新蔡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期7月月考数学试卷(含答案)

这是一份新蔡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期7月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,则( )
A.B.C.D.
2．已知向量,，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知,是平面内的一组基底,,,,若A,B,C三点共线,则实数k的值为( )
A.9B.13C.15D.18
4．如图,一个椭圆形花坛分为A,B,C,D,E,F六个区域,现需要在该花坛中栽种多种颜色的花.要求每一个区域种同一颜色的花,相邻区域所种的花颜色不能相同.现有5种不同颜色(含红色)的花可供选择,B区域必须种红花,则不同的种法种数为( )
A.156B.144C.96D.78
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,原文如下：今有物不知其数,三三数之剩二（除以3余2）,五五数之剩三（除以5余3）,七七数之剩二（除以7余2）,问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p（p＞1）满足二二数之剩一,三三数之剩一,将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列,构成数列,记数列的前n项和为,则的最小值为( )
A.16B.22C.23D.25
6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象关于,则的最小值是( )
A.B.C.D.
7．如图,平行四边形中,,.现将沿起,使二面角大小为120°,则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．如果方程能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数为隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程中,把y看成x的函数,则方程可看成关于x的恒等式,在等式两边同时对x求导,然后解出即可.例如,求由方程所确定的隐函数的导数,将方程的两边同时对x求导,则有（y是x的函数,需要用复合函数的求导法则求导）,得.利用隐函数求导方法可求得曲线在点处的切线方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若复数,i为虚数单位,则下列说法正确的是( )
A.z在复平面内对应的点位于第四象限B.
C.（是z的共轭复数）D.若,则的最小值为
10．已知正方体的棱长为2,点M,N分别为棱,的中点,点P为四边形（含边界）内一动点,且,则( )
A.平面
B.点P的轨迹长度为
C.存在点P,使得面
D.点P到平面距离的最大值为
11．如图，的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，，，则下列说法中正确的是( )
A.的内角
B.
C.四边形ABCD面积的最大值为
D.四边形ABCD的面积无最大值
三、填空题
12．已知函数,则曲线在点处的切线方程为_______________.
13．已知D,E分别为的边,上的点,线段和相交于点P,若,且,,其中,,则的最小值为______________.
14．已知函数,若存在实数,,,.满足,且,则的取值范围是_____________.
四、解答题
15．如图,在中,点D为边上靠近B点的三等分点,,.
(1)若,求三角形的面积；
(2)当最小时,求的长.
16．如图,直三棱柱中,,点M在线段上,且,.
(1)证明：点M为的重心；
(2)若,求二面角的余弦值.
17．已知函数,.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点,求实数a的取值范围；
(3)若对任意的恒成立,求实数a的取值范围.
18．年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构,多选题由4道减少到3道,分值变为一题6分,多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的,全部选对得6分,有错选或全不选的得0分若正确答案是“两项”的,则选对1个得3分若正确答案是“三项”的,则选对1个得2分,选对2个得4分某数学兴趣小组研究答案规律发现,多选题正确答案是两个选项的概率为p,正确答案是三个选项的概率为其中.
(1)在一次模拟考试中,学生甲对某个多选题完全不会,决定随机选择一个选项,若,求学生甲该题得2分的概率
(2)针对某道多选题,学生甲完全不会,此时他有三种答题方案：
Ⅰ随机选一个选项
Ⅱ随机选两个选项
Ⅲ随机选三个选项.
若,且学生甲选择方案Ⅰ,求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据,p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
19．在中,,,对应的边分别为a,b,c,.
(1)求A；
(2)奥古斯丁•路易斯･柯西,法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式：；
②已知三维分式型柯西不等式：,,,,当且仅当时等号成立.若,P是内一点,过P作,,的垂线,垂足分别为D,E,F,求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：,
且A集合为偶数集.则，
故选：B.
2．答案：A
解析：当时，，即，故，解得.故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．答案：C
解析：
4．答案：A
解析：除B区域外，其他区域的种法分三类：
第一类，C、D、E、F区域选红色以外的其余 4 种颜色，A区域选红色，有种不同的种法;
第二类，C、D、E、F区域选红色以外的其余4种颜色中的3种，C ，F同色或D，E同色，A区域有2种选法，有种不同的种法;
第三类，C、D、E、F区域选红色以外的其余4种颜色中的2种，C ，F同色且D，E同色，A区域有3种选法，有种不同的种法.
综上可得，共有（种）不同的种法.
故选：A
5．答案：B
解析：
6．答案：A
解析：因为，
由题意可得函数为，
即的图象与的图象关于，
设为上的任意一点，则该点关于 对称的点上，
所以，
由题意可得，两函数图象上的最高点也关于，
所以，又，
所以，
解得，
因为，所以m的最小值为，
所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：
8．答案：D
解析：由,得,
则,将点的坐标代入,
得,即,
所以所求切线的方程为,
即.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：
10．答案：AD
解析：
11．答案：ABC
解析：，由正弦定理可得，，.又，.
，，，，因此A，B正确.四边形ABCD的面积等于
，
当且仅当，即时，等号成立，因此C正确，D错误.故选ABC.
12．答案：/
解析：
13．答案：
解析：如图：
因为,所以,又,所以,
,所以,
,
又P,B,E三点共线,所以,
所以,,当且仅当时,
即,时,等号成立,
故答案为：.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,,故,,
由正弦定理得,即,
而,故,
故,故的面积为
.
（2）设,则,
则在中,,
在中,,
故
,
由于,当且仅当,即时取等号,
故,即取到最小值即取最小值时,,即此时.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：如图,延长交于点D,连接,
因为,,,,平面
所以平面,
因为平面,所以,
因为直三棱柱中,平面,平面,
所以,
因为,,平面,
所以平面,
因为平面,所以,
因为,所以,所以D为的中点,
因为,所以,
所以点M为的重心；
（2）取中点E,连接,
因为,所以,
因为直三棱柱中,平面,平面,
所以,
因为,,平面,所以平面,
因为平面,所以,
取中点F,连接,,则,,
因为,所以,
因为,,平面,
所以平面,因为平面,所以,
所以为二面角的平面角,
因为,所以,
因为,所以,
因为,所以∽,
所以,
因为,所以,得,
所以,
所以,
因为,所以,
在中,,即二面角的余弦值为.
17．答案：（1）当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减
（2）
（3）
解析：（1）, ,
当时,,所以在上单调递增.
当时,令,则.
若,即时,恒成立,所以在上单调递增.
若,即时,方程的根为,
当时,或,在和上单调递增；
当时,,在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.
（2）令,则.
令,则.
所以当时,,在上单调递减.
当时,,在上单调递增.
又当时,,且；当时,,
所以当时,先减后增,且在处有最小值,
此时直线与有两个交点,
所以实数a的取值范围为.
（3）因为,即,
即,对恒成立.
当时,上式显然成立；
当时,上式转化为,
令,,
,所以函数在上单调递增,
,,
综上所述,实数a的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）记事件A为“正确答案选两个选项”,事件B为“学生甲得2分”.
,
即学生甲该题得2分的概率为.
（2）记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”,则X可以取0,2,3,
,
,
,
所以X的分布列为
则数学期望.
记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”,
则,
,
,
所以
记Y为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”,
则,
,
,
所以
记Z为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”,
则,
,
所以.
要使唯独选择方案Ⅰ最好,则,解得：,故p的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,
由正弦定理得,,
因为,所以,所以,
所以,即,
因为,所以,
因为,所以,故,又,所以；
（2）①设,,由,得,
从而,即；
②.
又,,
.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得,
所以,即,
则,令,则.
因为,得,当且仅当时等号成立,
所以,则,
令,则y在上递减,
当即时,y有最大值,
此时T有最小值（此时与可以同时取到）
X
0
2
3
P