2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳市平江县高二（上）期末数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线m的方程为 3x−y+2=0，则直线m的倾斜角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
2.圆x2+y2+2x−4y−6=0的圆心坐标和半径分别是( )
A. (−1,−2)，11B. (−1,2)，11C. (−1,−2)， 11D. (−1,2)， 11
3.已知数列{an}是等比数列，若a1=1，q=2，Sn=31，则n等于( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与MB1相等的向量是( )
A. 12a−12b−c
B. −12a−12b−c
C. −12a+12b−c
D. 12a+12b−c
5.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为( )
A. 25.5尺B. 34.5尺C. 37.5尺D. 96尺
6.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(00)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的动点，I和G分别是△PF1F2的内心和重心，若IG与x轴平行，则椭圆的离心率为( )
A. 12B. 33C. 32D. 63
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5=2，则( )
A. 公差d的取值范围是(−∞,12)B. 2a7=a9+2
C. a8+a4>a6+a5D. a1+a9=4
10.下列说法中，正确的有( )
A. 过点P(1,2)且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0
B. 直线y=kx−2在y轴的截距是2
C. 直线x− 3y+1=0的倾斜角为30°
D. 过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为x−5=0
11.对于非零空间向量a，b，c，现给出下列命题，其中为真命题的是( )
A. 若a⋅b>0，则a，b的夹角是锐角
B. 若a=(2,3,3)，b=(−3,−1,3)，则a⊥b
C. 若a⋅b=b⋅c，则a=c
D. 若a=(1,1,0)，b=(0,2,0)，c=(0,0,3)，则a，b，c可以作为空间中的一组基底
12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，且|AB|=4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是( )
A. 若直线l的斜率为 33，则|MN|=16
B. |MF|+2|NF|的最小值为3+2 2
C. 若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0, 62)，则点M的横坐标为32
D. 若点G(2,2)，则△GFM周长的最小值为4+ 5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.数列的前n项和Sn=2n2+n+1，那么它的通项公式是______ ．
14.过双曲线x24−y23=1的左顶点，且与直线2x−y+1=0平行的直线方程为______ ．
15.已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，则c=______．
16.正四棱锥P−ABCD，底面四边形ABCD为边长为2的正方形，PA= 5，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30°，则平面α截球G所得的图形的面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a=(2,−1,−4)，b=(−1,k,2)．
(1)若(a−b)//(a+b)，求实数k的值；
(2)若(a+3b)⊥(a+b)，求实数k的值．
18.(本小题12分)
已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0(m∈R)．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当m=0时，求直线l被圆C截得的弦长．
19.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=35，且满足an+1=3an2an+1．
(1)求证：数列{1an−1}为等比数列．
(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1an0．
22.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30．
(1)求双曲线C的方程；
(2)经过点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，与y轴交于P点，点P关于原点的对称点为点Q，求△QAB的面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设直线m的倾斜角为α，
因为直线 3x−y+2=0的斜率为 3，
所以tanα= 3，
又∵0°≤α0，但夹角为0，故A错误，
对于B，a⋅b=2×(−3)−3×1+3×3=0，
故a⊥b，故B正确，
对于C，根据向量的数量积定义知，a⋅b=b⋅c时，a=c不一定成立，故C错误，
对于D，假设c=λa+μb0=λ，0=λ+2μ，3=0，矛盾，
所以向量a,b,c不共面，则a,b,c可以作为空间中的一组基底，故D正确．
故选：BD．
对于A，未排除夹角为0时的情况，
对于B，结合向量垂直的性质，即可求解，
对于C，根据向量数量积的定义，即可求解，
对于D，验证三者向量是否共面，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：由抛物线C：y2=2px(p>0)与圆O：x2+y2=5交于A，B两点，且|AB|=4，
得到第一象限交点(1,2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，
所以22=2p，解得p=2，所以C：y2=4x，则F(1,0)，
对于A选项，设直线l：x=my+1，与y2=4x联立得y2−4my−4=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，
所以|MN|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，
当直线l的斜率为 33时，m= 3,|MN|=16，故A项正确；
对于B选项，由抛物线的定义，1|MF|+1|NF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=m(y1+y2)+4(y1y2)216+m(y1+y2)+3=4m2+44m2+4=1，
所以|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)⋅(1|MF|+1|NF|)=3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2 2，
当且仅当|MF|=1+ 2,|NF|=1+ 22时等号成立，故B项正确；
对于C选项，如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，
取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，
则MM1//OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，
由抛物线的定义可得|MM1|=|MM′|−|M1M′|=|MF|−1，
所以|DD1|=|OF|+|MM1|2=1+|MF|−12=|MF|2，
所以以MF为直径的圆与y轴相切，
所以(0, 62)为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为 62，
又因为D为MF的中点，所以点M的纵坐标为 6，
又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为32，故C项正确；
对于D选项，过G作GH垂直于准线，垂足为H，
所以△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM′|+ 5≥|GH|+ 5=3+ 5，
当且仅当点M的坐标为(1,2)时取等号，故D项错误．
故选：ABC．
首先求出抛物线的解析式，设出MN方程，与抛物线方程联立进行求解，当m= 3时，|MN|=16，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合△GFM的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM′|+ 5≥|GH|+ 5=3+ 5进而判断选项D即可．
本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
13.【答案】an=4,n=14n−1,n≥2
【解析】解：当n=1时，a1=S1=2×12+1+1=4，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n2+n+1−[2(n−1)2+(n−1)+1]=4n−1．
因此an=4,n=14n−1,n≥2，
故答案为：an=4,n=14n−1,n≥2．
利用当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn−Sn−1即可得出．
本题考查了“当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn−Sn−1”数列通项公式的求法，属于基础题．
14.【答案】2x−y+4=0
【解析】解：由双曲线方程知，其左顶点为(−2,0)，
根据直线平行关系知，所求直线的斜率为2，
所以所求直线为y=2(x+2)，则2x−y+4=0．
故答案为：2x−y+4=0．
由双曲线方程确定顶点坐标，根据直线平行确定斜率，应用点斜式写出直线方程．
本题主要考查了双曲线的性质，考查了两直线平行的斜率关系，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查函数的极值问题，属于基础题．
由已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，则必有f′(2)=0，且在x=2的左侧附近f′(x)>0，右侧附近f′(x)4 33．
即△QAB的面积的取值范围是(4 33,+∞)．
【解析】(1)由双曲线C的焦点F为抛物线的焦点，一条渐近线的倾斜角为30°，列方程组，解得a，b，即可求得双曲线方程；
(2)设直线方程为：y=k(x−2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算S△QAB，利用配方法可得答案．
本题考查双曲线的方程，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．