2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第2章　§2.2　函数的单调性与最值（2份打包，原卷版+含解析）

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知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
常用结论
1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(－3)(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3)．( )
(3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．( )
(4)函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝eq \r(x) D．y＝2x
3．函数y＝－eq \f(1,x＋1)在区间[1,2]上的最大值为( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(1,2) C．－1 D．不存在
4．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f (eq \f(1,3))的x的取值范围是________．
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x－eq \f(1,x) B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cs x D．y＝lg(x＋1)
命题点2 利用定义证明函数的单调性
例2 试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C．[1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)
(2))函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为________．
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
例3 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0，则( )
A．f(－2)f(3)>f(4)
C．f(3)命题点2 求函数的最值
例4 函数f(x)＝x－eq \f(2,x)＋1在[1,4]上的值域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(9,2))) B．[0,1] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(9,2)))
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
(3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．
典例 (多选)下列函数中，值域正确的是( )
A．当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)
B．函数y＝eq \f(2x＋1,x－3)的值域为R
C．函数y＝2x－eq \r(x－1)的值域为[eq \f(15,8)，＋∞)
D．函数y＝eq \r(x＋1)＋eq \r(x－1)的值域为[eq \r(2)，＋∞)
命题点3 解函数不等式
例5 函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)命题点4 求参数的取值范围
例6 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－1x＋4a，x<1，,x2－ax＋6，x≥1))满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，2)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D．[1,2]
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lnx＋1，x≥0，,－2x2，x<0，))则不等式f(x＋2)A．(－2,1) B．(0,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
(2)若函数f(x)＝eq \f(x＋a－3,x－1)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
课时精练
一、单项选择题
1．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝eq \r(x) C．y＝eq \f(1,x) D．y＝3－x
2．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[0,2] D．[0，＋∞)
3．已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为( )
A．f(1)>f(－2)>f(－3) B．f(－2)>f(－3)>f(1)
C．f(－3)>f(1)>f(－2) D．f(－3)>f(－2)>f(1)
4．已知函数f(x)＝eq \f(2x,x－1)，则f(x)在区间[2,6]上的最大值为( )
A.eq \f(12,5) B．3 C．4 D．5
5．已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集为( )
A．(e，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．(0，＋∞)
6．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>－1，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数
二、多项选择题
7．下列说法中，正确的是( )
A．若对任意x1，x2∈I，当x10，则y＝f(x)在I上单调递增
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－eq \f(1,x)在定义域上是增函数
D．函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
三、填空题
8．函数f(x)＝eq \r(－x2＋2x＋3)的单调递增区间为______．
9．已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)10．已知函数f(x)＝lga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
11．给定函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性．
12．已知f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)(x∈R)．
(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(2)解关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0.
13．(多选)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且对于y＝f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2时，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0恒成立，若f(2ax)A．(－eq \r(2)，－1) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)) C．[0，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，＋∞)
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
当x1特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈D，都有f(x)≤M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈D，都有f(x)≥M；
(2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值