第2章 有理数的运算全章复习与测试（原卷版+解析版）-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

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知识点1.有理数运算法则
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点归纳：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．
知识点2.有理数运算律
（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
知识点3.科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．
一．倒数（共2小题）
1．（2024•东昌府区校级模拟）的倒数是
A．B．C．D．3
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．据此进行解题即可．
【解答】解：，
故的倒数是3．
故选：．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（2024•河口区校级模拟）一个数的倒数是它本身，则该数是
A．1B．C．D．不存在
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解答】解：一个数的倒数是它本身，则该数是．
故选：．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
二．有理数的加法（共5小题）
3．（2024•朔州模拟）比大1的数是
A．2B．C．4D．
【分析】用加上1，求出比大1的数是多少即可．
【解答】解：，
比大1的数是．
故选：．
【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求比一个数多几的数是多少，用加法解答．
4．（2024春•香坊区校级期中）已知，，且，则的值等于
A．29或1B．或1C．或D．29或
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义确定出与的值，即可求出的值．
【解答】解：，，且，
，；，，
则或1．
故选：．
【点评】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2023秋•临海市期末）将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则的值为
A．B．C．D．
【分析】根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等可得，据此可得答案．
【解答】解：由题意得，，
，
故选：．
【点评】本题考查有理数的加法，能够理解题意是解题的关键．
6．（2024•陕西）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 0 （写出一个符合题意的数即可）
【分析】根据题意，填写数字即可．
【解答】解：由题意，填写如下：
，，满足题意，
故答案为：0．
【点评】本题考查了有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．
7．（2023秋•长春期末）2021年9月28日，第十三届中国航展在广东珠海举行，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，如图所示，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，五次特技飞行高度记录如下：，，，，．（单位：千米）
（1）求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？
（2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，则飞机在这5次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？
【分析】（1）直接把各数相加即可得出结论；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）（千米）．
答：此时飞机比起飞点高了1.7千米；
（2）
（升．
答：一共消耗37.2升燃油．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正负数在实际生活中的应用，熟知有理数混合运算的法则是解题关键．
三．有理数的减法（共3小题）
8．（2024•西安校级模拟）计算的结果是
A．B．2C．D．8
【分析】根据有理数的减法法则直接得出结果．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查实数的基本运算，属于基础题，起点较低．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
9．（2024•雁塔区校级四模）计算：的值是
A．B．5C．1D．
【分析】根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数进行计算即可．
【解答】解：原式，
故选：．
【点评】此题主要考查了有理数的减法，关键是掌握计算法则．
10．（2024•沅江市三模）已知，，且，则的值为
A．B．或C．或7D．或
【分析】根据，，求出，，然后根据，可得，然后分情况求出的值．
【解答】解：，，
、，
又，
，
则、或、，
所以或，
故选：．
【点评】本题考查了绝对值以及有理数的加减法，解答本题的关键是根据题目所给的条件求出和的值．
四．有理数的加减混合运算（共3小题）
11．（2024•罗湖区校级三模）一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，半夜的气温是
A．B．C．D．
【分析】根据有理数的加减混合运算的运算方法，用某地一天早晨的气温加上中午上升的温度，再减去半夜又下降的温度，求出半夜的气温是多少即可．
【解答】解：
答：半夜的气温是．
故选：．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握有理数的加减混合运算法则，注意运算顺序．
12．（2024•西城区校级一模）小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是
A．90分B．85分C．87.5分D．81分
【分析】分别计算得到每次测验的成绩，再计算四次测验的平均成绩即可．
【解答】解：第一次8（5分），
第二次（分，
第三次（分，
第四次（分，
这四次测验的平均成绩是（分．
故选：．
【点评】本题考查了有理数的加减的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
13．（2023秋•唐县期末）把写成省略括号的代数和的形式，正确的是
A．B．C．D．
【分析】括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变．括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．
【解答】解：根据去括号的原则可知：．
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的加减混合运算，主要考查去括号运算，掌握去括号的方法便可解决问题．
五．有理数的乘法（共3小题）
14．（2024•定州市三模）计算的结果等于
A．B．C．12D．1
【分析】根据两个有理数相乘的乘法法则进行计算求解即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两个有理数相乘的计算法则是本题的解题关键．
15．（2023秋•金东区期末）如果4个数的乘积为负数，那么这4个数中正数有
A．1个或2个B．1个或3个C．2个或4个D．3个或4个
【分析】根据同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数，则有奇数个负数，据此即可作答．
【解答】解：同号得正，异号得负，结合4个数的乘积为负数，
则这4个数中负数有1个或3个，
这4个数中正数有3个或1个．
故选：．
【点评】本题考查有理数的乘法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
16．（2024•河东区校级三模）计算的结果是
A．2B．C．D．18
【分析】根据两个数相乘法则：同号相乘得正，并把绝对值相乘，进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故选：．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则．
六．有理数的除法（共2小题）
17．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断．
【解答】解：、，故计算错误；
、，故计算错误；
、，故计算正确；
、，故计算错误；
故选：．
【点评】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键．
18．（2024•河东区模拟）计算的结果等于
A．8B．C．35D．
【分析】根据有理数的除法法则除以一个不等于零的数等于乘这个数的倒数计算即可．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
七．有理数的乘方（共7小题）
19．（2024•禹城市模拟）在，，，，中负数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【解答】解：，是负数；
，是负数；
，是正数；
，是负数；
，是正数；
负数有，，，共3个．
故选：．
【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
20．（2024•江西）计算： 1 ．
【分析】利用有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解：，
故答案为：1．
【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
21．（2024•姜堰区一模）若，则 3或 ．
【分析】求出，两边开方即可得出答案．
【解答】解：，
，
故答案为：3或．
【点评】本题考查有理数的乘方的应用，注意：3和的平方都等于9．
22．（2024春•宝山区期末）计算： ．
【分析】根据有理数的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．（2024•永川区校级模拟）若、互为倒数，则 1 ．
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得，根据的偶次幂，可得．
【解答】解：、互为倒数，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了倒数，注意的2018次幂是正数．
24．（2024春•高港区校级月考）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考；如果知道，，能否求呢？对于，规定，，例如：，所以，．记，，，；与之间的关系式为 ．
【分析】根据题目中规定和所举的例子列等式计算即可
【解答】解：由题意可得：，，
即，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的乘方，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
25．（2023秋•台州期末）小明与小红两位同学计算的过程如下：
（1）小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤；
（2）写出正确的解答过程．
【分析】（1）小明的第一步计算出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误；
（2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可．
【解答】（1）解：小明第一步计算出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误；
（2）原式．
【点评】本题考查有理数的乘除法、有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键．
八．非负数的性质：偶次方（共4小题）
26．（2023秋•亳州期末）若，则的值是
A．B．1C．D．2023
【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后根据有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解：，
又，，
，，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
27．（2023秋•平桥区期末）已知，则的值为
A．9B．C．20D．
【分析】根据绝对值与偶次幂的非负性求得，的值，代入式子，即可求解．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了绝对值与偶次幂的非负性，有理数的乘方运算，求得，的值是解题的关键．
28．（2023秋•龙马潭区期末）已知：与互为相反数，则
A．B．9C．D．6
【分析】根据相反数的定义可得，再根据绝对值和非负数的性质求出、的值，代入计算即可．
【解答】解：与互为相反数，
，
又，，
，，
解得，，
．
故选：．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
29．（2023秋•衡东县期末）若，则的值为
A．1B．C．5D．不确定
【分析】先根据非负数的性质求出，的值，进而可得出结论．
【解答】解：，
，，
解得，，
．
故选：．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键．
九．有理数的混合运算（共8小题）
30．（2024•梅州一模）计算的结果是
A．2B．C．D．7
【分析】先算乘除，后算加减，即可解答．
【解答】解：
，
故选：．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
31．（2024•城关区校级一模）小明与小刚规定了一种新运算：若、是有理数，则．小明计算出，请你帮小刚计算 16 ．
【分析】根据题中的新定义，将，代入计算，即可求出的值．
【解答】解：根据题中的新定义得：．
故答案为：16．
【点评】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．
32．（2023秋•武昌区期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去括号，再从左到右依次计算即可；
（2）先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
33．（2023秋•高港区期末）计算：
（1）；
（2）用简便方法计算：．
【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数乘法运算律进行计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
34．（2023秋•东阳市期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先将有理数的减法转化为加法，再根据有理数加法交换律和结合律简便计算即可；
（2）先算乘方，运用乘法分配律计算括号内，然后根据有理数的加减法计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
35．（2023秋•管城区期末）小明家买了一辆轿车，他连续10天记录了他家轿车每天行驶的路程，以为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据分别如下（单位：
，，，，，，，，，．
（1）请计算小明家这10天轿车行驶的路程；
（2）若该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元，请估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用．
【分析】（1）记录数字的和再加上10个20即可得到结果；
（2）用（1）的结论乘以3即可得到总路程，再根据“该轿车每行驶耗用汽油，且汽油的价格为每升8元”列式解答即可．
【解答】解：（1）
，
答：小明家这10天轿车行驶的路程为．
（2）（元，
答：估计小明家一个月（按30天算）的汽油费用为344.4元．
【点评】本题考查正数与负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．
36．（2023秋•德清县期末）对于有理数，，定义一种新运算“”，规定．
（1）计算的值；
（2）已知且，求的值．
【分析】（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；
（2）根据新运算的法则，列出方程进行计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2），
，
，
，
，
解得：．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程．掌握新运算的法则，是解题的关键．
37．（2024春•上海期中）材料一：对任意有理数，定义运算“”． ．
如：，．
材料二：规定表示不超过的最大整数，如，，．
（1） ， ；
（2）求的值；
（3）若有理数，满足，请直接写出的结果．
【分析】（1）根据新定义把新运算的代数式转化为常规代数式进行解答便可；
（2）根据新定义把原式转化为进行计算便可；
（3）设，为整数，由已知条件，列出的方程求得与的值，进而求得的值，再代入代数式，根据新定义进行计算便可．
【解答】解：（1），
，
故答案为：；；
（2）
；
（3）设，为整数，则，，
，
，
解得，，
，
．
【点评】本题考查了新定义，列代数式，有理数的混合运算，解一元一次方程，关键是理解和应用新定义解题．
一十．近似数和有效数字（共2小题）
38．（2023秋•靖江市期末）由四舍五入法得到的近似数，精确到
A．万位B．百分位C．百位D．万分位
【分析】由于，数字1在百位上，则近似数精确到百位．
【解答】解：，
近似数精确到百位．
故选：．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起，到这个数完为止，所有这些数字叫这个数的有效数字．
39．（2023秋•溧阳市期末）由四舍五入得到的近似数，精确到
A．10 000B．100C．0.01D．0.000 1
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：近似数精确到百位．
故选：．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
一十一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
40．（2024•湖南）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为
A．B．C．D．
【分析】把一个大于10的数表示成的形式大于或等于1且小于10，是正整数）；的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可得到答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了科学记数法—表示较大的数，掌握把一个大于10的数表示成的形式大于或等于1且小于10，是正整数）是关键．
41．（2024•道里区校级一模）杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为 ．
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，为整数，的值等于把原数变为时小数点移动的位数．
【解答】解：105800000用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
42．（2024•沛县校级一模）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“国家中小学智慧云平台”上线的某天，全国大约有5450000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
一十二．科学记数法—原数（共2小题）
43．（2024•凤台县二模）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步．”“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为
A．126300000B．12630000C．1263000000D．1263000
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可．
【解答】解：用科学记数法表示的数的原数为126300000，
故选：．
【点评】本题考查了科学记数法，熟知科学记数法的定义是解题的关键．
44．（2024•济宁一模）长城的总长用科学记数法表示约为米，则它的原数为
A．670000米B．6700000米C．67000000米D．670000000米
【分析】根据已知科学记数法的结果再判断原数，先确定原数的整数数位即可．
【解答】解：米对应的原数为6700000米．
故选：．
【点评】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
一．选择题（共10小题）
1．的倒数是
A．B．C．D．2
【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
【解答】解：．
的倒数是，
故选：．
【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．
2．经专家估算，我国南海的油气资源约合15000亿美元，开采前景甚至要超过英国的北海油田，用科学记数法表示15000亿美元是 美元．
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于15000亿有13位，所以可以确定．
【解答】解：15000亿．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定的值是关键．
3．温度由上升是
A．B．C．D．
【分析】根据题意列出算式，再利用加法法则计算可得．
【解答】解：温度由上升是，
故选：．
【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则．
4．下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】、根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数；
、根据有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
、根据有理数乘方含义．
【解答】解：、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，故本选项错误；
、，正确．
故选：．
【点评】本题考查了有理数的运算，同学们一定要理解有理数加减、乘方的含义，才能根据含义灵活解题．不致出现，，这样的错误．
5．计算的结果是
A．10B．0C．D．
【分析】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．
【解答】解：原式，
故选：．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．计算：正确的结果为
A．8052B．C．4D．
【分析】根据有理数的乘方以及有理数的乘法解决本题．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．
7．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，二进制中的110101表示的是十进制中的
A．25B．23C．55D．53
【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算．
【解答】解：．
二进制中的数110101表示的是十进制中的53．
故选：．
【点评】本题考查十进制中的数二进制、十进制中的数的相互转化的方法：二进制转十进制，从最后一位开始算，依次列为第0、1、位，第位的数或乘以2的次方．得到的结果相加就是答案．
8．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是
A．和B．和C．和D．和
【分析】根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断．
【解答】解：．，，
，故此选项不符合题意；
．，，
，故此选项符合题意；
．，，
，故此选项不符合题意；
．，，
，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查有理数的乘方，绝对值的化简，掌握有理数乘方的运算法则和绝对值的意义是解题基础．
9．下列各组数中，①和；②和；③和；④和，互为相反数的有
A．④B．①②C．①③D．②④
【分析】各项计算得到结果，利用相反数定义判断即可．
【解答】解：①，，互为相反数；②，，互为相反数；③，；④，
互为相反数的为①②，
故选：．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
10．求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为
A．B．C．D．
【分析】设，然后可以得到，再作差变形，即可求得所求式子的值．
【解答】解：设，
则，
，
，
，
即的值为．
故选：．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是找出其中规律，利用错位相减求解．
二．填空题（共8小题）
11．比较大小： ．
【分析】先比较与的大小，再根据比较两个负数大小的方法确定最后答案．
【解答】解：，，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
12．近似数精确到 百 位．
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位
【解答】解：近似数精确到百位，
故答案为：百．
【点评】考查了近似数和有效数字的知识，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
13．如图是一个运算程序，若输入的数为，则输出的数为 ．
【分析】把代入运算程序中计算即可得到输出的数．
【解答】解：根据题意得：，
故答案为：．
【点评】此题考查了代数式的求值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．若，，且，则的值为 2或8 ．
【分析】确定、的值，再代入求值即可．
【解答】解：，，
，，
又，
，或，，
当，时，，
，当，时，，
故答案为：2或8．
【点评】本题考查绝对值、有理数的加法，确定、的值是正确计算的前提．
15．若，，都是非零有理数，则 0或 ．
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
【解答】解：当，，同为正数时，原式；
当，，同为负数时，原式；
当，，中两个数为正数，一个为负数时，原式；
当，，中两个数为负数，一个为正数时，原式；
综上所述则所有可能的值为0或．
故答案为：0或．
【点评】本题考查了绝对值，掌握分类讨论思想是解题的关键．
16．规定一种运算：，那么 ．
【分析】根据定义的运算列式，然后先算小括号里面的，再算括号外面的．
【解答】解：由题意：
；
．
故答案为：．
【点评】本题考查有理数的混合运算，理解新定义运算的程序，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
17．已知3与一个数的差为，则这个数为 8 ．
【分析】根据减数等于被减数减去差列式计算即可得解．
【解答】解：
．
故答案为：8．
【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减数等于被减数减去差是解题的关键．
18．，求 9 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程，求出、的值，代入进行计算即可．
【解答】解：，
，，
解得，．
．
【点评】本题考查了初中范围内的两个非负数，转化为解方程的问题，这是考试中经常出现的题目类型．
三．解答题（共6小题）
19．计算
（1）
（2）
（3）
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；
（2）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（3）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．对于有理数、，定义一种新的运算：．例如：．
（1）计算的值．
（2）计算的值．
【分析】（1）根据，可以计算出所求式子的值；
（2）根据，可以对所求式子计算，先计算中号内的，化简后，再计算括号外的．
【解答】解：（1）由题意可得，
；
（2）由题意可得，
．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
21．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 15 ；
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ；
（3）算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“，，，”运算，使结果为24．请写出2个运算式并进行计算：
① ；
② ．
【分析】（1）根据题意，可以得到要使得乘积最大，一定是取得同号的两个数字，再观察数字可知，当取和时，符合要求；
（2）根据题意，可以得到要使得数字相除的商最小，一定是取得异号两数，再观察数字可知，当取和3时，符合要求；
（3）本题答案不唯一，写出的算式只要符合要求即可．
【解答】解：（1）由题目中的数据和题意可得，
当取数字和时得到乘积最大，此时，
故答案为：15；
（2）由题目中的数据和题意可得，
当取数字和3时得到商最小，此时，
故答案为：；
（3）①；
②；
故答案为：；．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．
22．下面是小明的计算过程，请仔细阅读．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
并解答下列问题．
（1）解答过程是否有错？
（2）若有在第几步？
（3）错误原因是什么？
【分析】（1）根据有理数的运算顺序和运算法则判断即可得；
（2）依据混合运算顺序和运算法则判断即可得；
（3）由乘除同级运算应该从左到右依次计算和两数相除同号得正判断可得．
【解答】解：（1）解答过程有错；
（2）错误出现在第二步和第三步；
（3）第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算；
第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除同号得正．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
23．请你仔细阅读下列材料：计算：
解法1：按常规方法计算
原式
解法2：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：
故
再根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法分别进行计算：．
【分析】观察解法1，用常规方法计算即可求解；
观察解法2，可让除数和被除数交换位置进行计算，最后的结果取计算结果的倒数即可．
【解答】解：解法1，
；
解法2，原式的倒数为：
，
故．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意，理解第二种解法的思路：两个数相除，可先求这两个数相除的倒数．
24．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 8 ；
（2）图中点所表示的数是 ，点所表示的数是 ；
（3）由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
【分析】（1）根据图象可知3倍的长为，这样长就可以求出来了．
（2）点在6的右侧8单位长度，可以求出点的数值为14，点在点右侧8个单位长度，也可以求出点的数值．
（3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄．
【解答】解：（1）观察数轴可知三根木棒长为，则这根木棒的长为；
故答案为8．
（2），
．
所以图中点所表示的数为14，点所表示的数为22．
故答案为：14，22．
（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为岁，
所以奶奶与妙妙的年龄差为：（岁，
所以奶奶现在的年龄为（岁．
【点评】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．
2.体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．
3．会用科学记数法表示数．
小明：
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
小红：
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）