天津市重点校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份天津市重点校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数，则( )
A.B.0C.1D.
2．若的二项式展开式中的系数为10，则( )
A.1B.-1C.±1D.±2
3．曲线在点处的切线的方程为( )
A.B.C.D.
4．函数,的最大值为1，则实数a的值为( )
A.1B.C.3D.
5．演讲社团里现有水平相当的4名男生和4名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有( )
A.44种B.56种C.48种D.70种
6．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的( )
A.在上单调递增B.在上单调递减
C.在上单调递减D.在上单调递增
7．已知定义在R上的奇函数满足，，当时，，则的解集为( )
A.B.
C.D.
8．甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者被分配到3个不同的岗位参加志愿者工作，每个岗位至少分配一人，丁与戊在同一岗位，则不同的分配方案有( )
A.18种B.21种C.24种D.36种
9．若函数恰好有四个零点，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．的展开式中的系数为________.
11．函数的单调递减区间是________.
12．由1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的六位数有________.（用数字作答）
13．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为________.
14．一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有种________.
15．已知，函数有两个极值点，，则下列说法正确的序号为________.
①若，则函数在处的切线方程为；②m可能是负数；
③；④若存在，使得，则.
三、解答题
16．已知.求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
17．设函数，曲线在点处的切线斜率为1.
（1）求实数a的值；
（2）设函数，求函数的单调区间.
18．从A，B，C等7人中选5人排成一排.
（1）若A必须在内，有多少种排法?
（2）若A，B都在内，且A，B之间只有一人，有多少种排法?
（3）若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法?
19．已知函数，，令函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当a为正数时，讨论函数的单调性；
（3）若不等式对一切都成立，求a的取值范围.
20．已知函数.
（1）若，讨论的单调性.
（2）已知关于x的方程恰有2个不同的正实数根，.
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：.
参考答案
1．答案：D
解析：，
所以.
故选：D.
2．答案：A
解析：由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，
则得，解得.
故选：A.
3．答案：C
解析：设，
所以
.
因为，
所以曲线在点处的切线的方程为，即.
故选：C.
4．答案：D
解析：，，.
则在上单调递减，在上单调递增，则
.
故选：D
5．答案：C
解析：选出3名同学既有男生又有女生有两种情况：
1男2女，则,
2男1女，则，
所以共有种不同选法.
故选：C.
6．答案：C
解析：时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
当时，，故在上单调递增，
显然C正确，其他选项错误.
故选：C.
7．答案：A
解析：令，则，由题可知，当时，，故在单调递减；
又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增；
又，则，画出的模拟草图如下所示：
当时，，则，数形结合可知，此时；
当，因为为R上的奇函数，故，不满足题意；
当，，则，数形结合可知，此时；
综上所述：的解集为.
故选：A.
8．答案：D
解析：先把5人分成3堆，共有两类：
第一类：丁与戊2个人为一堆，其它3人分为一堆1人，一堆2人，所有分堆方式有：种，
再将三堆分配至3个岗位，共有：种；
第二类：从除去丁与戊的3人种，选择1人与丁与戊构成一堆，其它2人分为一堆1人，另一堆也是1人，
所有分堆方式共有：种，再将三堆分配至3个岗位，共有：种；
综上所述，所有的分配方案有：种.
故选：D.
9．答案：C
解析：因为，所以不是的零点，
当时，令，得，
令，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
且当x趋近正无穷时，趋近2，如图所示，
所以当时，与的图象有且仅有四个交点，
此时函数恰好有四个零点.
故选：C.
10．答案：
解析：展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：
11．答案：，
解析：由，且，则，
令，即，解得或.
所以函数的单调递减区间是，.
故答案为：，.
12．答案：120
解析：根据题意，这6个数字构成的没有重复数字的六位数共有：种，
因为奇数数字顺序确定，故满足题意的六位数共有：种.
故答案为：120.
13．答案：
解析：，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
分离参数得，
当，即时，取得最小值，
所以.
故答案为：.
14．答案：72
解析：我们需要用四种颜色给五个区域A,B,C,D,E涂色，使得区域B,C,D,E的颜色均和区域A的颜色不同，区域B和D，D和E，E和C，C和B每对的颜色都不相同.
那么首先区域A有四种涂法，颜色确定后，区域B,C,D,E仅可以使用其余三种颜色.
由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是B和E，或者D和C.
如果这两对区域都是同色的，那么B和E，以及D和C，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种；
如果B和E同色，但D和C不同色，那么B和E的颜色有三种选择，选择后，D和C的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种；
如果D和C同色，但B和E不同色，同理，此时的情况数有种.
综上，区域A的颜色确定后，剩下四个区域B,C,D,E的涂色方式共有种.
而区域A的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种.
故答案为：72.
15．答案：①④
解析：①若，则，，
，，
所以函数在处的切线方程为，即，说法①正确.
②，有，则，说法②错误.
③，当时，，单调递减，没有极值，
当时，由，解得，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
而，，，，
所以
为定值，说法③错误.
④若存在，使得，
即，得，
即，即，
由于，所以必存在，
对于，则有，
即，解得，所以说法④正确.
故答案为：①④
16．答案：（1）-1；
（2）2187；
（3）-1094
解析：（1）令，得
（2）令，得
由的展开式的通项为，知，，，为负数
所以
（3）由，
得，
所以
17．答案：（1）；
（2）单调递减区间为，单调递增区间为.
解析：（1）由题意得的定义域为，又，
因为.所以，解得.
所以实数a的值为1.
（2）因为，，
则，
令，得，
与在区间上的情况如下：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
18．答案：（1）1800；
（2）360；
（3）144
解析：（1）根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有种排法.
（2）先选出其余的三人，将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，
再将另外两人一起排列，
所以一共有360种排法.
（3）根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法，
将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法，
排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况，
所以共有种不同的排法.
19．答案：（1）；
（2）分类讨论，答案见解析；
（3）
解析：（1）当时，，，
故，则，
故函数在处的切线方程为，即；
（2）因为，，
则，
时，在，上为正，上为负，
所以的单增区间为，，单减区间为，
时，在上恒，所以在上单调递增，
时，在，上为正，上为负，
所以的单增区间为，，单减区间为，
综上：时，的单增区间为，，单减区间为，
时，在上单调递增，
时，的单增区间为，，单减区间为.
（3）由，，变形为，
令，则在上单调递增，
其中，，
则，
若，此时在上恒成立，
则在上单调递增，满足要求，
若，此时要满足在恒成立，
令，对称轴为，
故要满足，解得，
综上：，即a的取值范围是.
20．答案：（1）在，上单调递增，在上单调递减
（2）（i）；（ii）证明见解析
解析：（1）当时，，则；
令，解得：或，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减.
（2）（i）由得：，
恰有2个正实数根,，恰有个正实数根,，令，则与有两个不同交点，
，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，又，
当x从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；当x无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于；
则图象如下图所示，
当时，与有两个不同交点，
实数a的取值范围为；
（ii）由（i）知：，，
，，
，
不妨设，则，
要证，只需证，
，，，则只需证，
令，则只需证当时，恒成立，
令，
，
在上单调递增，，
当时，恒成立，原不等式得证.
x
0
-
0
+
递减
极小值
递增