2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的存在性问题【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的存在性问题【含解析】，共9页。试卷主要包含了已知抛物线Γ，已知椭圆C，已知双曲线C，已知椭圆Γ等内容，欢迎下载使用。

(1)求抛物线Γ的准线方程;
(2)若过点F的直线l与抛物线Γ交于A,B两点,线段AB的中垂线与抛物线Γ的准线交于点C,请问:是否存在直线l,使得tan ∠ACB=43?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
2.(10分)(2024·扬州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3.
(1)求△APQ的内心坐标;
(2)是否存在定点D,使过点D的直线l交C于M,N,交PQ于点R,且满足MR·ND=MD·RN?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.
3.(10分)(2024·梅州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点、右顶点分别为F,A,B(0,b),|AF|=1,点M在线段AB上,且满足|BM|=3|MA|,直线OM的斜率为1,O为坐标原点.
(1)求双曲线C的方程.
(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(10分)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点B(0,b)且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于D,且2F1F2+F2D=0.
(1)求椭圆Γ的离心率;
(2)若过B,D,F2三点的圆恰好与直线l:x-3y-6=0相切,求椭圆Γ的方程;
(3)设a=2.过椭圆Γ右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P,Q两点,点M是点P关于x轴的对称点,在x轴上是否存在一个定点N,使得M,Q,N三点共线?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.
【加练备选】
(2024·南京模拟)椭圆E的方程为x24+y28=1,左、右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),点P为椭圆E上的点,且在第一象限,直线l过点P.
(1)若直线l分别交x,y轴于C,D两点,若PD=2,求PC的长;
(2)若直线l过点(-1,0),且交椭圆E于另一点Q(异于点A,B),记直线AP与直线BQ交于点M,试问:点M是否在一条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,说明理由.
2025年高考数学一轮复习课时作业- 圆锥曲线中的存在性问题【解析版】(时间:45分钟 分值:40分)
1.(10分)(2024·郑州模拟)已知抛物线Γ:x2=2py(p>0)上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小3.
(1)求抛物线Γ的准线方程;
【解析】(1)因为抛物线Γ:x2=2py上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小于3,
所以抛物线Γ:x2=2py上一点到焦点F的距离等于它到直线y=-1的距离,
所以-p2=-1,解得p=2,故抛物线Γ的方程是x2=4y,抛物线的准线方程为y=-1.
(2)若过点F的直线l与抛物线Γ交于A,B两点,线段AB的中垂线与抛物线Γ的准线交于点C,请问:是否存在直线l,使得tan ∠ACB=43?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(2)由题意得F(0,1),且l斜率一定存在,设l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=kx+1x2=4y,消去y可得x2-4kx-4=0,Δ=16k2+16>0,则x1+x2=4k,x1x2=-4.
设AB中点为M,如图,则tan ∠ACB=tan 2∠ACM=2tan∠ACM1-tan 2∠ACM=2×|AM||CM|1-|AM|2|CM|2=43,
解得|CM|=2|AM|,即|CM|=|AB|.
当k=0时,易知|CM|=2,|AB|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4,不符合题意;
当k≠0时,设C(x3,y3),M(x4,y4).
因为CM垂直平分AB,所以CM的斜率为-1k,
易知|CM|=1+k2|y3-y4|,
因此有1+k2|y3-y4|=1+k2|x1-x2|.
因为M为AB的中点,
所以y4=y1+y22=k(x1+x2)+22=2k2+1,
由题意,y3=-1,即|x1-x2|=2k2+2,16k2+16=2k2+2,
两边平方整理可得k4-2k2-3=0,解得k=±3,
故存在直线l使得tan ∠ACB=43,且直线l的方程为y=3x+1或y=-3x+1.
2.(10分)(2024·扬州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3.
(1)求△APQ的内心坐标;
【解析】(1)因为a2=b2+c2,2b2a=a+c=3,所以a=2,b=3,c=1,
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1,
不妨取P(1,32),Q(1,-32),A(-2,0),F(1,0),则AP=352,PF=32;
因为在△APQ中,AP=AQ,所以△APQ的内心在x轴上,设直线PT平分∠APQ,交x轴于T,则T为△APQ的内心,且ATTF=APPF=5=AT3-AT,所以AT=355+1,则T(7-354,0);
(2)是否存在定点D,使过点D的直线l交C于M,N,交PQ于点R,且满足MR·ND=MD·RN?若存在,求出该定点坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(2)因为椭圆和弦PQ均关于x轴对称.若存在定点D,则点D必在x轴上,所以设D(t,0),
当直线l斜率存在时,设其方程为y=k(x-t),M(x1,y1),N(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立y=k(x-t)x24+y23=1,
消去y得(4k2+3)x2-8k2tx+4(k2t2-3)=0,
则Δ=48(4k2+3-k2t2)>0,x1+x2=8k2t4k2+3,
x1x2=4(k2t2-3)4k2+3①.
因为点R的横坐标为1,M,R,N,D均在直线l上,MR·ND=MD·RN,
所以(1+k2)(1-x1)(t-x2)=(1+k2)(t-x1)(x2-1),
所以2t-(1+t)(x1+x2)+2x1x2=0,所以2t-(1+t)8k2t4k2+3+2×4(k2t2-3)4k2+3=0,整理得t=4,
因为点D在椭圆外,则直线l的斜率必存在,所以存在定点D(4,0)满足题意.
3.(10分)(2024·梅州模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点、右顶点分别为F,A,B(0,b),|AF|=1,点M在线段AB上,且满足|BM|=3|MA|,直线OM的斜率为1,O为坐标原点.
(1)求双曲线C的方程.
【解析】(1)设c2=a2+b2(c>0),所以F(c,0),A(a,0),B(0,b),
因为点M在线段AB上,且满足|BM|=3|MA|,所以点M(33+1a,13+1b),
因为直线OM的斜率为1,所以13+1b33+1a=1,所以ba=3,
因为|AF|=1,所以c-a=1,解得a=1,b=3,c=2.
所以双曲线C的方程为x2-y23=1.
(2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,在x轴上是否存在与F不同的定点E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(2)假设在x轴上存在与F不同的定点E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立,
当直线l的斜率不存在时,E在x轴上任意位置,都有|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|;
当直线l的斜率存在且不为0时,设E(t,0),直线l的方程为x=ky+2,
直线l与双曲线C的右支相交于P,Q两点,则-33设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由x2-y23=1x=ky+2,得(3k2-1)y2+12ky+9=0,3k2-1≠0,Δ=36k2+36>0,
所以y1+y2=-12k3k2-1,y1y2=93k2-1,
因为|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|,即|EP||EQ|=|FP||FQ|,所以EF平分∠PEQ,kEP+kEQ=0,
有y1x1-t+y2x2-t=0,即y1ky1+2-t+y2ky2+2-t=0,得2ky1y2+(2-t)(y1+y2)=0,
所以2k93k2-1+(2-t) (-12k3k2-1)=0,由k≠0,解得t=12.
综上所述,存在与F不同的定点E,使得|EP|·|FQ|=|EQ|·|FP|恒成立,且E(12,0).
4.(10分)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点B(0,b)且与直线BF2垂直的直线交x轴负半轴于D,且2F1F2+F2D=0.
(1)求椭圆Γ的离心率;
【解析】(1)由题意知F1(-c,0),F2(c,0),
由2F1F2+F2D=0得F1是线段F2D的中点,故D(-3c,0).
又因为直线BD与BF2垂直,
所以|BF1|=12|DF2|,即b2+c2=a=12×4c=2c,
所以椭圆Γ的离心率为e=ca=12.
(2)若过B,D,F2三点的圆恰好与直线l:x-3y-6=0相切,求椭圆Γ的方程;
【解析】(2)由(1)得过B,D,F2三点的圆的圆心为F1(-c,0),半径为r=2c.
因为过B,D,F2三点的圆恰好与直线l:x-3y-6=0相切,所以2c=|-c-6|1+3,解得c=2.
又a=2c,所以a=4,从而b2=12.
故椭圆Γ的方程为x216+y212=1.
(3)设a=2.过椭圆Γ右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P,Q两点,点M是点P关于x轴的对称点,在x轴上是否存在一个定点N,使得M,Q,N三点共线?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(3)由(1)及a=2得c=1,b=3,F2(1,0),椭圆Γ的方程为x24+y23=1.
设直线l的方程为x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x1,-y1),
联立得x24+y23=1x=ty+1得(4+3t2)y2+6ty-9=0,
Δ=36t2+36(4+3t2)>0,y1+y2=-6t4+3t2,y1y2=-94+3t2.
直线MQ的方程为x-x1=x2-x1y1+y2(y+y1),
令y=0得x=(x2-x1)y1y1+y2+x1=
x2y1-x1y1+x1y1+x1y2y1+y2=x2y1+x1y2y1+y2
=(ty2+1)y1+(ty1+1)y2y1+y2
=2ty1y2+y1+y2y1+y2=2ty1y2y1+y2+1=2t×(-9)-6t+1=4.
故在x轴上存在一个定点N(4,0),使得M,Q,N三点共线.
【加练备选】
(2024·南京模拟)椭圆E的方程为x24+y28=1,左、右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),点P为椭圆E上的点,且在第一象限,直线l过点P.
(1)若直线l分别交x,y轴于C,D两点,若PD=2,求PC的长;
【解析】(1)设P(x,y),D(0,yD),
则x24+y28=1①,x2+(y-yD)2=4②,
由①②可得y22=(y-yD)2,
因为y>0,所以y2=|y-yD|,即y|y-yD|=2,
因为|PC||PD|=y|y-yD|=2,所以|PC|=22.
(2)若直线l过点(-1,0),且交椭圆E于另一点Q(异于点A,B),记直线AP与直线BQ交于点M,试问:点M是否在一条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,说明理由.
【解析】(2)依题可设直线l的方程为x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0).
联立方程得x=my-1x24+y28=1,整理得(2m2+1)y2-4my-6=0,
Δ=16m2+24(2m2+1)>0,
则y1+y2=4m2m2+1,y1y2=-62m2+1.
直线AP的方程为y=y1x1+2(x+2),直线BQ的方程为y=y2x2-2(x-2),
联立方程得y=y1x1+2(x+2)y=y2x2-2(x-2),
得x0=2y1x2-4y1+2x1y2+4y2(x1+2)y2-(x2-2)y1,
因为(x1+2)y2-(x2-2)y1=x1y2+2y2-x2y1+2y1=(my1-1)y2+2y2-(my2-1)y1+2y1=3y1+y2,
2y1x2-4y1+2x1y2+4y2=2y1(my2-1)-4y1+2(my1-1)y2+4y2=4my1y2-6y1+2y2,
所以x0=4my1y2-6y1+2y23y1+y2.
由y1+y2=4m2m2+1,得y1y2=-62m2+1,
得2my1y2=-3(y1+y2).
所以x0=4my1y2-6y1+2y23y1+y2
=-6(y1+y2)-6y1+2y23y1+y2=-12y1-4y23y1+y2
=-4.
故点M在定直线x=-4上.