2025年高考数学一轮复习-9.1计数原理【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.1计数原理【课件】，共60页。PPT课件主要包含了PART1，知识体系构建，PART2，考点分类突破，PART3，课时跟踪检测等内容，欢迎下载使用。
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 某市人民医院急诊科有3名男医生，3名女医生，内科有5名男医 生，4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名 女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的 选派方案有（　　）
解析：　从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×3＝9种方案， 从内科选派1名男医生和1名女医生有5×4＝20种方案，根据分步乘 法计数原理，该医院总共有9×20＝180种不同的选派方案，故选A.
2. 毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三 人，要求每列后排同学比前排高的不同排法共有（　　）
3. 把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数 为 ⁠.
精选考点 典例研析 技法重悟通
1. （2024·黄冈中学一模）甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾 数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定 （奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通 行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车 最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（　　）
解析：　5日至9日，即5，6，7，8，9，有3天奇数日，2天偶数 日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8 （种）；第二步安排偶数日出行分两类：第一类，先选1天安排甲 的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4（种）；第二类，不安排甲 的车，每天都有2种选择，共有22＝4（种），共计4＋4＝8（种）. 根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64.
2. 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域 只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 （　　）
解析：　分两种情况：① A ， C 不同色，先涂 A 有4种， C 有3种， E 有2种， B ， D 有1种，有4×3×2×1＝24（种）；② A ， C 同色， 先涂 A ， C 有4种，再涂 E 有3种， B ， D 各有2种，有4×3×2×2＝48 （种）.故不同的涂色方法有48＋24＝72（种）.
3. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平 行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶 点的平面构成的“平行线面组”的个数是 ⁠.
解析：一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线 组成6个“平行线面组”，一共有6个面，共有6×6＝36（个）.长方 体的每个对角面有2个“平行线面组”，共有6个对角面，一共有 6×2＝12（个）.根据分类加法计数原理知共有36＋12＝48（个）平 行线面组.
4. 由0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 ⁠个无重复数字 的四位偶数.
解析：要完成的一件事为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千 位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中的四个 数字不重复.因此应先分类，再分步.第1类，当千位数字为奇数，即 取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一 个，百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字，十位数字不能 取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，
不同的取法种数为3×4×5×4＝240.第2类，当千位数字为偶数，即取 2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除千位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与个位、千位数字重复的数字，十位数字不能取与个位、百位、千位数字重复的数字.根据分步乘法计数原理，不同的取法种数为3×3×5×4＝180.根据分类加法计数原理，可以组成无重复数字的四位偶数的个数为240＋180＝420.
练后悟通1. 利用两个计数原理解决问题的一般步骤
2. 涂色问题常用的两种方法
【例1】　（1）（2024·全国乙卷7题）甲、乙两位同学从6种课外读 物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共 有（　　）
（2）（2024·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺 术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选 修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作 答）.
解题技法1. 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析 法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限 制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用 间接法.
2. 组合问题常见的两类题型（1）“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取 出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除， 再从剩下的元素中去选取；（2）“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解， 通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
1. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分 配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）.
2. 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有 ⁠种不同 的选法（用数字作答）.
考向1　相邻与相间问题【例2】　（2024·新高考Ⅱ卷5题）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成 一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方 式共有（　　）
解题技法相邻、相间问题的解题策略（1）求相邻问题时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排 列，同时注意捆绑元素的内部排列；（2）对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的 元素插在前面元素排列的空当中.
考向2　定序问题【例3】　元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所 示，每次取1盏，则不同的取法共有（　　）
考向3　分组、分配问题【例4】　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配 方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
（3）平均分成三份，每份2本；
（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.
解题技法1. 分配问题属于“排列”问题，要按排列模型求解；而分组问题属于 “组合”问题，要按组合模型求解.区分是分组问题还是分配问题的 关键是看有无分配对象，若没有分配对象，则为分组问题；若有确 定的分配对象，则为定向分配问题，否则，为不定向分配问题.
（3）对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中 元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数，这类问题 也有无序不平均分组和有序不平均分组两种情形.
1. （多选）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的 是（　　）
2. （2024·滁州一中检测）某学校安排4名老师到学校的两个入口处进 行值班，每个入口至少需要1人，每人都必须参加，则安排的方法 总数为 ⁠.
3. 有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成 一行，要求从左到右，女生从矮到高排列（不一定相邻），不同的 排法共有 种.
关键能力 分层施练 素养重提升
1. （2024·齐齐哈尔模拟）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食 是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤 菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并 全部吃完，则不同的选取方法有（　　）
解析：　根据分步乘法计数原理，共有2×6×5＝60（种）不同的 选取方法，故选D.
2. 夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类 店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相 邻，则可以排出的摊位规划总个数为（　　）
3. 某大厦有 A ， B ， C ， D 四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上 楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有（　　）
4. （2024·新高考Ⅱ卷3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况， 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部 两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200 名学生，则不同的抽样结果共有（　　）
5. （多选）下列等式正确的有（　　）
6. （多选）现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7 人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是（　　）
解析：　对于A，4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34 （人），故选1人为负责人的选法共有34种，A对；对于B，分四 步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名 组长，所以不同的选法共有7×8×9×10＝5 040（种），B错；对于 C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；从第 一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；从第一、四组中各选1 人，有7×10种不同的选法；从第二、三组中各选1人，有8×9种不
同的选法；从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；从第 三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法.所以不同的选法共有 7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431（种），C错；对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64（种） 选法，其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27（种） 选法，所以第一组必须有人选的不同选法有64－27＝37（种），D对.
7. 男生甲和女生乙及另外2男2女共6位同学排成一排拍照，要求男女 生相间且甲和乙相邻，共有 种不同排法.
9. 如图所示的几何体是由一个三棱锥 P - ABC 与三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面 A 1 B 1 C 1不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案种数 为（　　）
10. （2024·北京模拟）在0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个 数，将其组成无重复数字的四位数，其中能被5整除且比4 351大的 数共有（　　）
11. （多选）现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1， 2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内.则下列说法正确的是 （　　）
12. 《医院分级管理办法》将医院按其功能、任务不同划分为三个等 级：一级医院、二级医院、三级医院.某地有9个医院，其中3个一 级医院，4个二级医院，2个三级医院，现在要从中抽出4个医院进 行药品抽检，则抽出的医院中至少有2个一级医院的抽法种数 为 ⁠.
13. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱， 俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠， 每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位 档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65， 若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选 择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数为 ，其 中所拨数字小于600的有 个.
8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.（1）若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？
（2）若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），有多少种坐 法？
15. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很 好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉. 现有5支救援队前往 A ， B ， C 3个受灾点执行救援任务，若每支救 援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援 队，其中甲救援队只能去 B ， C 两个受灾点中的一个，则不同的安 排方法数是（　　）