山西省大同市平城区两校联考2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含答案)

这是一份山西省大同市平城区两校联考2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，不等式组的解集是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.的绝对值为
A.B.C.D.
2.博物馆作为文明交流的载体，是一个国家、一座城市宣传文明成就的重要窗口.如今，越来越多的人们走进博物馆近距离感受中国文化.下面是我省几家著名博物馆的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是
ABCD
3.下列运算正确的是
A.B.
C.D.
4.国家统计局2024年1月17日发布数据：初步核算，2023年中国国内生产总值（GDP）超126万亿元，比上年增长5.2%，高于去年年初确定的预期目标.其中数据“126万亿”用科学记数法表示为
A.B.C.D.
5.不等式组的解集是
A.B.C.D.
6.如图，直线，与直线，分别交于点A，D，M，N，其中，.若要使，则的度数为
A.65°B.85°C.95°D.105°
7.如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成.这种方法体现的数学思想是
A.数形结合B.分类讨论C.公理化D.由一般到特殊
8.修建隧道能够缩短公路长度，为人们的生活带来很大的便利，隧道的截面形状通常为圆拱形或抛物线形.如图，某隧道的截面为抛物线形，隧道内净宽为11 m，净高为5 m.若以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线所对应的表达式为
A.B.C.D.
9.2024年春晚中的魔术节目备受瞩目，刘谦老师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌.小明受此启发，拿出四张背面完全相同的扑克牌（正面均不同），将这四张扑克牌分别对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是
A.B.C.D.
10.如图，在矩形中，，，分别以，为直径向矩形内部作半圆，则阴影部分的面积是
A.B.C.D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.计算的结果为 ▲ .
12.习近平总书记高度重视青少年的视力健康，并指出“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.专家建议预防儿童青少年近视首先要让孩子养成健康的生活方式，保证充足的户外活动时间.某校学生会想了解同学们进行户外活动的时间情况，他们随机调查了25名同学近一周累计户外活动的时间，并绘制出如图所示的条形统计图，则这25名同学一周内累计户外活动时间的中位数是 ▲ .
13.如图，四边形与四边形位似，位似中心为点O.若，四边形的面积为27，则四边形的面积为 ▲ .
14.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，交反比例函数的图象于点C，点P，Q为y轴上的两个动点，连接，，，.若，，则的值为 ▲ .
15.如图，在矩形中，对角线，相交于点，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，分别交，于点P，Q.若，，则的长为 ▲ .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
（1）计算：；
（2）解方程组：
17.（本题8分）如图，已知.
（1）按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：
①分别作边，的中点，记为点D，E；
②连接并延长，在的延长线上取点F，使；
③连接.
（2）在（1）所作的图中，试判断四边形的形状，并说明理由.
18.（本题8分）三晋大地从南到北，多地进行“稻蟹共生”的生态化养殖，即“以稻养蟹、以蟹养稻”的立体生态农业模式，大闸蟹养殖已成为村民们致富的新途径，某地A，B两村都采用“稻蟹共生”的养殖方式，两村同时购进一批蟹苗，B村购进蟹苗的数量比A村多20%，已知1斤蟹苗可以收获10斤螃蟹，养成后，A村每斤螃蟹的价格比B村贵2元，A村的大闸蟹共卖出37.5万元，B村的大闸蟹共卖出41.4万元，求A，B两村购进蟹苗的数量分别为多少斤.
19.（本题7分）“美丽乡村”建设是实施乡村振兴战略的重要内容，山西省依托“黄河、长城、太行”三大旅游板块为抓手，传承农耕文明、展示民俗文化、保护传统民居、发展休闲农业，全面建设美丽乡村.某校“综合与实践”小组为了解全校学生对“美丽乡村”建设的了解情况，通过问卷调查的形式，随机对本校部分学生进行了调查，并绘制了如下表格和不完整的扇形统计图.
解答下列问题：
（1）请补全扇形统计图，并求出c所对应的扇形圆心角的度数；
（2）若该校共有500名学生，请估计该校认为“改善交通出行条件”是美丽乡村建设最需要解决的问题的学生有多少名；
（3）该小组某位同学根据上面表格中的数据绘制了如图所示的条形统计图，请你指出该条形统计图存在的一个问题，并就绘制条形统计图提一条合理化的建议.
20.（本题9分）北岳恒山索道被誉为“三晋第一索”，索道随山峦逐级起伏，绵延而上，可以俯瞰到恒山各处的秀丽美景，让游客的游览舒适惬意.恒山索道沿线有16座支架，用以保持索道悬空的状态.如图，A，B，C为该索道的三处支架，且，从支架B处看支架A的仰角为22°，从支架C处看支架B的仰角为30°，支架A到支架C的竖直距离为320 m，已知点A，B，C，D在同一竖直平面内，求的长.（结果精确到1 m；参考数据：，，，）
21.（本题8分）阅读下面材料，并完成相应的任务.
任务：
（1）写出材料中的依据： ▲ .
（2）请根据图3的折法，求证：是的中位线.
22.（本题12分）综合与实践
【问题情境】
在矩形中，对角线，相交于点O，，，以点O为顶点作边长为2的正方形，并将正方形绕点O旋转，正方形与边交于点P，与边交于点Q.
【观察发现】
（1）如图1，当时，G，Q，C三点重合，此时与的数量关系为 ▲ ；
【猜想证明】
（2）当正方形旋转到如图2所示的位置时，猜想与的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）在正方形的旋转过程中，当时，请直接写出的长.
23.（本题13分）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接，作直线.
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式.
（2）如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线于点M，N，试探究线段长的最大值.
（3）如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线与y轴交于点H，连接，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 12. 13.5 13. 108 14. 15.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.解：（1）原式（3分）
.（5分）
（2）
，得.③（1分）
①-③，得.（2分）
解得.（3分）
将代入①，得，
解得.（4分）
所以原方程组的解为（5分）
17.解：（1）如图.
（4分）
（2）四边形是平行四边形.（5分）
理由：点D，E分别是，的中点，
是的中位线.
，.（6分）
，，
.
.（7分）
又，
四边形是平行四边形.（8分）
18.解：设A村购进蟹苗的数量为x斤，则B村购进蟹苗的数量为斤.（1分）
根据题意，得.（4分）
解得.（5分）
经检验，是所列方程的解，且符合题意.（6分）
（斤）.（7分）
答：A村购进蟹苗的数量为1500斤，B村购进蟹苗的数量为1800斤.（8分）
19.解：（1）b.12%（1分）
d.11%（2分）
c所对应的扇形圆心角的度数为.（3分）
（2）（名）.（4分）
答：估计该校认为“改善交通出行条件”是美丽乡村建设最需要解决的问题的学生有55名.（5分）
（3）问题：条形柱的高度与人数不成正比；绘制条形统计图时纵轴上的数据没有从0开始（答案不唯一，写出一条即可）.（6分）
建议：横轴上的项目分布注意均等；条形宽度一致；纵轴上必须是0刻度起始，隐去的数量要用折线表示（答案不唯一，写出一条即可）.（7分）
20.解：如图，过点B分别作于点E，于点F，则.…（1分）
由题意，易得，，.
设.（2分）
在中，，（2分）
.（3分）
在中，，（4分）
.（5分）
，
四边形是矩形.
，.（6分）
，，
，（7分）
解得.（8分）
.
答：的长约为.（9分）
21.（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）（2分）
（2）证明：如图，设与交于点F，连接交于点G.（3分）
第一次折叠可得，第二次折叠可得，，（4分）
.
.（5分）
.（6分）
，，.（7分）
是的中位线.（8分）
22.解：（1）（2分）
（2）.（3分）
理由：如图，过点O分别作于点M，于点N，则.（4分）
四边形是矩形，
，，，，，.
，.
又，，
，.
，
四边形是矩形.
，，.
四边形是正方形，.（6分）
，即.
.（7分）
.
.（8分）
（3）或.（12分）
23.解：（1）令，得.点C的坐标为.（1分）
令，则，解得，.
点A在点B的左侧，
点A的坐标为，点B的坐标为.（3分）
直线的表达式为.（4分）
（2）点P的横坐标为m，
点P的坐标为.
轴，
点M的坐标为.
.（6分）
，，
当时，有最大值，为4.（7分）
点B的坐标为，点C的坐标为，
，.
.
轴，轴，
.
.
.
.（8分）
.
线段长的最大值为.（9分）
（3）点Q的坐标为或.（13分）
注：以上答案仅供参考，开放性试题的答案合理即可得分。
调查问卷
美丽乡村建设最需要解决的问题是（单选）
a.发展休闲农业 □
b.完善公共服务设施 □
c.展示民俗文化 □
d.改善交通出行条件 □
选项
频数
a
63
b
36
c
168
d
33
三角形中位线的折法
如图1，在中，，将向下对折，使点A与点C重合，得到折痕，则垂直平分，易得是的中位线.
如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中位线.
第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕；
第二步，将向下对折，使点A与点P重合，得到折痕，则是的中位线.
理由如下：设与交于点Q.
第一次折叠可得，第二次折叠可得，且.
.
.
（依据）.
，，.
是的中位线.
如图3，继续探究其他折法：
第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕；
第二步，将向下对折，使点A的对应点落在上，点M的对应点落在折痕上，则是的中位线.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
C
B
A
D
C
D
A
B
A
D