山东省烟台市福山区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山东省烟台市福山区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共30页。

1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟，考试结束后，请将答题卡上交．
2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他器标号．
4．非选择题必须用用0.5毫米黑色签字笔作答，答案写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都验出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 3与互为相反数B. 与为倒数C. 的立方根是D. 的绝对值是1
答案：B
解析：
详解：解：A、3与互为相反数，正确，不符合题意；
B、与为倒数，原说法错误，符合题意；
C、的立方根是，正确，不符合题意；
D、的绝对值是1，正确，不符合题意．
故选：B．
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：D
解析：
详解：解：第1、2个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
第3个图形是中心对称图形，也是轴对称图形；
第4个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
是轴对称图形，但不是中心对称图形的个数有1个．
故选：D．
3. 如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A是主视图，C是左视图，D是俯视图，
故选：B．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
详解：A、，故运算结果错误；
B、，故运算结果错误；
C、，故运算结果正确；
D、，故运算结果错误；
故选：C．
5. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：，
故选：C．
6. 已知数轴上点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
7. 某中学开展“读书节活动”．该中学某语文老师随机样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
下列说法错误的是（ ）
A. 众数是1B. 平均数是C. 样本容量是10D. 中位数是5
答案：A
解析：
详解：解：∵阅读时间为6小时的有4人，人数最多，
∴众数是6，故A说法错误，符合题意；
平均数为，故B说法正确，不符合题意；
∵抽取了10名学生的课外阅读时间，
∴样本容量为10，故C说法正确，不符合题意；
把阅读时间从低到高排列，处在第5名和第6名阅读时间分别为4小时和6小时，
∴中位数为，故D说法正确，不符合题意；
故选：A．
8. 如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）

A. 10°，1B. 10°，C. 15°，1D. 15°，
答案：C
解析：
详解：解：过点O作于点E，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
9. 如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（ ）
A. B. C. D. 4
答案：C
解析：
详解：解：由折叠的性质得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，
又∵∠DAB=90°，
∴四边形ADED'是矩形，
∵AD=AD'，
∴四边形ADED'是正方形，
过点G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分别为I、H，
∵AD'ED是正方形，
∴AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，
∴D'B=EC=8-5=3，
在Rt△C′BD'中，C′D'=4，
∴C′E=5-4=1，
在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：
12+（3-x）2=x2，
解得：x=，
∵∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，
∴∠BC′D'=∠C′GH，
又∵∠GHC′=∠BD'C′=90°，
∴△BC′D'∽△C′GH，
∴C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，
设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，
∴HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，
解得：m=1，
∴C′G=5m=5，
∴FG=；
故选：C．
10. 如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点（－3，0）和（－4，0）之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
详解：解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①正确，符合题意．
对称轴直线，
，
抛物线与轴一交点在和之间，
抛物线与轴另一交点在，之间，
时，，
，②正确，符合题意．
抛物线对称轴为直线且图象开口向下，，
，③正确，符合题意．
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时取最大值，
由可得，
当时，即，
④错误，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每个题3分，满分18分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是__________．
答案：
解析：
详解：解：在函数中，
，
解得：，
故答案为：.
12. 如图，五边形是正五边形，若，则__________．
答案：72
解析：
详解：详解：延长AB交于点F，
∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为72°.
13. 如图，在中，，，．以点C为圆心，以的长为半径画弧，分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为___________．
答案：
解析：
详解：解：如图所示，过点作于，连接，
∵，，
∴，
∵以的长为半径画弧，分别交于点，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
，
故答案为：．
14. 如图，平行四边形的顶点A，B在函数（）的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为___________．
答案：
解析：
详解：解：∵四边形是平行四边形，的面积为8，
，
，
，
，
则，
∵点在函数的图象上，
，
，
则，
，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，______°．
答案：100
解析：
详解：解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，
由对称性知：，，
，
∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：．
16. 如图，礼盒的上下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为___________厘米．
答案：
解析：
详解：解：根据题意，作出实际图形的上底，
如图：是上底面的两边．
则，
作于点，
那么，
所以，
胶带的长至少．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）
17. （1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
答案：（1），；（2）原不等式组的解集为，数轴表示见解析．
解析：
详解：（1）解：原式
．
当时，
原式
．
（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
在同一条数轴上表示不等式组解集如图：
∴原不等式组的解集为．
18. 如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
答案：（1）见解析；（2）见解析.
解析：
详解：解：(1)如下图所示，DB、CD为所作；
(2)证明：∵AC平分∠BAM，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AM∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∴∠BAC＝∠BCA．
∴AB＝BC，
同理可证：AB＝AD．
∴AD＝BC．
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
19. 某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：

（1）根据以上信息可知：___________，___________，___________，__________．
（2）请补全条形统计图；
（3）请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数 ；
（4）若“报了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．
答案：（1），，，；
（2）见解析； （3）估计该校1000名学生中“基本了解”的人数约400人；
（4）抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同，理由见解析．
解析：
小问1详解：
解：，
，
，
；
小问2详解：
补全条形图如下：
小问3详解：
估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有（人），
答案：400；
小问4详解：
记4名学生中3名男生分别为，，，一名女生为B，列表如下：
从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：、、、、、共6种等可能结果．
∴P（抽到两名学生均为男生），
抽到一男一女包含：、、、、、共六种等可能结果．
∴P（抽到一男一女），
故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．
20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．

（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
答案：（1）
（2）或
（3）
解析：
小问1详解：
解：直线与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
，
，
在双曲线上，
，
∴反比例函数的表达式为 ；
小问2详解：
∵，
∴不等式的解集为：或 ；
小问3详解：
方法一：连接，作轴于G，

在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线CD的表达式为．
方法二：
连接BF，作轴于，

在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
∴设直线的表达式为，
在直线上，
，
，
∴直线的表达式为．
21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）

答案：米
解析：
详解：解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意， ，（米）
在中，（米），（米），则（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
22. 荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．
（1）求，饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件，
①求的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
答案：（1）种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；
（2）①且为整数，②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
解析：
小问1详解：
（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元．
由题意得：，解得：，
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．
小问2详解：
①根据题意得：，
解得：且为整数；
②设采购种饰品件时的总利润为元．
当时，，
即，
，
随的增大而减小．
当时，有最大值3480．
当时，
整理得：，
，
随的增大而增大．
当时，有最大值3630．
，
的最大值为3630，此时．
即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．
23. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，，求AB的长．
答案：（1）见解析；
（2）．
解析：
小问1详解：
证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切线；
小问2详解：
解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24. 如图①，正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．
实践探究：
（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．
答案：（1）12 （2）猜想：，理由见解析
（3）4
解析：
小问1详解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°．
由旋转得：△ABE≌△ADM，
∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠EAB=∠MAD．
∴∠ABE+∠ABC=180°．
∴E、B、N在同一直线上．
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAN+∠MAD=45°．
∴∠BAN+∠EAB=45°．
即∠EAN=45°．
∴∠EAN=∠MAN．
在△ANM与△ANE中
，
∴△ANM≌△ANE．
∴MN=EN．
∵EN=BE+BN=DM+BN，
∴MN=DM+BN．
∴MN+CM+CN=DM+BN+CM+CN=CD+BC=2BC．
在Rt△CMN中，由勾股定理得：，
∴10+8+6=2BC．
∴BC=12．
故答案为：12．
小问2详解：
三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系为；
理由如下：
如图②，过点D作DP⊥DF，且DP=BE，连接PF、AP．
则∠PDA+∠ADF=∠ADF+∠NDM=90°．
∴∠PDA=∠NDM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BN∥DM．
∵BN=DM，
∴四边形BNDM是平行四边形．
∴∠EBA=∠NDM．
∴∠PDA=∠EBA．
在△APD与△AEB中
，
∴△APD≌△AEB．
∴AP=AE，∠PAD=∠EAB．
∵∠EAP=∠EAD+∠PAD=∠EAD+∠EAB=∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠PAF=∠EAF=45°．
在△APF与△AEF中
，
∴△APF≌△AEF．
∴EF=FP．
在Rt△PDF中，由勾股定理得：，
即．
小问3详解：
如图③，把矩形ABCD补成正方形AEFD，延长AN交EF于G，连接GN，则AE=EF=DF=AD=8．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BN∥EG．
∴△ABN∽△AEG．
∴．
∴．
∴．
设DM=x，则FM=DF−DM=8−x，
∵四边形AEFD是正方形，∠GAM=45°，
∴由（1）的证明知，．
在Rt△GMF中，勾股定理得：，
即，
解得：x=4
即DM的长为4．
25. 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
答案：（1）
（2）四边形是平行四边形，理由见解析
（3）
解析：
小问1详解：
解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴；
小问2详解：
四边形是平行四边形．
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，．
∵点在上，
∴，，
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
小问3详解：
如图2，由题意得，，连接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当，，三点共线时最短），
∴的最小值为，
∵，
∴，
即的最小值为．每周课外阅读时间（小时）
2
4
6
8
学生数（人）
2
3
4
1
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
B
B