2025年高考数学一轮复习-8.6-空间向量及其运算和空间位置关系【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.6-空间向量及其运算和空间位置关系【课件】，共51页。PPT课件主要包含了命题说明，必备知识·逐点夯实，平行或重合，核心考点·分类突破等内容，欢迎下载使用。

【课标解读】【课程标准】1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.【核心素养】直观想象、数学运算、逻辑推理.
知识梳理·归纳1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l____________,则称此向量a为直线l的方向向量.注:①一条直线l有______多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.②直线l的方向向量也是所有与l______的直线的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
微点拨 (1)直线的方向向量不唯一,一般取直线上两点构成其一个方向向量.(2)平面的法向量不唯一,所以可以用赋值法求出平面的一个法向量.
2. 空间位置关系的向量表示
微点拨 利用法向量证明线面平行时,直线的方向向量与平面的法向量垂直是线面平行的必要条件,应注明直线在平面外.
基础诊断·自测1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若两平面的法向量平行,则两平面平行.(　 　)(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(　 　)(3)若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.(　 　)(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(　 　)
提示:易知(1)(2)正确;(3)中向量a和b所在的直线可能重合;(4)中a所在的直线可能在平面内.
3.(选择性必修一P32例4·变形式)若直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有(　　)A.l∥αB.l⊥αC.l与α斜交D.l⊂α或l∥α【解析】选B.由a=-n知,n∥a,则有l⊥α.
角度2 面面平行[例2]如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,证明平面EFG∥平面PBC.
【证明】由题意,易知∠PAD=90°,即PA⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,又四边形ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
解题技法　利用空间向量证明线面、面面平行的方法(1)证明线面平行的常用方法:①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面;②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明面面平行常用的方法:①利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面;②证明两个平面的法向量平行;③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.
提醒:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.
对点训练　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;
　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(2)平面ADE∥平面B1C1F.
考点二利用空间向量证明垂直问题角度1　线线、线面垂直[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AE⊥CD;
[例3]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(2)PD⊥平面ABE.
角度2 面面垂直[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;
[例4]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
解题技法　利用空间向量证明垂直的方法
对点训练　如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(1)PA⊥BD;
　如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(2)平面PAD⊥平面PAB.
考点三与平行、垂直有关的综合问题[例5]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(1)若M是A1D的中点,求直线CM与平面A1BE所成角的大小;
[例5]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.(2)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.
解题技法1.“是否存在”型问题的两种探索方式(1)根据条件作出判断,再进一步论证.(2)利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.2.解决折叠问题的关键解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量.