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人教版 (2019)选择性必修 第一册1 简谐运动导学案
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这是一份人教版 (2019)选择性必修 第一册1 简谐运动导学案，文件包含人教版2019选择性必修第一册新教材同步第二章1简谐运动--教师版docx、人教版2019选择性必修第一册新教材同步第二章1简谐运动--学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页， 欢迎下载使用。
1 简谐运动
[学科素养与目标要求]
物理观念：
1.知道什么是弹簧振子，知道振子的平衡位置和位移的概念.
2.知道简谐运动的位移—时间图象的物理意义，知道其图象是一条正弦曲线.
科学思维：
1.会根据简谐运动的位移—时间图象分析振子的位移和速度的变化情况.
科学探究：
1.通过对比振子和匀速直线运动物体的位移—时间图象，弄清图象的物理意义及应用.
一、弹簧振子
1.平衡位置：振子原来静止时的位置.
2.机械振动：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动.
3.把一个有小孔的小球连接在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球套在光滑的杆上,能够自由滑动。弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小,也可以忽略。小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。
二、弹簧振子的位移—时间图象(x－t图象)
1.用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图象就是位移随时间变化的图象，即x－t图象，如图1所示.
图1
2.振子的位移：振子相对平衡位置的位移.
三、简谐运动及其图象
1.定义
简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.
2.特点
简谐运动是最基本的振动。弹簧振子的运动就是简谐运动。
1.判断下列说法的正误.
(1)竖直放于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动是机械振动.( √ )
(2)物体的往复运动都是机械振动.( × )
(3)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段.( √ )
(4)简谐运动的图象表示质点振动的轨迹是正弦曲线.( × )
2.如图2所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是________(选填“OC”“AC”或“CO”)，从A点运动到C点的过程中，位移变________(选填“小”或“大”)，速度变________(选填“小”或“大”).
图2
答案 OC 小 大
一、弹簧振子
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动.
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
答案 (1)小球的运动具有往复性.小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动. (2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长. (3)小球将持续地做往复运动.
1.对弹簧振子的三点理解
(1)弹簧振子是一个理想化模型,跟前面学习的质点、点电荷等一样,是为研究问题而抓住主要因素、忽略次要因素的一种科学的处理方法。
(2)平衡位置
平衡位置：振子原来静止时的位置，物体受到的合力为零。平衡位置不一定是中心位置(如图3所示物体的振动)，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图4所示物体的振动).但,弹簧不一定处于原长。
图3 图4
(3)实际物体看作弹簧振子的四个条件
①弹簧的质量比物体的质量小得多,可以认为整体质量集中于物体上;
②构成弹簧振子的物体体积足够小,可以认为物体是一个质点;
③忽略弹簧以及物体与水平杆之间的摩擦力;
④物体从平衡位置被拉开的位移在弹簧弹性限度内。
2.弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小.
(2)速度及其变化
振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零.振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大.
(3)加速度及其变化
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力.不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大.
例1 (多选)弹簧上端固定在O点,下端连接一小球,组成一个振动系统,如图所示。用手向下拉一小段距离后释放小球,小球便上下振动起来,关于小球的平衡位置,下列说法正确的是( )
A.在小球运动的最低点
B.在弹簧处于原长时的位置
C.在小球速度最大时的位置
D.在小球原来静止时的位置
答案 CD
解析 平衡位置是振动系统不振动时,小球处于平衡状态时所处的位置,可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等,即mg=kx,当小球处于平衡位置时,其加速度为零,速度最大,选项C、D正确,A、B错误。
例2 如图所示为一鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按,使水位到达M点。松手后,鱼漂会上下运动,水位在M、N之间来回移动。鱼漂的运动可看成是简谐运动。下列说法正确的是( )
A.水位到达N点时,鱼漂的速度最大
B.水位在O点时,鱼漂的速度最大
C.水位到达M点时,鱼漂具有向下的加速度
D.鱼漂由上往下运动时,速度越来越大
答案 B
解析 O点是平衡位置,所以水位在O点时鱼漂的速度最大,A错误,B正确;水位到达M点时,鱼漂具有向上的加速度,C错误;鱼漂由上往下运动时,可能加速也可能减速,D错误。
二、简谐运动及其图象
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图象：
如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸.
(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？
(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么？用什么方法判断上述图象是否为正弦曲线？
答案 (1)是一条垂直于OO′的直线.
(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线.
(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿O′O方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置.一种方法是将图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验，另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线，看看这条曲线是否可以用正弦函数表示.
1.简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.
2.对简谐运动的理解
(1)简谐运动的位移
①振动位移可用从平衡位置指向物体所在位置的有向线段表示,方向为从平衡位置指向物体所在位置,大小为平衡位置到该位置的距离。
②位移的表示方法:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻物体所在位置的坐标来表示。
(2)简谐运动的速度
①物理含义:速度是描述物体在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴上,速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点:物体在平衡位置速度最大,在两最大位移处速度为零。
(3)简谐运动的加速度
①产生:水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的。
②方向特点:与弹簧弹力方向相同,总是指向平衡位置,始终和位移方向相反。
③大小变化规律:远离平衡位置运动,物体的加速度增大;向平衡位置运动,物体的加速度减小。平衡位置,物体的加速度为零;最大位移处,物体的加速度最大。
特别提示 简谐运动中的位移、速度和加速度是彼此独立的物理量,在同一位置,物体的位移和加速度的方向是一定的,而速度的方向却有两种可能。
3.对x－t图象的理解
x－t图象上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律.
注意 x－t图象不是振子的运动轨迹.
4.x－t图象的应用
(1)可直接读出不同时刻t的位移x值.位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图7甲所示.
(2)判断任意时刻质点的振动方向.看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻比t0时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动.
甲 乙
图7
(3)速度的大小和方向可根据图象上某点的切线的斜率判断.图象上某点切线的斜率大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向.在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大.
例3 (多选)(2023辽宁渤海大学附中期中改编)如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点间运动,图乙为这个弹簧振子的振动图像,由图可知下列说法正确的是( )
A.t=0.2 s时,小球的加速度为0
B.t=0.1 s与t=0.3 s两个时刻,小球的速度相同
C.0~0.2 s内,小球做加速度增大的减速运动
D.0~0.6 s内,小球通过的路程为15 cm;0.6 s末,小球的位移为-5.0 cm
答案 CD
解析 t=0.2 s时,小球的位移为正向最大,加速度为负向最大,A错误。t=0.1 s与t=0.3 s两个时刻,小球的位移相同,说明小球在同一位置,速度大小相等;t=0.1 s与t=0.3 s后,位移分别增大或减小,远离或靠近平衡位置,说明速度的方向相反,B错误。0~0.2 s内,小球的位移正向增大,远离平衡位置,则加速度反向增大,速度减小,所以小球做加速度增大的减速运动,C正确。0.6 s末,小球的位移为负向最大,即-5.0 cm;0~0.6 s内,小球从O→B→O→A或从O→A→O→B ,则路程为5 cm×3=15 cm,D正确。
分析简谐运动图像问题的三点提醒
(1)简谐运动的位移—时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律,简谐运动的图像并不是质点的运动轨迹,运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度。
(2)在x-t图像上,质点在某时刻的位移,即为此时刻对应的纵坐标。
(3)质点在某段时间内的路程,需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算。
例4 如图所示为一质点的简谐运动图像。由图可知,下列说法正确的是( )
A.质点的运动轨迹为正弦曲线
B.t=0时,质点正通过平衡位置向正方向运动
C.t=0.25 s时,质点的速度方向与位移的正方向相反
D.质点运动过程中,两端点间的距离为0.1 m
答案 D
解析 质点做简谐运动时,运动轨迹是一条直线,离开平衡位置的位移与时间的图像是正弦曲线(余弦曲线),A错误;由题图可知,t=0时,质点正通过正向最大位移处,此后向负方向运动,B错误;由题图可知,t=0.25 s时,质点的速度方向与位移的正方向相同,C错误;质点运动过程中,两端点间的距离d=0.05 m+0.05 m=0.1 m,D正确。
1、(对机械振动的理解)(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是( )
A.做机械振动的物体必有一个平衡位置
B.机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C.机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
答案 AB
解析 物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，故A正确；机械振动的位移是以平衡位置为起点指向振动物体所在位置的有向线段，位移随时间而变，振动物体偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，故B正确，C、D错误.
2、(对弹簧振子的理解)如图10所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么下列说法正确的是( )
图10
A.振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B.振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C.振子在M、N两点加速度大小相等
D.从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
答案 C
解析 因位移、速度、加速度和弹簧弹力都是矢量，它们要相同必须满足大小相等、方向相同.M、N两点关于O点对称，弹簧弹力、位移和加速度应大小相等、方向相反，故A、B选项错误，C选项正确.振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动，振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误.
3、(简谐运动图像的识别)(多选)下列图像能够表示简谐运动图像的是( )
答案 BCD
4、(简谐运动的图像信息)一简谐运动的图像如图所示,在0.1~0.15 s这段时间内( )
A.加速度增大,速度减小,加速度和速度方向相同
B.加速度增大,速度减小,加速度和速度方向相反
C.加速度减小,速度增大,加速度和速度方向相同
D.加速度减小,速度增大,加速度和速度方向相反
答案 B
解析 由题图可知,在0.1~0.15 s这段时间内,物体远离平衡位置运动,则加速度增大,速度减小,加速度与速度方向相反,故选项B正确。
5、(简谐运动的图像信息)如图甲所示,一水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动,O点为平衡位置,取水平向右为正方向,其振动图像如图乙所示。由振动图像可知( )
A.t1时刻物体位于O点
B.t3时刻物体的速度为零
C.t2时刻物体的运动方向与t4时刻物体的运动方向相反
D.从t1时刻到t3时刻,物体运动的加速度逐渐减小
答案 D
解析 由题图乙知在t1时刻物体位于正向位移最大处,即B点,故A错误。t3时刻物体位于平衡位置,所以此时速度最大,故B错误。由题意可知,t2时刻物体处于从B向O的运动过程中,t4时刻物体处于从O向A的运动过程中,所以两时刻运动方向相同,故C错误。从t1时刻到t3时刻,物体从最大位移B处向平衡位置O处运动,所以加速度越来越小,速度越来越大,故D正确。
一、选择题
考点一 机械振动的理解和判断
1.(多选)下列运动属于机械振动的是( )
A.说话时声带的运动
B.弹簧振子在竖直方向的上下运动
C.体育课上某同学进行25米折返跑
D.竖直向上抛出的物体的运动
答案 AB
解析 机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动.
考点二 弹簧振子
2.(多选)如图1所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统.用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )
图1
A.钢球的最低处为平衡位置
B.钢球原来静止时的位置为平衡位置
C.钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D.钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
答案 BC
解析 振子的平衡位置为振子原来静止时的位置，故A错，B对；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，竖直向下为正方向，可知C对，D错.
3.(多选)如图2所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，在振子从最大位移处a向平衡位置O运动过程中( )
图2
A.位移方向向左，速度方向向左B.位移方向向左，速度方向向右
C.位移不断增大，速度不断减小D.位移不断减小，速度不断增大
答案 BD
解析 在振子从最大位移处a向平衡位置O运动的过程中，振子受到的合外力向右且不断减小，速度方向向右且不断增大；位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，位移不断减小，故B、D正确.
4.对水平弹簧振子，下列说法正确的是( )
A.每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
B.通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C.每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
D.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
答案 A
解析 振子每次通过同一位置时，其速度方向不一定相同，但由于受力相同，加速度一定相同，A正确；振子通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，B错误；振子每次通过平衡位置时，加速度为零，速度方向不一定相同，C错误；若位移为负值，则加速度一定为正值，振子远离平衡位置运动时速度方向为负值，D错误.
考点三 简谐运动及其图象
5.(2018·屯溪一中高二下学期期中)如图4所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动.O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过eq \f(1,4)周期，振子具有正方向的最大速度，那么下列四幅图象中能够正确反映振子的振动情况的图线是( )
图4
答案 D
解析 经过eq \f(1,4)周期振子具有最大的正向速度，说明t＝0时振子在负向最大位移处，故选D.
6.(多选)如图5所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
图5
A.由P→Q，位移在增大B.由P→Q，速度在增大
C.由M→N，位移先减小后增大D.由M→N，位移始终减小
答案 AC
解析 由P→Q，物体远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，B错误；由M→N，物体先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项C正确，D错误.
7.如图6甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线.若振动曲线如图乙所示，由图象判断下列说法正确的是( )
图6
A.振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm
B.1 s末到5 s末振子的路程为10 cm
C.2 s末和4 s末振子的位移相等，运动方向也相同
D.振子在2 s内完成一次往复性运动
答案 A
解析 由题图可知振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm，4 s内完成一次往复性运动，故A正确，D错误；1 s末到5 s末振子的路程是振子运动路径的总长，为40 cm，故B错误；2 s末和4 s末振子位移均为零，位移相同，2 s末振子向负方向运动，4 s末振子向正方向运动，运动方向相反，故C错误.
8.(多选)如图7所示为某简谐运动的图象，若t＝0时，质点正经过O点向b点运动，则下列说法正确的是( )
图7
A.质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动
B.质点在1.5 s时的位移最大
C.1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大
D.1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大
答案 BC
解析 由于位移是由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向为正，正在向平衡位置运动，所以A错误；质点在1.5 s时的位移最大，故B正确；质点在1.2 s到1.4 s时间内，正在远离平衡位置运动，所以其位移在增大，故C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正向着平衡位置运动，所以其位移在减小，故D错误.
9.(2017·北京卷)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图8所示，下列描述正确的是( )
图8
A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
答案 A
解析 t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；t＝2 s时，振子位于平衡位置并向x轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；t＝4 s时，振子位于平衡位置并向x轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误.
10.某弹簧振子的振动图象如图9所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，则( )
图9
A.在0.1～0.2 s振子正在做加速度减小的加速运动
B.在0.1～0.2 s振子正在做加速度增大的减速运动
C.在0.1～0.2 s振子速度方向沿x轴正方向
D.在0.15 s时振子的位移一定等于2 cm
答案 B
解析 在0.1～0.2 s，振子由平衡位置向负的最大位移处运动，加速度在增大，速度在减小，振子的速度方向沿x轴负方向，故A、C错误，B正确；在0.1～0.2 s内振子做加速度增大的减速运动，故在0.15 s时振子的位移不等于2 cm，D错误.
二、非选择题
11.(简谐运动的图像信息)一个弹簧振子经过平衡位置O,在A、B间做简谐运动,如图甲所示;它的运动图像如图乙所示。设向右为正方向,则:
(1)O、B两点间的距离是 cm;
(2)0.2 s末物体的速度方向是 ;
(3)0.4 s末物体的加速度方向是 ;
(4)0.7 s时,物体位置在 点与 点之间;
(5)物体从O经B第一次运动到A所需时间t= s。
答案 (1)5 (2)O →A (3)A→O (4)O B (5)0.6
解析 (1)从题图上看出,O、B两点间的距离是5 cm。
(2)根据正方向的规定及振动图像知,物体从位置B开始计时,0.2 s末,物体回到平衡位置O,向负方向运动,所以此时速度方向从O指向A。
(3)0.4 s末物体到达A点,位移为负,弹力应为正,此时加速度方向由A指向O。
(4)0.7 s时,位移为正,物体在O点与B点之间。
(5)从图像上读出物体从O经B第一次运动到A需时间t=0.2×3 s=0.6 s。
12.如图10所示的三个图线分别是不同的传感器测出的不同物体的振动图线.从三个图线可知，这三个物体振动的共同特点是具有________性，三个物体中，最简单的振动是________的振动.图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8 cm/s，则此人的心率是________次/分.
图10
答案 周期 弹簧振子 67.5
解析 三个物体振动的共同特点是具有周期性，三个物体中，最简单的振动是弹簧振子的振动；由心脏跳动图线可知，心脏跳动一次方格纸走过了3.2个格，即3.2×0.5 cm＝1.6 cm，故心脏跳动一次所需要的时间为eq \f(1.6,1.8) s，故1分钟心脏跳动的次数为n＝eq \f(60×1.8,1.6) 次＝67.5次.
13.如图11所示，某质点做简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
图11
(1)与a位移相同的点有哪些？
(2)与a速度相同的点有哪些？
(3)质点离平衡位置的最大距离为多大？
答案 (1)b、e、f (2)d、e (3)2 cm
解析 (1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)质点离平衡位置的最大距离即质点最大位移的大小.由题图知最大距离为2 cm.
14.如图12所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
图12
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在2 s末的位移是多少？
答案 (1)10 cm (2)1.5 s时质点向平衡位置运动，2.5 s时质点背离平衡位置运动 (3)0
解析 (1)由题图知：质点离平衡位置的最大距离为10 cm；
(2)在1.5 s以后的一小段时间内质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后的一小段时间内质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；
(3)质点2 s末在平衡位置，因此位移为零.
1 简谐运动
[学科素养与目标要求]
物理观念：
1.知道什么是弹簧振子，知道振子的平衡位置和位移的概念.
2.知道简谐运动的位移—时间图象的物理意义，知道其图象是一条正弦曲线.
科学思维：
1.会根据简谐运动的位移—时间图象分析振子的位移和速度的变化情况.
科学探究：
1.通过对比振子和匀速直线运动物体的位移—时间图象，弄清图象的物理意义及应用.
一、弹簧振子
1.平衡位置：振子原来静止时的位置.
2.机械振动：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动.
3.把一个有小孔的小球连接在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球套在光滑的杆上,能够自由滑动。弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小,也可以忽略。小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子。
二、弹簧振子的位移—时间图象(x－t图象)
1.用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图象就是位移随时间变化的图象，即x－t图象，如图1所示.
图1
2.振子的位移：振子相对平衡位置的位移.
三、简谐运动及其图象
1.定义
简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.
2.特点
简谐运动是最基本的振动。弹簧振子的运动就是简谐运动。
1.判断下列说法的正误.
(1)竖直放于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动是机械振动.( √ )
(2)物体的往复运动都是机械振动.( × )
(3)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段.( √ )
(4)简谐运动的图象表示质点振动的轨迹是正弦曲线.( × )
2.如图2所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是________(选填“OC”“AC”或“CO”)，从A点运动到C点的过程中，位移变________(选填“小”或“大”)，速度变________(选填“小”或“大”).
图2
答案 OC 小 大
一、弹簧振子
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动.
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
答案 (1)小球的运动具有往复性.小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动. (2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长. (3)小球将持续地做往复运动.
1.对弹簧振子的三点理解
(1)弹簧振子是一个理想化模型,跟前面学习的质点、点电荷等一样,是为研究问题而抓住主要因素、忽略次要因素的一种科学的处理方法。
(2)平衡位置
平衡位置：振子原来静止时的位置，物体受到的合力为零。平衡位置不一定是中心位置(如图3所示物体的振动)，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图4所示物体的振动).但,弹簧不一定处于原长。
图3 图4
(3)实际物体看作弹簧振子的四个条件
①弹簧的质量比物体的质量小得多,可以认为整体质量集中于物体上;
②构成弹簧振子的物体体积足够小,可以认为物体是一个质点;
③忽略弹簧以及物体与水平杆之间的摩擦力;
④物体从平衡位置被拉开的位移在弹簧弹性限度内。
2.弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小.
(2)速度及其变化
振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零.振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大.
(3)加速度及其变化
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力.不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大.
例1 (多选)弹簧上端固定在O点,下端连接一小球,组成一个振动系统,如图所示。用手向下拉一小段距离后释放小球,小球便上下振动起来,关于小球的平衡位置,下列说法正确的是( )
A.在小球运动的最低点
B.在弹簧处于原长时的位置
C.在小球速度最大时的位置
D.在小球原来静止时的位置
答案 CD
解析 平衡位置是振动系统不振动时,小球处于平衡状态时所处的位置,可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等,即mg=kx,当小球处于平衡位置时,其加速度为零,速度最大,选项C、D正确,A、B错误。
例2 如图所示为一鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按,使水位到达M点。松手后,鱼漂会上下运动,水位在M、N之间来回移动。鱼漂的运动可看成是简谐运动。下列说法正确的是( )
A.水位到达N点时,鱼漂的速度最大
B.水位在O点时,鱼漂的速度最大
C.水位到达M点时,鱼漂具有向下的加速度
D.鱼漂由上往下运动时,速度越来越大
答案 B
解析 O点是平衡位置,所以水位在O点时鱼漂的速度最大,A错误,B正确;水位到达M点时,鱼漂具有向上的加速度,C错误;鱼漂由上往下运动时,可能加速也可能减速,D错误。
二、简谐运动及其图象
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图象：
如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸.
(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？
(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么？用什么方法判断上述图象是否为正弦曲线？
答案 (1)是一条垂直于OO′的直线.
(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线.
(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿O′O方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置.一种方法是将图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验，另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线，看看这条曲线是否可以用正弦函数表示.
1.简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线.
2.对简谐运动的理解
(1)简谐运动的位移
①振动位移可用从平衡位置指向物体所在位置的有向线段表示,方向为从平衡位置指向物体所在位置,大小为平衡位置到该位置的距离。
②位移的表示方法:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻物体所在位置的坐标来表示。
(2)简谐运动的速度
①物理含义:速度是描述物体在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴上,速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点:物体在平衡位置速度最大,在两最大位移处速度为零。
(3)简谐运动的加速度
①产生:水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的。
②方向特点:与弹簧弹力方向相同,总是指向平衡位置,始终和位移方向相反。
③大小变化规律:远离平衡位置运动,物体的加速度增大;向平衡位置运动,物体的加速度减小。平衡位置,物体的加速度为零;最大位移处,物体的加速度最大。
特别提示 简谐运动中的位移、速度和加速度是彼此独立的物理量,在同一位置,物体的位移和加速度的方向是一定的,而速度的方向却有两种可能。
3.对x－t图象的理解
x－t图象上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标.它反映了振子位移随时间变化的规律.
注意 x－t图象不是振子的运动轨迹.
4.x－t图象的应用
(1)可直接读出不同时刻t的位移x值.位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图7甲所示.
(2)判断任意时刻质点的振动方向.看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻比t0时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动.
甲 乙
图7
(3)速度的大小和方向可根据图象上某点的切线的斜率判断.图象上某点切线的斜率大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向.在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大.
例3 (多选)(2023辽宁渤海大学附中期中改编)如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点间运动,图乙为这个弹簧振子的振动图像,由图可知下列说法正确的是( )
A.t=0.2 s时,小球的加速度为0
B.t=0.1 s与t=0.3 s两个时刻,小球的速度相同
C.0~0.2 s内,小球做加速度增大的减速运动
D.0~0.6 s内,小球通过的路程为15 cm;0.6 s末,小球的位移为-5.0 cm
答案 CD
解析 t=0.2 s时,小球的位移为正向最大,加速度为负向最大,A错误。t=0.1 s与t=0.3 s两个时刻,小球的位移相同,说明小球在同一位置,速度大小相等;t=0.1 s与t=0.3 s后,位移分别增大或减小,远离或靠近平衡位置,说明速度的方向相反,B错误。0~0.2 s内,小球的位移正向增大,远离平衡位置,则加速度反向增大,速度减小,所以小球做加速度增大的减速运动,C正确。0.6 s末,小球的位移为负向最大,即-5.0 cm;0~0.6 s内,小球从O→B→O→A或从O→A→O→B ,则路程为5 cm×3=15 cm,D正确。
分析简谐运动图像问题的三点提醒
(1)简谐运动的位移—时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律,简谐运动的图像并不是质点的运动轨迹,运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度。
(2)在x-t图像上,质点在某时刻的位移,即为此时刻对应的纵坐标。
(3)质点在某段时间内的路程,需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算。
例4 如图所示为一质点的简谐运动图像。由图可知,下列说法正确的是( )
A.质点的运动轨迹为正弦曲线
B.t=0时,质点正通过平衡位置向正方向运动
C.t=0.25 s时,质点的速度方向与位移的正方向相反
D.质点运动过程中,两端点间的距离为0.1 m
答案 D
解析 质点做简谐运动时,运动轨迹是一条直线,离开平衡位置的位移与时间的图像是正弦曲线(余弦曲线),A错误;由题图可知,t=0时,质点正通过正向最大位移处,此后向负方向运动,B错误;由题图可知,t=0.25 s时,质点的速度方向与位移的正方向相同,C错误;质点运动过程中,两端点间的距离d=0.05 m+0.05 m=0.1 m,D正确。
1、(对机械振动的理解)(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是( )
A.做机械振动的物体必有一个平衡位置
B.机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C.机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
答案 AB
解析 物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，故A正确；机械振动的位移是以平衡位置为起点指向振动物体所在位置的有向线段，位移随时间而变，振动物体偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，故B正确，C、D错误.
2、(对弹簧振子的理解)如图10所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么下列说法正确的是( )
图10
A.振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B.振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C.振子在M、N两点加速度大小相等
D.从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
答案 C
解析 因位移、速度、加速度和弹簧弹力都是矢量，它们要相同必须满足大小相等、方向相同.M、N两点关于O点对称，弹簧弹力、位移和加速度应大小相等、方向相反，故A、B选项错误，C选项正确.振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动，振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误.
3、(简谐运动图像的识别)(多选)下列图像能够表示简谐运动图像的是( )
答案 BCD
4、(简谐运动的图像信息)一简谐运动的图像如图所示,在0.1~0.15 s这段时间内( )
A.加速度增大,速度减小,加速度和速度方向相同
B.加速度增大,速度减小,加速度和速度方向相反
C.加速度减小,速度增大,加速度和速度方向相同
D.加速度减小,速度增大,加速度和速度方向相反
答案 B
解析 由题图可知,在0.1~0.15 s这段时间内,物体远离平衡位置运动,则加速度增大,速度减小,加速度与速度方向相反,故选项B正确。
5、(简谐运动的图像信息)如图甲所示,一水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动,O点为平衡位置,取水平向右为正方向,其振动图像如图乙所示。由振动图像可知( )
A.t1时刻物体位于O点
B.t3时刻物体的速度为零
C.t2时刻物体的运动方向与t4时刻物体的运动方向相反
D.从t1时刻到t3时刻,物体运动的加速度逐渐减小
答案 D
解析 由题图乙知在t1时刻物体位于正向位移最大处,即B点,故A错误。t3时刻物体位于平衡位置,所以此时速度最大,故B错误。由题意可知,t2时刻物体处于从B向O的运动过程中,t4时刻物体处于从O向A的运动过程中,所以两时刻运动方向相同,故C错误。从t1时刻到t3时刻,物体从最大位移B处向平衡位置O处运动,所以加速度越来越小,速度越来越大,故D正确。
一、选择题
考点一 机械振动的理解和判断
1.(多选)下列运动属于机械振动的是( )
A.说话时声带的运动
B.弹簧振子在竖直方向的上下运动
C.体育课上某同学进行25米折返跑
D.竖直向上抛出的物体的运动
答案 AB
解析 机械振动的特点是物体在平衡位置附近做往复运动.
考点二 弹簧振子
2.(多选)如图1所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统.用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是( )
图1
A.钢球的最低处为平衡位置
B.钢球原来静止时的位置为平衡位置
C.钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为3 cm
D.钢球振动到距原静止位置上方2 cm处时位移为2 cm
答案 BC
解析 振子的平衡位置为振子原来静止时的位置，故A错，B对；振动中的位移为从平衡位置指向某时刻振子所在位置的有向线段，竖直向下为正方向，可知C对，D错.
3.(多选)如图2所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，在振子从最大位移处a向平衡位置O运动过程中( )
图2
A.位移方向向左，速度方向向左B.位移方向向左，速度方向向右
C.位移不断增大，速度不断减小D.位移不断减小，速度不断增大
答案 BD
解析 在振子从最大位移处a向平衡位置O运动的过程中，振子受到的合外力向右且不断减小，速度方向向右且不断增大；位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，位移不断减小，故B、D正确.
4.对水平弹簧振子，下列说法正确的是( )
A.每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
B.通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C.每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
D.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
答案 A
解析 振子每次通过同一位置时，其速度方向不一定相同，但由于受力相同，加速度一定相同，A正确；振子通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，B错误；振子每次通过平衡位置时，加速度为零，速度方向不一定相同，C错误；若位移为负值，则加速度一定为正值，振子远离平衡位置运动时速度方向为负值，D错误.
考点三 简谐运动及其图象
5.(2018·屯溪一中高二下学期期中)如图4所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动.O点是平衡位置，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过eq \f(1,4)周期，振子具有正方向的最大速度，那么下列四幅图象中能够正确反映振子的振动情况的图线是( )
图4
答案 D
解析 经过eq \f(1,4)周期振子具有最大的正向速度，说明t＝0时振子在负向最大位移处，故选D.
6.(多选)如图5所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
图5
A.由P→Q，位移在增大B.由P→Q，速度在增大
C.由M→N，位移先减小后增大D.由M→N，位移始终减小
答案 AC
解析 由P→Q，物体远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，B错误；由M→N，物体先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项C正确，D错误.
7.如图6甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线.若振动曲线如图乙所示，由图象判断下列说法正确的是( )
图6
A.振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm
B.1 s末到5 s末振子的路程为10 cm
C.2 s末和4 s末振子的位移相等，运动方向也相同
D.振子在2 s内完成一次往复性运动
答案 A
解析 由题图可知振子偏离平衡位置的最大距离为10 cm，4 s内完成一次往复性运动，故A正确，D错误；1 s末到5 s末振子的路程是振子运动路径的总长，为40 cm，故B错误；2 s末和4 s末振子位移均为零，位移相同，2 s末振子向负方向运动，4 s末振子向正方向运动，运动方向相反，故C错误.
8.(多选)如图7所示为某简谐运动的图象，若t＝0时，质点正经过O点向b点运动，则下列说法正确的是( )
图7
A.质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动
B.质点在1.5 s时的位移最大
C.1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大
D.1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大
答案 BC
解析 由于位移是由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向为正，正在向平衡位置运动，所以A错误；质点在1.5 s时的位移最大，故B正确；质点在1.2 s到1.4 s时间内，正在远离平衡位置运动，所以其位移在增大，故C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正向着平衡位置运动，所以其位移在减小，故D错误.
9.(2017·北京卷)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图象如图8所示，下列描述正确的是( )
图8
A.t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
B.t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C.t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D.t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
答案 A
解析 t＝1 s时，振子位于正向位移最大处，速度为零，加速度为负向最大，故A正确；t＝2 s时，振子位于平衡位置并向x轴负方向运动，速度为负向最大，加速度为零，故B错误；t＝3 s时，振子位于负向位移最大处，速度为零，加速度为正向最大，故C错误；t＝4 s时，振子位于平衡位置并向x轴正方向运动，速度为正向最大，加速度为零，故D错误.
10.某弹簧振子的振动图象如图9所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，则( )
图9
A.在0.1～0.2 s振子正在做加速度减小的加速运动
B.在0.1～0.2 s振子正在做加速度增大的减速运动
C.在0.1～0.2 s振子速度方向沿x轴正方向
D.在0.15 s时振子的位移一定等于2 cm
答案 B
解析 在0.1～0.2 s，振子由平衡位置向负的最大位移处运动，加速度在增大，速度在减小，振子的速度方向沿x轴负方向，故A、C错误，B正确；在0.1～0.2 s内振子做加速度增大的减速运动，故在0.15 s时振子的位移不等于2 cm，D错误.
二、非选择题
11.(简谐运动的图像信息)一个弹簧振子经过平衡位置O,在A、B间做简谐运动,如图甲所示;它的运动图像如图乙所示。设向右为正方向,则:
(1)O、B两点间的距离是 cm;
(2)0.2 s末物体的速度方向是 ;
(3)0.4 s末物体的加速度方向是 ;
(4)0.7 s时,物体位置在 点与 点之间;
(5)物体从O经B第一次运动到A所需时间t= s。
答案 (1)5 (2)O →A (3)A→O (4)O B (5)0.6
解析 (1)从题图上看出,O、B两点间的距离是5 cm。
(2)根据正方向的规定及振动图像知,物体从位置B开始计时,0.2 s末,物体回到平衡位置O,向负方向运动,所以此时速度方向从O指向A。
(3)0.4 s末物体到达A点,位移为负,弹力应为正,此时加速度方向由A指向O。
(4)0.7 s时,位移为正,物体在O点与B点之间。
(5)从图像上读出物体从O经B第一次运动到A需时间t=0.2×3 s=0.6 s。
12.如图10所示的三个图线分别是不同的传感器测出的不同物体的振动图线.从三个图线可知，这三个物体振动的共同特点是具有________性，三个物体中，最简单的振动是________的振动.图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8 cm/s，则此人的心率是________次/分.
图10
答案 周期 弹簧振子 67.5
解析 三个物体振动的共同特点是具有周期性，三个物体中，最简单的振动是弹簧振子的振动；由心脏跳动图线可知，心脏跳动一次方格纸走过了3.2个格，即3.2×0.5 cm＝1.6 cm，故心脏跳动一次所需要的时间为eq \f(1.6,1.8) s，故1分钟心脏跳动的次数为n＝eq \f(60×1.8,1.6) 次＝67.5次.
13.如图11所示，某质点做简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中：
图11
(1)与a位移相同的点有哪些？
(2)与a速度相同的点有哪些？
(3)质点离平衡位置的最大距离为多大？
答案 (1)b、e、f (2)d、e (3)2 cm
解析 (1)位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
(2)速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
(3)质点离平衡位置的最大距离即质点最大位移的大小.由题图知最大距离为2 cm.
14.如图12所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
图12
(1)质点离平衡位置的最大距离有多大？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在2 s末的位移是多少？
答案 (1)10 cm (2)1.5 s时质点向平衡位置运动，2.5 s时质点背离平衡位置运动 (3)0
解析 (1)由题图知：质点离平衡位置的最大距离为10 cm；
(2)在1.5 s以后的一小段时间内质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后的一小段时间内质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；
(3)质点2 s末在平衡位置，因此位移为零.
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