2022-2023学年山东省东营市广饶县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省东营市广饶县八年级下学期期中数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列根式中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 一元二次方程根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 根的情况无法确定
3. 矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相垂直平分
4. 下列二次根式中能与合并的是( )
A. B. C. D.
5. 用配方法解方程，可变形为( )
A. B. C. D.
6. 顺次连接矩形各边中点，所得四边形必定是( )
A. 邻边不等的平行四边形B. 矩形
C. 正方形D. 菱形
7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高( )
A.
B.
C.
D.
8. 若，则等于( )
A. B. C. D.
9. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是( )
A. B. C. D.
10. 如图，矩形中，对角线，相交于点，，，，交于点，交于点，延长交于点，则下列结论：；四边形是菱形；≌；其中结论正确的序号是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）
11. 若使二次根式有意义，则的取值范围是______．
12. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则______．
13. 如图，在长方形内，两个小正方形的面积分别为，，则图中阴影部分的面积等于______．
14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
15. 如图，在中，，点、、分別为，，的中点，若，則的长为______．
16. 若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为______．
17. 如图，在边长为的正方形中，点为对角线上一动点，于，于，则的最小值为______ ．
18. 将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
解方程：
；
．
21. 本小题分
关于的一元二次方程．
若是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
22. 本小题分
由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包元涨到了每包元．
求出这两次价格上调的平均增长率；
在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包元，而且调查发现，定价为每包元时，一天可以卖出包，每降价元，可以多卖出包．当销售额为元时，为让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
23. 本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
24. 本小题分
观察、发现：；
试化简：；
直接写出：______；
求值：．
25. 本小题分
如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点，分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为
填空：______，______用含的代数式表示
当为何值时，的长为？
是否存在的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
26. 本小题分
已知，正方形的边长为，点在射线上运动，连接，在射线下方作以为边的矩形，且．
如图，当点与点重合时，求的长；
如图，当点在线段上，且时，求点到直线的距离；
如图，当点落在边所在的直线上时，请判定四边形的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，
正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，
所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．
故选：．
先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．
本题主要考查了矩形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟知三者对角线的性质．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可．
【解答】
解：、，不能与合并，错误；
B、能与合并，正确；
C、不能与合并，错误；
D、不能与合并，错误；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
，
，
，所以选项和选项不符合题意，选项符合题意；
可化为，所以选项不符合题意．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为，然后方程两边加上，最后把方程左边写成完全平方的形式即可，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，三角形的中位线等于第三边的一半，
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故选：．
作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：在菱形中，，
，，
，，
在中，，
，
菱形的面积，
即，
解得，
故选：．
根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，再根据勾股定理列式求出，然后利用菱形的面积列式计算即可得解．
本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，．
，．
．
．
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
本题主要考查二次根式有意义的条件，有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：的整数部分为，小数部分为，
，，
．
故选：．
因为的整数部分为，小数部分为，所以，，代入计算即可．
关键是会表示的整数部分和小数部分，再进行二次根式的加减运算，即将被开方数相同的二次根式进行合并．
10.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
是的垂直平分线，
，故正确；
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是菱形，故正确；
≌≌，
正确；
，，，
，故正确；
故选：．
根据矩形的性质和等边三角形的判定得出是等边三角形，进而判断正确；
根据证明与全等，进而判断正确；
根据全等三角形的性质判断正确即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
11.【答案】
【解析】解：二次根式有意义，
，
解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
12.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：．
利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】
【解析】解：两个小正方形的面积分别为，，
小正方形的边长为，大正方形边长为，
阴影部分的长为，宽为，
阴影部分的面积，
故答案为：．
由两个小正方形的面积分别为，，得出其边长，进而即可求出阴影部分的面积．
本题主要考查二次根式的运算及其应用，熟练掌握二次根式的四则运算是解题的关键．
14.【答案】且
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零以及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，根据二次项系数非零以及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：是直角三角形，是斜边的中线，
，
又是的中位线，
，
．
故答案为：
已知是斜边的中线，那么；是的中位线，则应等于的一半．
此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三角形的中位线等于对应边的一半．
16.【答案】
【解析】解：如图所示：
四边形是菱形，
，
，
因式分解得：，
解得：或，
分两种情况：
当时，，不能构成三角形；
当时，，
菱形的周长．
故答案为：．
解方程得出，或，分两种情况：当时，，不能构成三角形；当时，，即可得出菱形的周长．
本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键．
17.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是正方形，
，，
于，于，
，
四边形是矩形，
，
当时，最小，即最小，
是等腰直角三角形，
是边上的中线，
在中，由勾股定理得，
，
即的最小值是，
故答案为：．
连接，先证出四边形是矩形，于是得出，再根据垂线段最短可知当时，最小，即最小，利用勾股定理求出的长，即可得出
的最小值．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点、，连接，，
在正方形中，，，，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
同理可得每个阴影部分的面积都是，
个正方形照这样重叠，每两个正方形的重叠面积都是，共个，
个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为，
故答案为：．
如图，正方形的中心为，、分别与所在的正方形交于点、，连接，，证明≌，可得，求出每个阴影部分的面积都是，根据个正方形照这样重叠有个阴影部分求解即可．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是求出每个阴影部分的面积都是．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先算乘除法，再合并同类二次根式；
利用平方差公式和完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键．
20.【答案】解：，
，
，，
解得：，；
，
，
，
，，
解得：，．
【解析】利用因式分解法求解即可；
移项后．利用因式分解法求解即可．
本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程的基本步骤是解本题的关键．
21.【答案】解：把代入原方程得 解得：，
当时，原方程为
解得：或
方程的另一个根是；
证明：．
，
，即，
不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【解析】代入求出值即可；
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：代入求出值；牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．
22.【答案】解：设这两次价格上调的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这两次价格上调的平均增长率为；
设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要让顾客获得更大的优惠，
的值为．
答：每包应该降价元．
【解析】设这两次价格上调的平均增长率为，利用经过两次上调后的价格原价这两次价格上调的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解答本题的关键．
24.【答案】解：原式；
；
原式
．
【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案；
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
25.【答案】
【解析】解：由题意，得
，．
故答案为：，．
在中，由勾股定理，得
，
解得：
，．
或时，；
由题意，得，
解得：，不符合题意，舍去，
当时，的面积等于．
根据路程速度时间就可以表示出，再用就可以求出的值．
在中由结论根据勾股定理就可以求出其值．
利用的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值．
本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
26.【答案】解：在正方形中，，，
在中，，
点与点重合，
；
如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，即，
≌，
，
即点到直线的距离为；
结论：四边形是正方形，理由如下：
，
，
，
，
，，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形．
【解析】由题意可得为正方形的对角线，利用勾股定理即可得到答案；
作辅助线构造全等三角形，利用对应边相等进行代换即可求出点到的距离；
由题意易得，然后根据正方形的性质可知≌，进而问题可求解．
本题主要考查正方形的性质与判定、矩形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质与判定、矩形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键．