2022-2023学年江西省九江市都昌县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年江西省九江市都昌县八年级下学期期中数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BADB．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BDD．以上都不正确
3．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＜2D．x＞2
4．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
5．（3分）如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，那么AA′的长为（ ）
A．10cmB．15cmC．30cmD．30cm
6．（3分）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0；  ②b＜0，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①④
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（3分）已知点P（﹣2，3）关于原点的对称点为Q（a，b），则a﹣b＝ ．
8．（3分）m的6倍与4的差大于12，列不等式为 ．
9．（3分）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2） （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）．
①只要向右平移1个单位；
②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；
③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；
④绕着OB的中点旋转180°即可．
10．（3分）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝8，BD＝12．则∠ACD＝ 度．
11．（3分）定义：对于任意实数a，符号【a】表示不大于a的最大整数，例如【5.8】＝5，【﹣1.4】＝﹣2．根据此定义，如果【a】＝4 ．
12．（3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），则等腰三角形AEP的底边长是 ．
三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分）
13．（6分）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
14．（6分）求不等式组的非负整数解．
15．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．
16．（6分）如图，在四边形BCDE中，∠C＝∠BED＝90°，延长CD、BE，两线相交于点A，DE＝1，求Rt△ABC的面积．
17．（6分）如图，△ABD中∠BAD＝90°，将△ABD逆时针旋转后得到△ACE，∠E＝20°，求∠BAC的度数．
18．（8分）一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对一题给5分，不答题不给分也不扣分，小明有一道题未答，总分才不会低于70分？
19．（8分）不等式组的解集是x＞1，求m的取值范围．
20．（8分）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）求∠PBQ的度数．
21．（9分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
22．（9分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
23．（12分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．（3分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BADB．AC＝AD或BC＝BD
C．AC＝AD且BC＝BDD．以上都不正确
【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
【解答】解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．
很据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，
还需补充一对直角边相等，
即AC＝AD或BC＝BD，
故选：B．
【点评】此题主要考查学生利用“HL”证明直角三角形全等这一知识点的理解和掌握，比较简单，属于基础题．
3．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x＜2D．x＞2
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＞7，
解②得：x＞3，
则不等式的解集是：x＞3．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，AC＝4，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．
【解答】解：∵DE是BC的中垂线，
∴BE＝EC，
则AB＝EB+AE＝CE+EA，
又∵△ACE的周长为11，
故AB＝11﹣4＝7，
直线DE上任意一点到A、C距离和最小为8．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．难度简单．
5．（3分）如图，一个含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，那么AA′的长为（ ）
A．10cmB．15cmC．30cmD．30cm
【分析】连接AA′．构建Rt△ABA′；由旋转的性质可以推知BC＝B′C，AC＝A′C；根据图示知Rt△ABC中的∠A＝30°，由30°所对的直角边是斜边的一半可以求得AC＝30cm，由勾股定理可以求得
AB＝15cm；最后在根据线段间的和差关系求得A′B＝BC+CA′＝BC+AC＝45cm，根据勾股定理在Rt△ABA′中求得AA′的值即可．
【解答】解：连接AA′．
∵△A′B′C是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，
∴BC＝B′C，AC＝A′C；
又∵△ABC是含有一个30°角的直角三角形，
∴从图中知，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC，AB＝；
而BC＝15cm；
∴在Rt△ABA′中，
AB＝15cm，
∴AA′＝＝30．
故选：C．
【点评】本题综合考查了勾股定理、含30°角的直角三角形以及旋转的性质．在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键．
6．（3分）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0；  ②b＜0，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①④
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【解答】解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，①正确；
一次函数y2＝x+b经过一、二，所以b＞0；
由图象可得：当x＞3时，y1＜0，③错误；
当x＜﹣6时，y1＞y2，④正确；
故选：D．
【点评】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（3分）已知点P（﹣2，3）关于原点的对称点为Q（a，b），则a﹣b＝ 5 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点的对称点为Q（a，
则a＝3，b＝﹣3，
a﹣b＝5，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8．（3分）m的6倍与4的差大于12，列不等式为 6m﹣4＞12 ．
【分析】根据“m的6倍与4的差大于12”，即可列出关于m的一元一次不等式，此题得解．
【解答】解：根据题意得：6m﹣4＞12．
故答案为：8m﹣4＞12．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9．（3分）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2） ②③④ （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）．
①只要向右平移1个单位；
②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；
③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；
④绕着OB的中点旋转180°即可．
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可．
【解答】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，
或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，
或绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2）．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换是解题的关键．
10．（3分）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝8，BD＝12．则∠ACD＝ 45 度．
【分析】根据勾股定理得出BC，再利用勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝8，
∴BC＝，
∵CD＝4，BD＝12，
∴CD5+BC2＝16+128＝144＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠DCB＝90°，
∵AC＝AB，∠A＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝45°，
故答案为：45
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出BC的长．
11．（3分）定义：对于任意实数a，符号【a】表示不大于a的最大整数，例如【5.8】＝5，【﹣1.4】＝﹣2．根据此定义，如果【a】＝4 4≤a＜5 ．
【分析】根据新定义的信息进行解答即可．
【解答】解：∵【a】＝4，
∴4≤a＜6，
故答案为：4≤a＜5．
【点评】本题主要考查新定义的运算，正确理解题中给出的信息是解题关键．
12．（3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），则等腰三角形AEP的底边长是 5或4或5 ．
【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE＝AE＝5即可；
②当1PE＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出等边AP1即可；
③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
①当AP＝AE＝5时，
∵∠BAD＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE＝AE＝6；
②当P1E＝AE＝6时，
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝4，∠B＝90°，
∴P1B＝＝5，
∴底边AP1＝＝8；
③当P2A＝P8E时，底边AE＝5；
综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5或4；
故答案为：5或4．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题（第13-17题每题6分，第18-20题每题8分，第21、22题每题9分，第23题12分，共84分）
13．（6分）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先去分母，然后通过移项、合并同类项，化未知数系数为1进行计算．
【解答】解：去分母，得x+5﹣2＜8x+2，
移项，得x﹣3x＜3+2﹣5，
合并同类项，得﹣2x＜﹣1，
化系数为1，得x＞．
表示在数轴上为：
【点评】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
14．（6分）求不等式组的非负整数解．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞﹣8，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集是﹣6＜x＜5，
∴不等式组的非负整数解是0，1，7，3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
15．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据AB＝2，BC＝，AC＝5，利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求．
（2）如图2中，△AB'C'即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
16．（6分）如图，在四边形BCDE中，∠C＝∠BED＝90°，延长CD、BE，两线相交于点A，DE＝1，求Rt△ABC的面积．
【分析】根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AD＝2DE＝2，
∴AC＝AD+CD＝6，
设BC＝x，则AB＝2x，
由勾股定理得，（2x）3﹣x2＝16，
解得，x＝，
则Rt△ABC的面积＝×BC×AC＝．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
17．（6分）如图，△ABD中∠BAD＝90°，将△ABD逆时针旋转后得到△ACE，∠E＝20°，求∠BAC的度数．
【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AC，∠D＝∠E＝20°，再利用互余计算出∠B＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC的度数．
【解答】解：∵△ABD逆时针旋转后得到△ACE，C点落在BD边上，
∴AB＝AC，∠D＝∠E＝20°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠D＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
即∠BAC的度数为40°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
18．（8分）一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：对一题给5分，不答题不给分也不扣分，小明有一道题未答，总分才不会低于70分？
【分析】设小明答对x道题，则小明答错（20﹣1﹣x）道题，根据总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其内最小的整数即可．
【解答】解：设小明答对x道题，则小明答错（20﹣1﹣x）道题，
根据题意得：5x﹣3（20﹣1﹣x）≥70，
解得：x≥15．
∵x为整数，
∴x≥16．
答：小明至少要答对16道题，总分才不会低于70分．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，列出关于x的一元一次不等式是解题的关键．
19．（8分）不等式组的解集是x＞1，求m的取值范围．
【分析】首先解每个不等式，然后根据不等式组的解集是x＞1，即可得到一个 关于m的不等式，从而求解．
【解答】解：，
解①得x＞1，
解②得x＞m+4，
∵不等式组的解集是x＞1，
∴m+1≤2，
解得m≤0．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．（8分）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）求∠PBQ的度数．
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，易得∠C＝∠BAE＝60°，则可利用SAS证得：△ADC≌△BEA；
（2）由全等三角形的对应角相等，即可得∠CAD＝∠ABE，继而可得∠BPD＝∠BAC＝60°，又由BQ⊥AD，即可求得∠PBQ的度数．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠BAE＝60°，
在△ADC和△BEA中，
，
∴△ADC≌△BEA（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△BEA，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠BPD＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPQ＝90°﹣60°＝30°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
21．（9分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
【分析】（1）由勾股定理求解即可；
（2）①由题意得：BP＝tcm，分两种情况：①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，则BP＝BC＝4cm，得t＝4；
②当∠BAP＝90°时，CP＝（t﹣4）cm，在Rt△ACP和Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2＝BP2﹣AB2，即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示：
则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP5＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP8＝BP2﹣AB2，
∴AC6+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣5）2＝t2﹣72，
解得：t＝；
综上所述，当△ABP为直角三角形时s．
【点评】本题考查了勾股定理以及分类讨论；熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
22．（9分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【分析】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可；
（2）根据题意列不等式组解答即可；
（3）求出W与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元
，解得，
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）根据题意得：
955≤15x+5（120﹣x）≤1000，
解得35.3≤x≤40，
∵x是整数，
∴x＝36，37，39．
∴有5种购买方案；
（3）W＝15x+5（120﹣x）＝10x+600，
∵10＞5，
∴W随x的增大而增大，
当x＝36时，W最小＝10×36+600＝960（元），
∴120﹣36＝84．
答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的一次函数关系式．
23．（12分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【分析】（1）根据旋转的性质可得出OC＝OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）解：当α＝150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，
∴∠AOD＝360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣150°﹣110°﹣60°＝40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．
∵∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）＝50°，
∴α﹣60°＝50°，
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．
∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，
∠OAD＝＝120°﹣，
∴190°﹣α＝120°﹣，
解得α＝140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．