2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练八【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练八【含解析】，共9页。

2.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点P满足PAPB=2,则点P的轨迹的圆心坐标为( )
A.(4,0) B.(0,4)
C.(-4,0) D.(2,0)
3.(5分)已知O(0,0),A(3,0),动点P(x,y)满足|PA||PO|=2,则动点P轨迹与圆(x-2)2+y2=1的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.内切 D.外切
4.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足MA=2MO,动点M的轨迹为C.若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与C恒有公共点,则b的取值范围是( )
A.[-5,5] B.−6,6
C.[-7,7] D.−22,22
5.(5分)在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在点P,使得PA=2PB,PC=PD,则实数a的取值范围是( )
A. [-22,22]
B. [-22-1,22-1]
C. [-22-2,22-2]
D. [-22-1,22-2]
6.(5分)(多选题)在平面上有相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PA=λPB(其中λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A(-a,0),B(a,0),a为正实数,下列说法正确的是( )
A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=43a
B.当λ=12时,以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切
C.当0<λ<1时,点B在阿波罗尼斯圆圆心的左侧
D.当λ>1时,点A在阿波罗尼斯圆外,点B在圆内
7.(5分)(多选题)(2023·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0).点P满足PAPB=12,设点P所构成的曲线为E,下列结论正确的是( )
A.曲线E的圆心坐标为(-53,0)
B.43≤ PB≤ 4
C.曲线E的周长为π
D.曲线E上的点到直线x+y-1=0的最小距离为43(2-1)
8.(5分)已知平面直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为 .
9.(5分)若平面内两定点A,B间的距离为4,动点P满足PAPB=3,则动点P的轨迹所围成的图形的面积为 ;PA·PB的最大值是 .
10.(5分)(2023·泰安模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中线,且BD=3,则S△ABC的最大值为 .
11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围为 .
12.(5分)(2023·盐城质检)已知圆O:x2+y2=1和点A(-12,0),若定点B(b,0) (b≠-12)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ= ,△MAB面积的最大值为 .
2025年高考数学一轮复习课时作业-拓展拔高练八【解析版】(时间:45分钟 分值:60分)
1.(5分)若两定点A,B的距离为3,动点M满足|MA|=2|MB|,则M点的轨迹围成区域的面积为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
【解析】选D.以A为原点,AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则B(3,0).设M(x,y),依题意有,x2+y2(x−3)2+y2=2,化简整理得,x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,则M点的轨迹围成区域的面积为4π.
2.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点P满足PAPB=2,则点P的轨迹的圆心坐标为( )
A.(4,0) B.(0,4)
C.(-4,0) D.(2,0)
【解析】选A.设P(x,y),则(x+4)2+y2=
2(x−2)2+y2,两边平方并整理得:(x-4)2+y2=16,所以圆心为(4,0).
3.(5分)已知O(0,0),A(3,0),动点P(x,y)满足|PA||PO|=2,则动点P轨迹与圆(x-2)2+y2=1的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.内切 D.外切
【解析】选D.由已知动点P(x,y)满足|PA||PO|=2,得 (x−3)2+(y−0)2x2+y2=2,
即动点P轨迹为圆:(x+1)2+y2=4,
因为2−(−1)2+02=2+1,所以两圆外切.
4.(5分)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),动点M满足MA=2MO,动点M的轨迹为C.若对任意实数k,直线l:y=k(x-1)+b与C恒有公共点,则b的取值范围是( )
A.[-5,5] B.−6,6
C.[-7,7] D.−22,22
【解析】选C.设M(x,y),由A(-2,0),且MA=2MO,
得MA2=2MO2,即(x-2)2+y2=8,
直线l:y=k(x-1)+b恒过定点(1,b),
把x=1代入(x-2)2+y2=8,解得y=±7,
要使对任意实数k,直线l与圆C恒有公共点,
则-7≤b≤7,即b的取值范围是[-7,7].
5.(5分)在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在点P,使得PA=2PB,PC=PD,则实数a的取值范围是( )
A. [-22,22]
B. [-22-1,22-1]
C. [-22-2,22-2]
D. [-22-1,22-2]
【解析】选B.设P(x,y),由PA=2PB,
则(x−1)2+y2=2×(x−3)2+y2,整理得(x-5)2+y2=8,
动点P是以(5,0)为圆心,以22为半径的圆,另一方面,由PC=PD知动点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上运动,
因而问题就转化为直线y=a+1与圆(x-5)2+y2=8有交点,所以|a+1|≤22,故实数a的取值范围是[-22-1,22-1].
6.(5分)(多选题)在平面上有相异两点A,B,设点P在同一平面上且满足PA=λPB(其中λ>0,且λ≠1),则点P的轨迹是一个圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.设A(-a,0),B(a,0),a为正实数,下列说法正确的是( )
A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径r=43a
B.当λ=12时,以AB为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切
C.当0<λ<1时,点B在阿波罗尼斯圆圆心的左侧
D.当λ>1时,点A在阿波罗尼斯圆外,点B在圆内
【解析】选AD.设P(x,y),所以|PA|=(x+a)2+y2,|PB|=(x−a)2+y2,
因为PA=λPB,
所以|PA|=(x+a)2+y2=λ(x−a)2+y2,
[x−(λ2+1)aλ2−1]2+y2=4λ2a2(λ2−1)2.
A.当λ=2时,此阿波罗尼斯圆的半径
r=2λaλ2−1=4a3,故正确;
B.当λ=12时,以AB为直径的圆为x2+y2=a2,阿波罗尼斯圆为(x+53a)2+y2=16a29,圆心距为53a,两半径之和为73a,两半径之差的绝对值为13a,不相切,故错误;
C.当0<λ<1时,圆心的横坐标为(λ2+1)aλ2−1=(1+2λ2−1)aD.当λ>1时,点A与圆心的距离
(λ2+1)aλ2−1+a=2λ2aλ2−1>2λaλ2−1=r,在阿波罗尼斯圆外;点B与圆心的距离(λ2+1)aλ2−1−a=2aλ2−1<2λaλ2−1=r,在圆内,故正确.
7.(5分)(多选题)(2023·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,A(-1,0),B(1,0).点P满足PAPB=12,设点P所构成的曲线为E,下列结论正确的是( )
A.曲线E的圆心坐标为(-53,0)
B.43≤ PB≤ 4
C.曲线E的周长为π
D.曲线E上的点到直线x+y-1=0的最小距离为43(2-1)
【解析】选ABD.设P(x,y),由PAPB=12可得(x+1)2+y2=12(x−1)2+y2,
整理可得x2+103x+y2+1=0,化为(x+53)2+y2=169,
所以曲线E的圆心坐标为(-53,0) ,半径为43,故A正确;
圆心(-53,0)到点B(1,0)的距离为83,
所以83-43≤PB≤83+43,即43≤PB≤4,故B正确;圆的周长为2πr=8π3,故C错误;
圆心到直线x+y-1=0的距离为−53+0−12=423,所以曲线E上的点到直线x+y-1=0的最小距离为423-43=43(2-1),故D正确.
8.(5分)已知平面直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为 .
【解析】 设P(x,y),由|PA|=2|PB|,
得(x+2)2+y2=2(x−2)2+y2,
整理得(x-103)2+y2=649,
所以点P的轨迹的圆心坐标为(103,0).
答案: (103,0)
9.(5分)若平面内两定点A,B间的距离为4,动点P满足PAPB=3,则动点P的轨迹所围成的图形的面积为 ;PA·PB的最大值是 .
【解析】以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图,
则A(-2,0),B(2,0),设P(x,y),PAPB=3,
所以(x+2)2+y2(x−2)2+y2=3,得x2+y2-8x+4=0,
即(x-4)2+y2=12,
点P的轨迹为圆(如图),其面积为12π.
PA·PB=x2-4+y2=OP2-4,如图,当P位于点D时,OP2最大,OP2的最大值为(4+23)2=28+163,
故PA·PB的最大值是24+163.
答案:12π 24+163
10.(5分)(2023·泰安模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中线,且BD=3,则S△ABC的最大值为 .
【解析】方法一(直解法):
以BD中点O为原点,BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设A(x,y),
B(-32,0),D(32,0),则AB=2AD.
即(x+32)2+y2=4[(x-32)2+y2],
整理得, (x-536)2+y2=43,即有|y|≤23,
所以S△ABC=2S△ABD=BD·|y|≤2,
当|y|=233时取等号,所以S△ABC的最大值为2.
方法二(秒解法):
由题知,AB=AC,中线BD=3,S△ABC=2S△ABD.又AB=2AD,所以点A的轨迹是以B,D为定点的阿波罗尼斯圆,其半径为r=BDλ−1λ=32−12=233,所以(S△ABC)max=2×12|BD|·r=2×12×3×233=2.
答案:2
11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的取值范围为 .
【解析】点C在直线l:y=2x-4上,故设C的坐标为(a,2a-4).因为圆C的半径r1=1,所以圆C的方程是(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.
设点M(x,y),则由|MA|=2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆D,即x2+(y−3)2=2x2+y2,化简整理得x2+(y+1)2=4.所以点M(x,y)在以D(0,-1)为圆心,r2=2为半径的圆上.又点M(x,y)在圆C上,所以两圆有公共点的条件是|r1-r2|≤|DC|≤|r1+r2|,
即1≤5a2-12a+9≤9,解得0≤a≤125.
即a的取值范围是[0,125].
答案: [0,125]
12.(5分)(2023·盐城质检)已知圆O:x2+y2=1和点A(-12,0),若定点B(b,0) (b≠-12)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ= ,△MAB面积的最大值为 .
【解析】设点M(x,y),由|MB|=λ|MA|,
得(x-b)2+y2=λ2[(x+12)2+y2],
整理得x2+y2-2b+λ21−λ2x+b2−14λ21−λ2=0,
所以2b+λ21−λ2=0,b2−14λ21−λ2=−1,解得λ=2,b=−2.
如图所示,S△MAB=12|AB|·|yM|,
由图可知,当|yM|=1,即M的坐标为(0,1)或(0,-1)时,S△MAB取得最大值,故△MAB面积的最大值为12×|-12-(-2)|×1=34.
答案:2 34