2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第3章　§3.1　导数的概念及其意义、导数的运算（2份打包，原卷版+含解析）

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1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或 SKIPIF 1 < 0 .
f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．在点处的切线与过点的切线的区别
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,fx)))′＝eq \f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( )
(4)(e－x)′＝－e－x.( )
2．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则( )
A．f′(x)＝3xln 3＋2cs 2x B．f′(x)＝3x＋2cs 2x
C．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)＋cs 2x D．f′(x)＝eq \f(3x,ln 3)－2cs 2x
3．曲线y＝eq \f(1,2)x2－2在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))处的切线的倾斜角是 ．
4．设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 ．
题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导正确的是( )
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sin x,x2)))′＝eq \f(2xcs x＋4sin x,x3) D．(ln 2x)′＝eq \f(1,2x)
(2)已知函数f(x)满足f(x)＝2f′(1)ln x＋eq \f(x,e)(f′(x)为f(x)的导函数)，则f(e)等于( )
A．e－1 B.eq \f(2,e)＋1 C．1 D．－eq \f(2,e)＋1
跟踪训练1 (多选)下列命题正确的是( )
A．若f(x)＝xsin x－cs x，则f′(x)＝sin x－xcs x＋sin x
B．设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e
C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e
D．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－eq \f(9,4)
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点（1，eq \f(e,2)）处的切线方程为( )
A．y＝eq \f(e,4)x B．y＝eq \f(e,2)x C．y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4) D．y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4)
(2)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， .
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是( )
A．e B．e2 C.eq \f(1,e) D.eq \f(1,e2)
(2)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
跟踪训练2
(1)已知f(x)为偶函数，当x