重难点拓展：整式中两种规律探索问题（原卷版+解析版）-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

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题型01递推型规律探索
【典例分析】
【例1-1】（2022秋•安庆期末）一只小球落在数轴上的某点处，第一次从处向右跳1个单位到处，第二次从向左跳2个单位到处，第三次从向右跳3个单位到处，第四次从向左跳4个单位到处，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点处所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是
A．B．C．D．
【分析】根据题意可以用代数式表示出前几个点表示的数，从而可以发现它们的变化规律，进而求得这只小球的初始位置点所表示的数．
【解答】解：设点所表示的数是，
则点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
点所表示的数是，
，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
【例1-2】（22-23七年级上·福建龙岩·期中）已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，（为正整数）依此类推，则值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，计算出前几个数的结果，然后观察即可发现数字的变化特点，从而可以计算出的值．
【详解】由题意可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
由上可得，从第二个数开始，每两个为一组，依次出现，，，，，，，并且偶数个数的结果是这个数除以的结果的相反数，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点
【例1-3】（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）有一列单项式，按一定规律排列成：，，，，，…．根据其中的规律，回答问题．
(1)第8个单项式是______，第，（，且为正整数）个单项式是______．
(2)若某三个相邻的单项式的系数之和是，则这三个单项式分别是多少？
【答案】(1)，
(2)，，
【分析】本题考查的是单项式的规律探究，一元一次方程的应用，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
（1）观察单项式发现，系数的绝对值为，字母指数为序数，据此即可求解．
（2）设所求的三个单项式的系数分别为，，，根据单项式的系数之和是，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵，，，，，…
∴第8个单项式是，
第，（，且为正整数）个单项式是；
故答案为：；．
（2）解：设所求的三个单项式的系数分别为，，，
由题意得：，
解得：，
∵，，，
∴这三个单项式分别是，，
【变式演练】
【变式1-1】（2022秋•裕安区校级期中）一只小球从数轴上的原点出发，第一次向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，若小球按以上规律跳了6次，它在数轴上的点所表示的数是 ，若小球按以上规律跳了次，它在数轴上的点所表示的数是 （用含的代数式表示）．
【分析】由题意可得表示的数，表示的数是1，表示的数，表示的数2，则可得表示的数3，点所表示的数是，即可求解．
【解答】解：由题意可得表示的数，
表示的数是，
表示的数，
表示的数，
表示的数
则可得表示的数，
点所表示的数是，
故点所表示的数是．
故答案为：3，．
【点评】此题考查数字的变化规律，数轴的认识，找出其中的变化规律是解题的关键．
【变式1-2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（ ）
A．80B．200C．210D．14
【答案】B
【分析】本题考查数字变化类规律探究，有理数的运算，理解题意，探究出结果的变化规律是解题的关键．
通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案．
【详解】解：由题意知：，；
，；，；，；；
由上可知，，，，是按照80、200、14、，80、200、14三个数的组合重复出现的数列，
，
．
故选：B
【变式1-3】（2023秋•六盘水期中）已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，为正整数）依此类推，则的值为 ．
【分析】已知字母的值，求代数式的值，先把整数、、、、的规律找出来，即当为偶数时，，再把代入计算，即可作答．
【解答】解：，，，，，，
，，，，，
故当为偶数时，，
那么时，，
则的值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了数字型规律，发现规律是关键．
【变式1-4】观察下列单项式：，，，，，，写出第个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．
（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，写出第2020个，第2021个单项式．
【分析】（1）根据题目中的单项式，可以写出这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么；
（2）根据题目中的单项式，可以写出这组单项式的次数的规律是什么；
（3）根据（1）和（2）中的发现，可以写出第个单项式；
（4）根据（3）中的猜想可以写出第2020个，第2021个单项式．
【解答】解：（1）一组单项式：，，，，，，，
这组单项式的系数依次为，3，，7，，，39，，绝对值规律是从1开始的连续的奇数；
（2）一组单项式：，，，，，，，
这组单项式的次数的规律是从1开始的一些连续的整数；
（3）根据上面的归纳，猜想出第个单项式是；
（4）当时，这个单项式是，
当时，这个单项式是．
【点评】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，写出相应的单项式．
【变式1-5】观察下列关于的单项式：
，，，，
（1）直接写出第5个单项式： ；
（2）第20个单项式的系数和次数分别是多少？
（3）系数的绝对值为2023的单项式的次数是多少？
【分析】（1）根据所给的式子，直接写出即可；
（2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解；
（3）由题意可得，求出，再由（2）的规律求解即可．
【解答】解：（1）第5个单项式为，
故答案为：；
（2），，，，
第个单项式为，
第20个单项式为，
第20个单项式的系数是，次数是41；
（3）系数的绝对值为2023，
，
次数为．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键．
题型02累加型规律探索
【典例分析】
【例2-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）按照下面的方式堆放小球，第5堆有 个小球，第n堆有 个小球．
【答案】 15
【分析】本题考查了图形规律探索，第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个；根据每一堆的层数和个数，发现可以用梯形的面积公式来计算出个数，上底是1，下底与它的堆数相同，高与底相同，据此求出第5堆和第n堆小球的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个，
则第n堆小球共有：，
第五堆小球共有：（个），
故答案为：15；
【例2-2】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，那么第2023个图形中共有 个○．
【答案】6070
【分析】本题考查图形类规律探索，根据题目中的图形，可以发现○的变化规律，从而可以得到第2023个图形中○的个数．
【详解】解：由图可得，
第1个图象中○的个数为：，
第2个图象中○的个数为：，
第3个图象中○的个数为：，
第4个图象中○的个数为：，
……
∴第2023个图形中共有：个○，
故答案为：6070
【例2-3】（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：
(1)第4个图案中，三角形有______个，正方形有______个；
(2)若用字母分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式则第5个图案可表示为多项式______；
(3)在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且求的值．
【答案】(1)16，16
(2)
(3)
【分析】本题考查了规律型的图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
（1）观察图形得出规律，即可得出第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个；
（2）根据第1、2个图案可表示多项式，，可知第5个图案可表示为多项式；
（3）根据（1）得出的规律，列式计算即可求解．
【详解】（1）观察图形可知：
第1个图案中，三角形有个，正方形有个；
第2个图案中，三角形有个，正方形有个；
第3个图案中，三角形有个，正方形有个；
第4个图案中，三角形有个，正方形有个；
故答案为：16，16；
（2）第1第2个图案可表示为多项式，，可知第5个图案可表示为多项式，
故答案为：；
（3）第5个图案所表示的多项式值为90，
，
又，
，
的值为：2
【例2-4】将正方形（如图作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图，得线段和，它们交于点，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；
（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有 401 个正方形；
（2）继续划分下去，第次划分后图中共有 个正方形；
（3）能否将正方形划分成有2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
【分析】（1）根据题意找出规律进行计算即可；
（2）根据规律解答即可；
（3）根据题意得出值，进而解答即可．
【解答】解：（1）第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
第次可得个正方形，
第100次可得正方形：（个；
故答案为：401；
（2）由（1）得：第次可得个正方形，
故答案为：；
（3）不能，
，
解得：，
不是整数，
不能将正方形划分成有2020个正方形的图形．
【点评】本题考查规律型数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
【变式演练】
【变式2-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有个点，图④中有个点，按此规律，图⑩中有 个点．
【答案】
【分析】本题考查了数与形的规律，能总结出一般规律是解题关键．列出给出的几幅图的点数依次为，，，，，分析这些数我们可以得到，，，据此总结规律求解即可．
【详解】观察题图可知：
图①中点的个数为；
图②中点的个数为；
图③中点的个数为；
图④中点的个数为；
图n中点的个数为；
当时，图中点的个数有（个）点，
故答案为：
【变式2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：第七个图案中有白色地砖 块．
【答案】30
【分析】此题主要考查图形的变化规律，通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
第一个图案有白色地面砖6块，第二个有10块，第三个有14块……即第n个图案中白色地砖数有块，利用这个规律即可求解．
【详解】解：因为第一个图案有白色地面砖块，第二个有块，第三个有块，据此总结出规律，第n个图案中白色地砖数有块，
所以第7个图案中有白色地面砖数为：（块）
即第七个图案中有白色地砖30块．
故答案为：30．
【变式2-3】（23-24七年级上·山西阳泉·期中）用火柴棒按图中所示的方法搭图形．
(1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 根火柴棒；搭第n个图形需 根火柴棒；
(2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形；
(3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？
【答案】(1)12；17；（5n＋2）
(2)1012；不能
(3)110个
【分析】（1）依次求出图形中用的火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）先求出187根火柴搭成的是第几个图形，再根据图形中正方形个数变化的规律即可解决问题．
【详解】（1）解：（1）由所给图形可知，
第①个图形用的火柴棒根数为：7＝1×5＋2；
第②个图形用的火柴棒根数为：12＝2×5＋2；
第③个图形用的火柴棒根数为：17＝3×5＋2；
…，
所以第n个图形用的火柴棒根数为（5n＋2）根．
故答案为：12，17，（5n＋2）．
（2）解：（2）由（1）知，
当n＝202时，
5n＋2＝5×202＋2＝1012（根），
即第202个图形用的火柴棒根数为1012根．
使用2023根火柴棒不能搭建完整的正方形组建的图形．
当5n＋2＝2023时，
解得n＝404.2，
因为n为正整数，
所以不能搭建完整的正方形组建的图形．
故答案为：1012，不能．
（3）解：（3）令5n＋2＝187，
解得n＝37，
即第37个图形用的火柴棒根数为187根．
又因为第①个图形产生的正方形个数为：2＝1×3﹣1；
第②个图形产生的正方形个数为：5＝2×3﹣1；
第③个图形产生的正方形个数为：8＝3×3﹣1；
…，
所以第n个图形产生的正方形个数为（3n﹣1）个，
当n＝37时，
3n﹣1＝3×37﹣1＝110（个），
即第37个图形产生的正方形个数为110个，
所以使用187根火柴搭图形，图中会产生110个正方形．
【点睛】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现所用火柴棒的根数及产生正方形的个数变化的规律是解题的关键
【变式2-4】（2023秋•梅州期末）将正方形（如图作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图，得线段和，它们交于点，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形．
（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有 21 个正方形．
（2）继续划分下去，第次划分后图中共有 个正方形．
（3）能否将正方形划分成有1200个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．
（4）如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果． （直接写出答案即可）．
【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题；
（2）探究规律，利用规律即可解决问题；
（3）构建方程即可解决问题；
（4）利用数形结合思想解决问题，根据进行计算即可．
【解答】解：（1）第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，
第次可得个正方形，
第5次可得，
故答案为：21；
（2）由（1）得：第次可得个正方形，
故答案为：；
（3），理由：由，解得，不是整数，
所以不能将正方形划分成1200个正方形的图形．
（4）由题意．
故答案为：．
【点评】本题考查图形规律题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律方法，属于中考常考题型．