专题18 利用导数研究不等式恒(能)成立问题-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【真题自测】2
【考点突破】2
【考点1】分离参数法求参数范围2
【考点2】分类讨论法求参数范围4
【考点3】双变量的恒(能)成立问题5
【分层检测】6
【基础篇】6
【能力篇】7
【培优篇】8
真题自测
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
3．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
考点突破
【考点1】分离参数法求参数范围
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线在处的切线方程为
B．在上的最大值与最小值之和为0
C．若在上为增函数，则a的取值范围为
D．在上至多有3个零点
三、填空题
3．（2024·江西·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
4．（23-24高二下·江苏·期中）设函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上存在增区间，求的取值范围．
5．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数．
(1)若函数在处取到极值，求实数a的值；
(2)若,对于任意,当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
6．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）函数；
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)在恒成立，求整数的最大值.
反思提升：
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
【考点2】分类讨论法求参数范围
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．C．D．
三、填空题
3．（2024·上海虹口·二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.
5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求.
6．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求实数的取值范围.
反思提升：
根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.
【考点3】双变量的恒(能)成立问题
一、单选题
1．（2024·河南郑州·三模）设，且，则（ ）
A．若，则B．若，则存在且不唯一
C．D．
二、多选题
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）设函数，下面四个结论中正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且只有一个零点
C．函数的值域为
D．对任意两个不相等的正实数，若，则
三、填空题
3．（2023·山西临汾·模拟预测）已知，恒成立，则 ．
四、解答题
4．（2024·重庆·模拟预测）函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．
5．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．
(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
(2)若，满足，且，求的取值范围．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
反思提升：
含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：
(1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min.
(4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测），有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高二上·山东菏泽·期末）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A．B．C．eD．
二、多选题
5．（23-24高三上·新疆伊犁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高二下·甘肃定西·阶段练习）若函数有三个零点，则实数a的可能取值是（ ）
A．－10B．－9C．2D．3
7．（2023·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则满足条件的正整数可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、填空题
8．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 .
9．（20-21高二下·河北石家庄·期末）已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是 ．
10．（23-24高二上·陕西榆林·期末）已知函数是上的增函数，则的最小值为 .
四、解答题
11．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
12．（21-22高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，在处取得极小值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）函数对任意成立，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．D．2
二、多选题
2．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的图象与轴相切
B．存在，使得有极大值
C．若，则
D．若，则关于的方程有且仅有3个不等的实根
三、填空题
3．（2022高三上·河南·专题练习）已知，，若曲线上总存在不同的两点，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
【培优篇】
一、解答题
1．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.
(1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；
(2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围；
(3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.
2．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
3．（2023·河南·三模）已知函数，e为自然对数的底数．
(1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)判断不等式的整数解的个数；
(3)当时，，求实数a的取值范围．