2024年贵州省贵阳市花溪区久安中学中考二模数学试题

这是一份2024年贵州省贵阳市花溪区久安中学中考二模数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣1B．0C．D．
2．（3分）一个整数310…0用科学记数法表示为3.1×108，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．（3分）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
6．（3分）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，那么袋中白球的个数可能是（ ）
A．3个B．不足3个
C．4个D．5个或5个以上
7．（3分）计算（2m2）3的结果为（ ）
A．8m6B．6m6C．2m6D．2m5
8．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接BD．若AC＝6，AD＝2（ ）
A．2B．3C．4D．6
9．（3分）4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．8，9B．10，9C．7，12D．9，9
10．（3分）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
11．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．（3分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）已知关于x的方程2x﹣m＝0的解是x＝﹣3，则m的值为 ．
14．（4分）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C有 个．
15．（4分）用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，点E在BC上，AE交于点F，若∠CFE＝45°，则CE＝ ．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：．
（2）解不等式组：．请结合题意填空，完成本题的解答：
（Ⅰ）解不等式①，得： ；
（Ⅱ）解不等式②，得： ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为： ．
18．（10分）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，并证明．
19．（10分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A．x＜10；B．10≤x＜15；C．15≤x＜20；D．20≤x＜25；E．25≤x＜30；F．30≤x≤35）
a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：
b．八年级学生上学期期末地理成绩在C．15≤x＜20这一组的成绩是：15，15，15，15，16，16，18；
c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ；
（2）若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有 人；
（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
20．（10分）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
21．（10分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
22．（10分）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4）
（1）反比例函数y＝的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．
23．（12分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，PC＝4，过点C作直线m⊥l，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．
24．（12分）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
25．（12分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，BC上，AE⊥DF
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，BC上，AE＝DF，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，BC上，AE＝DF＝11，∠AED＝60°，求CF的长．
2024年贵州省贵阳市花溪区久安中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．﹣1B．0C．D．
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、﹣1是整数，不是无理数；
B、0是整数，不是无理数；
B、是分数，不是无理数；
D、是无理数；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）一个整数310…0用科学记数法表示为3.1×108，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此将科学记数法表示的数还原成原来的数即可得到答案．
【解答】解：3.1×108＝310000000，原数中“0”的个数是7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．（3分）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三视图的概念做出判断即可．
【解答】解：A．三棱柱的主视图和左视图都是矩形，故不符合题意；
B．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，故不符合题意；
C．正方体的三视图都是正方形；
D．圆柱的三视图既有圆又有长方形．
故选：C．
【点评】本题主要考查简单的几何体的三视图，熟练掌握基本几何体的三视图是解题的关键．
4．（3分）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】结合数轴得出A对应的数，再利用有理数的加法计算得出答案．
【解答】解：由数轴可得：A表示﹣1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：﹣3+3＝2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的加法以及数轴，正确掌握有理数的加法是解题关键．
5．（3分）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【分析】由平角的定义可求得∠BEG＝50°，再由平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵EG⊥EF，
∴∠FEG＝90°，
∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，∠AEF＝40°，
∴∠BEG＝180°﹣∠AEF﹣∠FEG＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠BEG＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
6．（3分）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，那么袋中白球的个数可能是（ ）
A．3个B．不足3个
C．4个D．5个或5个以上
【分析】根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．
【解答】解：∵袋中有红球4个，取到白球的可能性较大，
∴袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中白球的个数可能是5个或3个以上．
故选：D．
【点评】本题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
7．（3分）计算（2m2）3的结果为（ ）
A．8m6B．6m6C．2m6D．2m5
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：（2m2）4＝8m6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接BD．若AC＝6，AD＝2（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴BD＝CD＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线；并掌握线段垂直平分线的性质是关键．
9．（3分）4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．8，9B．10，9C．7，12D．9，9
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．
【解答】解：中位数为第15个和第16个的平均数＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握中位数和众数的概念．
10．（3分）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
【分析】利用路程＝速度×时间，结合x天快马比慢马多走的路程为慢马12天走的路程，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．（3分）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AC＝BC，
当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，
当AC＝AB＝8时．满足三角形三边关系定理，
∴AC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理．
12．（3分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，y的值可以是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小k＜0，分别计算各选项中y和x值下的k值，看哪个是负数，哪个就符合题意．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
A、当x＝4，k＝；
B、当x＝3，k＝1；
C、当x＝2，k＝6；
D、当x＝2，k＝﹣；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足k＜0．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）已知关于x的方程2x﹣m＝0的解是x＝﹣3，则m的值为 ﹣6 ．
【分析】把方程的解代入原方程，方程左右两边相等得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝﹣3代入方程中得：
2×（﹣5）﹣m＝0，
m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是知道使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
14．（4分）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C有 8 个．
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：如图所示：
点C1的位置如图，
其中＝＝，BC7＝＝，AB＝3，
由勾股定理得：+＝AB2，
故△ABC5为直角三角形，
同理：AC2＝＝，BC2＝＝，AB＝2，
由勾股定理得：+＝AB7，
故ABC2为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
15．（4分）用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是 3x2+5x+1＝0 ．
【分析】根据求根公式确定出方程即可．
【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，
则该一元二次方程是3x2+5x+6＝0，
故答案为：3x6+5x+1＝6
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，点E在BC上，AE交于点F，若∠CFE＝45°，则CE＝ 2 ．
【分析】过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，其次利用△CDG∽△CBD，求出CG的长，得出BG的长，最后利用△BDG∽△BAE，求出BE的长，最后得出答案．
【解答】解：如图：过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，
∴，
又∵BD＝3AD，
∴，
在等腰直角三角形AHD中，AH＝DH＝5，
∴CH＝6﹣2＝5，
在Rt△CHD中，，
∵DG∥AE，
∴∠CFE＝∠CDG＝45°，∠B＝45°，
∴∠CDG＝∠B，
又∵∠DCG＝∠BCD，
∴△CDG∽△CBD，
∴，
∴CD2＝CG•CB，
即20＝7CG，
∴CG＝，
∴BG＝BC﹣CG＝，
又∵DG∥AE，
∴△BDG∽△BAE，
又∵BD＝7AD，
∴，
又，
∴，
∴CE＝6﹣6＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：．
（2）解不等式组：．请结合题意填空，完成本题的解答：
（Ⅰ）解不等式①，得： x＞﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得： x≤3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为： ﹣1＜x≤3 ．
【分析】（1）根据实数的运算法则运算即可；
（2）根据解不等式组的步骤解答（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）、（Ⅳ）即可．
【解答】解：．
（2）（Ⅰ）解不等式①，得x＞﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤4；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来见如图；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
不等式组的解集为：﹣3＜x≤3．
故答案为：x＞﹣1，x≤8．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组、实数的运算，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
18．（10分）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，并证明．
【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行分析推理．
【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形以及菱形的判定方法：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形，是解题关键．
19．（10分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A．x＜10；B．10≤x＜15；C．15≤x＜20；D．20≤x＜25；E．25≤x＜30；F．30≤x≤35）
a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：
b．八年级学生上学期期末地理成绩在C．15≤x＜20这一组的成绩是：15，15，15，15，16，16，18；
c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 16 ；
（2）若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有 35 人；
（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
【分析】（1）根据中位数的定义可得m的值；
（2）用200乘样本中下学期期末地理成绩达到优秀的学生所占比例即可；
（3）比较平均数、众数和中位数可得答案．
【解答】解：（1）把八年级上学期40名学生的地理成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，故中位数m＝．
故答案为：16；
（2）200×＝35（人），
即这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人．
故答案为：35；
（3）该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高，理由如下：
因为该校八年级学生的期末地理成绩下学期的平均数、众数和中位数均比上学期大．
【点评】本题考查条形统计图，样本估计总体的思想，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（10分）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
【分析】设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递（x﹣20）件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递（x﹣20）件，
根据题意得：，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原分式方程的根，
∴70﹣20＝50，
答：A型机平均每小时运送快递70件，B型机平均每小时运送快递50件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（10分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM，进而求出DE即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，∠A＝30°，DF＝600m，
在Rt△ABM中，∠A＝30°，
∴BM＝AB＝150m＝EF，
∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），
答：登山缆车上升的高度DE为450m；
（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，
∴BD＝
≈
＝562.5（m），
∴需要的时间t＝t步行+t缆车
＝+
≈19.7（min），
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
22．（10分）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4）
（1）反比例函数y＝的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式．
【分析】（1）根据旋转的性质得出C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，0），8），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BC＝8，
将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，
∴C′（2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点C′，
∴k＝2×4＝8，
∴该反比例函数的表达式为y＝；
（2）作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵OA＝3，OB＝4，
∴BH＝OA＝5，A′H＝OB＝4，
∴OH＝1，
∴A′（8，1），
设一次函数的解析式为y＝ax+b，
把A（﹣3，3），1）代入得，，
解得，
∴该一次函数的表达式为y＝x+．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23．（12分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，PC＝4，过点C作直线m⊥l，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？
②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．
【分析】（1）由AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，易得AB＝4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH＝BH＝AB，求得CD，FD；
（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M（如图1），则OM∥AB，由垂径定理得QM＝AM＝x，由矩形性质得OD＝MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；
（3）①点P在A点的右侧时（如图1），利用（1）（2）的结论和正方形的性质得2x+4＝3x，得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜时（如图2），4﹣7x＝3x，解得x，易得AP；当时（如图3），7﹣4x＝3x，得AP；当点C在Q的左侧时，即x≥（如图4），同理得AP；
②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ＝2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BM⊥EG于点M，GM＝x，BM＝x，易得∠GBM＝45°，BM∥AQ，易得AI＝AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，由GJ＝x，BJ＝4x得tan∠GBJ＝，利用（1）（2）中结论得AI＝16x，QI＝19x，
解得x，得AP．
【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB＝3：4，AQ＝6x，
∴AB＝4x，
∴BQ＝5x，
∵OD⊥m，m⊥l，
∴OD∥l，
∵OB＝OQ，
∴＝2x，
∴CD＝4x，
∴FD＝＝5x；
（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，
∴CQ＝2x+4，
作OM⊥AQ于点M（如图1），
∴OM∥AB，
∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°，
∴点O是BQ的中点，
∴QM＝AM＝x
∴OD＝MC＝，
∴OE＝BQ＝，
∴ED＝4x+4，
S矩形DEGF＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90，
解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝3，
∴AP＝7x＝9；
（3）①若矩形DEGF是正方形，则ED＝DF，
I．点P在A点的右侧时（如图1）
∴8x+4＝3x，解得：x＝7，
∴AP＝3x＝12；
II．点P在A点的左侧时，
当点C在Q右侧，
0＜x＜时（如图2），
∵ED＝4﹣7x，DF＝3x，
∴6﹣7x＝3x，解得：x＝，
∴AP＝；
当≤x＜，
∵ED＝4﹣8x，DF＝3x，
∴4﹣4x＝3x，解得：x＝，
当点C在Q的左侧时，即x≥，
DE＝2x﹣4，DF＝3x，
∴4x﹣4＝3x，解得：x＝6，
∴AP＝3，
综上所述：当AP为12或或3时；
②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，
当点N在AB的左侧时（如图5），
过点B作BM⊥EG于点M，
∵GM＝x，BM＝x，
∴∠GBM＝45°，
∴BM∥AQ，
∴AI＝AB＝2x，
∴IQ＝x，
∴NQ＝＝2，
∴x＝7，
∴AP＝6；
当点N在AB的右侧时（如图6），
过点B作BJ⊥GE于点J，
∵GJ＝x，BJ＝4x，
∴tan∠GBJ＝，
∴AI＝16x，
∴QI＝19x，
∴NQ＝＝2，
∴x＝，
∴AP＝，
综上所述：AP的长为6或．
【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．
24．（12分）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x7+bx+c过点A（1，0），8），
∴y1＝2（x﹣6）（x﹣2），即y1＝5x2﹣6x+2．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）5﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+4h2﹣2．
∴b＝﹣2h，c＝2h2﹣7．
∴b+c＝2h2﹣6h﹣2
＝2（h﹣5）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，
∴当h＝7时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y4
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[6（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，4），
∴（x0﹣m）[2（x6﹣m）﹣5]＝0．
∴x4﹣m＝0，或2（x8﹣m）﹣5＝0．
  即x3﹣m＝0或x0﹣m＝．
【点评】本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
25．（12分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，BC上，AE⊥DF
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，BC上，AE＝DF，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，BC上，AE＝DF＝11，∠AED＝60°，求CF的长．
【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；
（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；
（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝2，
即CF的长为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
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小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
学期
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小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
学期
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