直线MN:x=my+1−2m=m(y−2)+1,过定点(1,2),与点P重合,不符合题意,
若n−2m−5=0,即n=2m+5,
则Δ=16(m2+n)=16(m2+2m+5)=16[(m+1)2+4]>0,
则直线MN:x=my+2m+5=m(y+2)+5,过定点(5,−2),
综上所述,直线MN过定点Q(5,−2);
【详解】(1)根据已知条件,结合抛物线的性质,即可求解;
(2)根据已知条件,先求出直线AB的方程,再与抛物线联立,推得x2−18x+1=0,再根据韦达定理,以及抛物线的定义,即可求解;
(3)根据已知条件,设出直线MN,并与抛物线联立,推得y2−4my−4n=0,再结合向量垂直的性质,以及韦达定理,即可求解.
21.(1)解:当a=−2时,可得f(x)=12x2+x−2lnx,
可得f′(x)=x+1−2x=(x+2)(x−1)x,所以f′(2)=2且f(2)=4−2ln2,
所以切线方程为y−(4−2ln2)=2(x−2),即2x−y−2ln2=0,
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为2x−y−2lnx=0.
(2)解:由函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx,可得函数f(x)的定义域为(0,+∞),
又由f′(x)=(x−a)(x−1)x,令f′(x)=0,解得x1=a,x1=1,
当a<0时,f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)的情况如下表:
所以函数的极小值为f(1)=−a−12,也是函数f(x)的最小值,
所以当a<0时,函数f(x)的最小值为−a−12;
(3)解:当a=0时,f(x)=12x2−x,令f(x)=0,解得x1=2,x2=0(舍去)所以函数y=f(x)在(0,+∞)上有一个零点;
当0所以函数f(x)在(0,a)单调递增,在(a,1)上单调递减,
此时函数f(x)的极大值为f(a)=−12a2−a+alna<0,
所以函数y=f(x)在(0,1)上没有零点;
又由f(1)=−12−a<0且函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
且当x→+∞时,f(x)→+∞,
所以函数f(x)在(1,+∞)上只有一个零点,
综上可得,当0≤a<1时,f(x)在(0,+∞)上有一个零点.
【详解】(1)当a=−2时,求得f′(x)=x+1−2x,得到f′(2)=2且f(2)=4−2ln2,进而求得切线方程;
(2)求得f′(x)=(x−a)(x−1)x,利用导数求得函数f(x)的单调性和极值,即可求解;
(3)当a=0时,求得y=f(x)在(0,+∞)上有一个零点;当014
12
8
6
用电量(度)
22
26
34
38
α
0.100
0.050
0.010
0.001
x
2.706
3.841
6.635
10.828
未患病者
患病者
合计
未服用中草药甲
29
16
45
服用中草药甲
46
9
55
合计
75
25
100
X
0
1
2
P
112
12
512
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
↓
极小值
↑
x
(0,a)
a
(a,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
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