适用于新教材强基版2024届高考数学一轮复习学案第一章集合常用逻辑用语不等式1.5一元二次方程不等式新人教A版

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知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
2.分式不等式与整式不等式
(1)eq \f(fx,gx)>0(<0)⇔________________；
(2)eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔________________.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为____________，|x|0)的解集为________．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.( )
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( )
(4)不等式eq \f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( )
教材改编题
1．不等式eq \f(x－3,x－2)<0的解集为( )
A．∅
B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
2．已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋eq \f(1,4)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
题型一 一元二次不等式的解法
命题点1 不含参数的不等式
例1 (1)不等式(x＋1)2－x≥7的解集为( )
A．(－∞，－2]∪[3，＋∞)
B．[－2,3]
C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
D．[－3,2]
(2)已知p：|x－1|≤2，q：eq \f(x＋1,x－3)≤0，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
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命题点2 含参数的一元二次不等式
例2 已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求关于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc>0(其中c为实数)的解集．
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思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 解关于x的不等式．
(1)eq \f(2x－1,3x＋1)>1；
(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.
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题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上恒成立问题
例3 (多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是( )
A．0 B．－24 C．－20 D．－2
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命题点2 在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________________．
听课记录：______________________________________________________________
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命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<－2或a≥2}
B．{a|－2C．{a|－2D．{a|a<2}
(2)当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2 B．a≥2
C．a≤eq \f(5,2)D．a≥eq \f(5,2)判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
不等式的解集
{x|x≠－eq \f(b,2a)}
R