安徽省芜湖市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(Word版附解析)
展开这是一份安徽省芜湖市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(Word版附解析),共23页。试卷主要包含了 已知复数,则下列说法正确的是等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
1.本卷共四大题,19小题,满分150分,考试时间120分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页,“答题卷”共6页.
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 某校高一年级有男生300人,女生200人,按性别进行分层,用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配,那么男生、女生应分别抽取的人数为( )
A. 75;75B. 90;60C. 60;90D. 100;50
2. 在中,,,则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3. 下列四个命题,真命题为( )
A. 两两相交三条直线确定一个平面
B. 若空间两条直线不相交,则这两条直线平行
C. 若直线a,b与直线c所成角相等,则
D. 若两条平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直
4. 在复平面内,复数,对应的向量分别是,,其中是原点,则向量对应的复数为( )
A. B. C. D.
5. 在三棱锥中,,,E,F分别是,中点,,则直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示,在箱线图中,位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘(最小值)和上边缘(最大值),中间箱体的底端是下四分位数,箱体中部的“x”表示平均值,箱体的顶端是上四分位数.异常值是明显偏离样本的个别值.已知一班和二班人数相等,在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示,则下列说法正确的是( )
A. 一班成绩比二班成绩集中B. 一班成绩上四分位数是80
C. 一班有同学的成绩超过140分D. 一班的平均分高于二班的平均分
7. 某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中,选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与(如图所示).现测得,,,在点,测得塔顶的仰角分别为,则塔高约为( )(精确到,参考数据:)
A. B. C. D.
8. 在一次考试中有一道4个选项双选题,其中A和B是正确选项,C和D是错误选项,甲,乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件“甲、乙两人均未选择B选项”,则( )
A. 事件M与事件N相互独立B. 事件M与事件Y互为对立事件
C. 事件X与事件Y相互独立D. 事件N与事件Y为互斥事件
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 已知复数,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 是纯虚数D. z在复平面内对应的点在第二象限
10. 安徽师范大学位于安徽省芜湖市,是安徽省人民政府与中华人民共和国教育部共建高校、国家“中西部高校基础能力建设工程”项目高校.在该校建校96周年之际,为回馈师生,学校安排专业人员驾船于校内花津湖中打捞“花津鱼”,为师生们筹备了一场为期三天的春日鱼宴.为调查该活动中同学们的参与情况,调查部门认为该活动大部分同学参与标志为连续调查10次,每次未参与的人数不超过7人.在过去10次中,甲、乙、丙、丁四个调查小组调查的未参与人数的信息如下,一定符合该活动大部分同学参与标志的是( )
A. 甲组:中位数为2,极差为5
B. 乙组:总体平均数为2,总体方差为3
C. 丙组:总体平均数为1,总体方差大于0
D. 丁组:总体平均数为2,众数为2
11. 已知正方体的体积为8,E是线段(不含端点)上的动点,下列说法正确的是( )
A. 不存在点E,使得直线平面
B. 对任意点E,直线都不垂直于平面
C. 过,,E的平面截该正方体所得的截面面积为
D. 的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 有编号分别为1,2的2个红球和2个黑球,随机取出2个,则取出的球的编号互不相同的概率是_______.
13. 底面半径为1,母线长为的圆锥的外接球的表面积为_______.
14. 在中,,,点在直线上,若的面积为,则的最小值是________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量,,其中,.
(1)求;
(2)求
16. 马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内,居皖南旅游带中部,风景奇特,文化底蕴深厚,素有“皖南张家界,江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平,对当日购票的40名游客进行满意度调查问卷,根据所得评分,将所得数据按照,,,,,分成6组,其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值;
(2)景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品,由于纪念品数量有限,只对评分排在前13%的游客赠送,求收到纪念品的游客分数不低于多少?
(3)若从评分在的游客中随机抽出两位游客,求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率.
17. 如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,,E,G分别为线段,的中点,F为线段上的点.
(1)若,平面∥平面,求线段的长度.
(2)证明:平面平面;
(备注:用空间向量解答不给分)
18. 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求A;
(2)若D为上一点,平分,且,,求的面积.
19. 如图,在梯形中,,,.把沿翻折,使得二面角的平面角为,M,N分别是和中点.
(1)若,E是线段的中点,动点F在三棱锥表面上运动,并且总保持,求动点F的轨迹的长度.
(2)若,P,Q分别为线段,上异于端点的点,满足,记分别与,所成角为,,若,求的取值范围.
(3)若,求二面角的正切值.
2023—2024学年度第二学期芜湖市高中教学质量监控
高一年级数学试题卷
注意事项:
1.本卷共四大题,19小题,满分150分,考试时间120分钟.
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页,“答题卷”共6页.
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的.
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 某校高一年级有男生300人,女生200人,按性别进行分层,用分层随机抽样的方法从该校高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配,那么男生、女生应分别抽取的人数为( )
A. 75;75B. 90;60C. 60;90D. 100;50
【答案】B
【解析】
【分析】根据分层抽样的比例,列式计算,即可求得答案.
【详解】由题意可得,样本中应抽取的男生有名,
样本中应抽取的男生有名.
故选:B.
2. 在中,,,则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】由,知,为等腰直角三角形,
所以向量在向量上的投影向量为,
故选:C
3. 下列四个命题,真命题为( )
A. 两两相交的三条直线确定一个平面
B. 若空间两条直线不相交,则这两条直线平行
C. 若直线a,b与直线c所成角相等,则
D. 若两条平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直
【答案】D
【解析】
【分析】借助正方体中直线的位置关系判断选项A,C;根据空间中两条直线的位置关系判断选项B;根据线面垂直的性质定理和判定定理判断选项D.
【详解】对于A,当三条直线相交于同一点时,如正方体中,直线不能确定平面,故A错误;
对于B,若空间两条直线不相交,则这两条直线平行或异面,故B错误;
对于C,若直线a,b与直线c所成角相等,如正方体中,,但与不平行,故C错误;
对于D,若两条平行直线a,b中的一条a与一个平面垂直,
则对于平面中的相交直线有,
因为,所以,所以,故D正确;
故选:D.
4. 在复平面内,复数,对应的向量分别是,,其中是原点,则向量对应的复数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义,结合向量的减法运算求解.
【详解】由题意可得,,
所以,
所以向量对应的复数为.
故选:.
5. 在三棱锥中,,,E,F分别是,的中点,,则直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先作出辅助线,得到或其补角为线与所成的角,求出,结合,利用余弦定理求出余弦值.
【详解】取的中点,连接,
因为E,F分别是,的中点,
所以,故或其补角为直线与所成的角,
,
又,
故,
故直线与所成的角的余弦值为.
故选:A
6. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况.如图1所示,在箱线图中,位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘(最小值)和上边缘(最大值),中间箱体的底端是下四分位数,箱体中部的“x”表示平均值,箱体的顶端是上四分位数.异常值是明显偏离样本的个别值.已知一班和二班人数相等,在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示,则下列说法正确的是( )
A. 一班成绩比二班成绩集中B. 一班成绩的上四分位数是80
C. 一班有同学的成绩超过140分D. 一班的平均分高于二班的平均分
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定定义逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A,由图可得一班成绩比二班成绩集中,故A错误,
对于B,由图可得一班成绩的下四分位数是80,故B错误,
对于C,由图可得一班有异常值超过140分,故C正确,
对于D,由图可得一班的平均分低于二班的平均分,故D错误.
故选:C
7. 某数学兴趣小组在探测河对岸的塔高的实践活动中,选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与(如图所示).现测得,,,在点,测得塔顶的仰角分别为,则塔高约为( )(精确到,参考数据:)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设塔高为,由题意可得,在中,余弦定理可得,求解即可.
【详解】设塔高为,由在点,测得塔顶的仰角分别为,
可得,
由,,可得,
在中,余弦定理可得,
所以,所以,
解得.
故选:B.
8. 在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中A和B是正确选项,C和D是错误选项,甲,乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件“甲、乙两人均未选择B选项”,则( )
A. 事件M与事件N相互独立B. 事件M与事件Y互为对立事件
C. 事件X与事件Y相互独立D. 事件N与事件Y为互斥事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形:
一个选项相同,②两个选项相同,③两个选项不相同,
所以,,,,
因为事件与事件互斥,所以,又因为,
所以事件与事件不相互独立,故A错误;
由,所以事件与事件不互为对立事件,故B错误;
,故C错误;
“甲、乙两人所选选项完全不同”与“甲、乙两人均未选择B选项”不能同时发生,事件与事件互斥,故D错误.
故选:D
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9. 已知复数,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 是纯虚数D. z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】BC
【解析】
【分析】先将复数化简成标准代数形式,后按照共轭复数概念,模长公式,纯虚数的概念和复数几何意义分别判断即可.
【详解】,则,故A错误;,故B正确;
,为纯虚数,故C正确;对于的点为,在第一象限,故D错误.
故选:BC.
10. 安徽师范大学位于安徽省芜湖市,是安徽省人民政府与中华人民共和国教育部共建高校、国家“中西部高校基础能力建设工程”项目高校.在该校建校96周年之际,为回馈师生,学校安排专业人员驾船于校内花津湖中打捞“花津鱼”,为师生们筹备了一场为期三天的春日鱼宴.为调查该活动中同学们的参与情况,调查部门认为该活动大部分同学参与标志为连续调查10次,每次未参与的人数不超过7人.在过去10次中,甲、乙、丙、丁四个调查小组调查的未参与人数的信息如下,一定符合该活动大部分同学参与标志的是( )
A. 甲组:中位数为2,极差为5
B. 乙组:总体平均数为2,总体方差为3
C. 丙组:总体平均数为1,总体方差大于0
D. 丁组:总体平均数为2,众数为2
【答案】AB
【解析】
【分析】设出最少的人数,利用极差和中位数的性质判断A,利用反证法判断B,举反例判断C,D即可.
【详解】对于A,设每次未参与的人数最少为,而中位数为2,故,
因为极差为5,所以,故符合情况,则A正确,
对于B,假设数据有1个数据为8,方差为,方差为,
故假设不成立,故此时符合情况,则B正确,
对于C,假设数据为,此时总体平均数为1,总体方差大于0,
但不满足每次未参与的人数不超过7人,故C错误,
对于D,假设数据为,满足总体平均数为2,众数为2,
但不满足每次未参与人数不超过7人,故D错误.
故选:AB
11. 已知正方体的体积为8,E是线段(不含端点)上的动点,下列说法正确的是( )
A. 不存在点E,使得直线平面
B. 对任意点E,直线都不垂直于平面
C. 过,,E的平面截该正方体所得的截面面积为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】举特殊点结合线面平行的判定定理判断A,利用异面直线的夹角证明不垂直,进而证明线面不垂直判断B,作出辅助线找到截面,判断截面为矩形,再利用矩形的面积公式判断C,将空间图形展开为平面图形,找到三点共线时线段和最小,再利用勾股定理求出长度,判断D即可.
【详解】
如图,假设E是线段的中点,连接,,
因为正方体,所以,,
故四边形是平行四边形,故,即,
而面,面,故平面成立,故A错误,
连接,,因为正方体,所以,,
故四边形是平行四边形,可得,
所以与所成夹角即为与所成夹角,且设该夹角为,
连接,而正方体的体积为8,设其边长为,
故得,解得,由勾股定理得,
,,故得,
故是等边三角形,则,得到与所成夹角为,
所以不垂直,所以直线都不垂直于平面,故B正确,
前面我们已经连接,再连接,因为正方体,
所以,,所以面,
所以四边形是平行四边形,所以四点共面,
故可得到过,,E的平面即为面,
故,所以四边形是矩形,由勾股定理得
其面积为,故截面面积为,则C正确,
我们把展开,得到如下平面图,
因为正方体,所以,,
可得是等腰直角三角形,故,
延长到,且作,连接与交于,
故得,,,
而,当且仅当共线时取等,
此时由勾股定理得,故D正确.
故选:BCD
【点睛】关键点点睛:本题考查立体几何,解题关键是将空间图形展开为平面图形,然后得到共线时线段和最小,最后利用勾股定理得到所要求的长度即可.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 有编号分别为1,2的2个红球和2个黑球,随机取出2个,则取出的球的编号互不相同的概率是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用组合求出基本事件数,列举出符合条件的事件数,求解概率即可.
【详解】首先,我们把编号为1的红球记为,编号为2的红球记为,
编号为1的黑球记为,编号为2的黑球记为,
则基本事件总数为种,符合条件的有,共4种,
且设概率为,则.
故答案为:
13. 底面半径为1,母线长为的圆锥的外接球的表面积为_______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥的高,设出外接球的半径,从而列出方程,求出半径,得到外接球的表面积.
【详解】设圆锥的高为,则,
设外接球的半径为,则,解得,
故圆锥的外接球的表面积为.
故答案为:
14. 在中,,,点在直线上,若的面积为,则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】取的中点,连接,过点作于,是的高,由题意可得,,进而利用基本不等式可求得最小值.
【详解】在中,,,所以,
取的中点,连接,过点作于,是的高,
由的面积为,所以,所以,
由,所以可得,所以,
由题意可得,
所以,
所以
,
当且仅当,即且与重合时取等号.
所以的最小值是.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量,,其中,.
(1)求;
(2)求.
【答案】(1)10 (2)
【解析】
【分析】(1)根据向量的坐标运算可得,,进而利用向量的数量积的坐标运算可求数量积;
(2)由(1)可得,进而利用向量的模的坐标运算公式可求.
【小问1详解】
因为,
由于,
,
因此;
【小问2详解】
由(1)可得,
所以.
16. 马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内,居皖南旅游带中部,风景奇特,文化底蕴深厚,素有“皖南张家界,江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平,对当日购票的40名游客进行满意度调查问卷,根据所得评分,将所得数据按照,,,,,分成6组,其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值;
(2)景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品,由于纪念品数量有限,只对评分排在前13%的游客赠送,求收到纪念品的游客分数不低于多少?
(3)若从评分在的游客中随机抽出两位游客,求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率.
【答案】(1)
(2)88 (3)
【解析】
【分析】(1)根据直方图的长方形面积之和为1计算即可;
(2)根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应的分数即可;
(3)根据古典概型的概率公式,结合列举法可解.
【小问1详解】
由,解得;
【小问2详解】
设收到纪念品的游客评分不低于x分
因为,对应的频率分别为0.15,0.1
所以,解得
故收到纪念品的游客评分不低于88.
【小问3详解】
有人,分别记为a,b
有人,分别记为1,2,3,4,5,6
记事件A为“在评分在中随机抽两人,至少一人评分在”,则
所以.
17. 如图,在四棱锥中,底面是正方形,底面,,E,G分别为线段,的中点,F为线段上的点.
(1)若,平面∥平面,求线段的长度.
(2)证明:平面平面;
(备注:用空间向量解答不给分)
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)连接,由,可求得,由面面平行的性质可得,则F为线段上的中点,从而可求得线段的长度;
(2)由平面,得,再结合底面为正方形和线面垂直的判定定理可得平面,则,则等腰三角形的性质得,则得平面,然后由面面垂直的判定定理可证得结论.
【小问1详解】
解:连接,因为底面,底面,所以,
所以,
因为底面是正方形,,所以,
所以,因为,所以,
由平面∥平面,平面平面,平面平面,
所以∥,又E为线段的中点,得F为线段上的中点,
所以;
【小问2详解】
证明:因为平面,平面,所以,
又底面是正方形,所以,
因为,,平面,所以平面,
又平面,所以,
因为,E为线段的中点,所以,
又,,平面,得平面,
因为平面,所以平面平面.
18. 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求A;
(2)若D为上一点,平分,且,,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)用二倍角公式将化为,再边角互化,三角恒等变换化解即可;
(2)用等面积法和用余弦定理结合即可求解.
【小问1详解】
因为
由正弦定理得
化简得
又因为
所以
由于,所以
则,即
【小问2详解】
如图所示,
因为
所以,即
由余弦定理知.即
所以,解得或(舍去)
所以.
19. 如图,在梯形中,,,.把沿翻折,使得二面角的平面角为,M,N分别是和中点.
(1)若,E是线段的中点,动点F在三棱锥表面上运动,并且总保持,求动点F的轨迹的长度.
(2)若,P,Q分别为线段,上异于端点点,满足,记分别与,所成角为,,若,求的取值范围.
(3)若,求二面角的正切值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)由,故只需找出过点且与直线垂直的平面即可得,结合题目所给条件,取,的中点为F,O,连接,,结合线面垂直的判定定理与性质定理即可得平面,即可得动点F的轨迹的长度;
(2)在线段上取点结合等角定理得到,,结合三角形大边对大角计算即可得;
(3)作于点S,作于点T,连接,结合题目条件,借助二面角定义可得即为二面角的平面角,从而可通过正切定义计算即可得.
【小问1详解】
梯形中,由,,,
则,又,故, 则四边形是正方形,
则在三棱锥中有,,,
,平面,所以平面,
二面角的平面角即为,
分别取,的中点为F,O,连接,,则,平面,
平面,所以平面,同理平面,
由于,,平面,故平面平面,
平面,故点F的轨迹为三角形,
因此点F轨迹长度为:
;
【小问2详解】
在线段取点R使得,则,,
由于平面,平面,所以,即,
易得,,且,若,则,
即,即,又,得;
【小问3详解】
作于点S,作于点T,连,
由,得是边长为的等边三角形,则S为的中点,且,
由S为中点,易得,
由平面,平面,得,又,,
得平面,又,得,又,,
得平面,则即为二面角的平面角,
故其正切值为.
【点睛】关键点点睛:(1)中关键点在于找出过点且与直线垂直的平面即可得;(2)中关键点在于线段上取点结合等角定理得到,;(3)中关键点在于借助二面角定义找到二面角的平面角.
相关试卷
这是一份安徽省太和中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题(Word版附解析),文件包含安徽省太和中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题Word版含解析docx、安徽省太和中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共24页, 欢迎下载使用。
这是一份安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试题(Word版附解析),文件包含安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷Word版含解析docx、安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共19页, 欢迎下载使用。
这是一份安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(Word版附解析),文件包含安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含解析docx、安徽省芜湖市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共25页, 欢迎下载使用。