2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第7章　§7.3　空间直线、平面的平行（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
2.面面平行的判定定理和性质定理
常用结论
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．( × )
2．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
答案 BCD
解析 对于A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交， 故A错误；
对于B，平行于同一平面的两个平面平行，故B正确；
对于C，平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行、相交，也可以异面，故C正确；
对于D，根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面，故D正确．
3．α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是( )
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若α∥β，m⊂α，则m∥β
D．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
答案 C
解析 若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；
若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；
若α∥β，则α与β没有公共点，又因为m⊂α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；
若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故D不正确．
4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD.
证明 方法一 如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF∥CD，且EF＝eq \f(1,2)CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD.
方法二 如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq \f(HB,HC)＝eq \f(AB,CD)＝eq \f(1,2)，即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.
方法三 如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，∴EH∥PD，
又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，
又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，
连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，
又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
跟踪训练1 如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：
(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
证明 (1)取PB的中点G，连接FG，EG，
因为点F为PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq \f(1,2)BC，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE.
(2)由(1)知DF∥平面PBE，
又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l.
证明 (1)由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1,
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，
又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
思维升华 (1)证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理．
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线．
跟踪训练2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝eq \f(\r(6),3)a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.
解 如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，
在AB上取点F，使AF＝EG，
因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，
所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.
又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.
所以点F即为所求的点．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.
所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.
设PA＝x，则PC＝eq \r(2a2＋x2)，
由PB·BC＝PC·BE，
得eq \r(a2＋x2)·a＝eq \r(2a2＋x2)·eq \f(\r(6),3)a，
所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝eq \r(3)a.
又CE＝eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)a))2)＝eq \f(\r(3),3)a，
所以eq \f(PE,PC)＝eq \f(2,3)，所以eq \f(GE,CD)＝eq \f(PE,PC)＝eq \f(2,3)，
即GE＝eq \f(2,3)CD＝eq \f(2,3)a，所以AF＝eq \f(2,3)a.
故点F是AB上靠近B点的一个三等分点．
思维升华 解决面面平行问题的关键点
(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”．
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．
跟踪训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是棱DD1，AB的中点．
(1)若平面PQC与直线AA1交于点R，求eq \f(AR,A1R)的值；
(2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值．
解 (1)如图所示，
因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且平面ABB1A1∩平面PQC＝RQ，平面CDD1C1∩平面PQC＝PC，
所以RQ∥PC，根据空间等角定理可知，△ARQ∽△DPC，则eq \f(AR,DP)＝eq \f(AQ,DC)，
又DC＝a，DP＝eq \f(1,2)a，AQ＝eq \f(1,2)a，则eq \f(AR,\f(1,2)a)＝eq \f(\f(1,2)a,a)，即AR＝eq \f(1,4)a，A1R＝eq \f(3,4)a，所以eq \f(AR,A1R)＝eq \f(1,3).
(2)取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则BE∥RQ，
又RQ⊂平面PCQ, BE⊄平面PCQ，则BE∥平面PCQ.
又BM∥平面PCQ，BM，BE⊂平面BME，且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PCQ，
设DD1∩平面BME＝F，连接EF，FM，
由平面BME∥平面PCQ，平面BME∩平面CDD1C1＝FM，平面PCQ∩平面CDD1C1＝PC，所以FM∥PC，
又CM∥PF，则四边形CPFM为平行四边形，
同理四边形PREF也是平行四边形，
所以CM＝PF＝ER＝eq \f(1,4)a，所以λ＝eq \f(CM,CC1)＝eq \f(\f(1,4)a,a)＝eq \f(1,4).
课时精练
一、单项选择题
1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是( )
A．平行于同一平面的两个平面一定平行
B．平行于同一直线的两条直线一定平行
C．垂直于同一直线的两条直线一定平行
D．垂直于同一平面的两条直线一定平行
答案 C
解析 垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．
2.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则( )
A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能
答案 B
解析 由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
3．过四棱锥P－ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有( )
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
答案 C
解析 如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为相应棱的中点，
则NE∥PB，且NE⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，所以NE∥平面PBD，
同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行，
由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，
所以与平面PBD平行的直线有6条．
4.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq \f(PF,FC)等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq \f(PF,FC)＝eq \f(AG,GC).又AD∥BC，E为AD的中点，所以eq \f(AG,GC)＝eq \f(AE,BC)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(PF,FC)＝eq \f(1,2).
5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥EB B．A1B1∥NE
C．四边形MNEF为平行四边形 D．四边形MNEF为梯形
答案 D
解析 由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，
M∉平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误；
由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；
∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，
故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．
二、多项选择题
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是( )
答案 AC
解析 对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
图1
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，
图2
又D为BC的中点，∴AB∥OD，∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．
三、填空题
7.如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.
答案 eq \f(5,2)
解析 ∵α∥β，∴CD∥AB，则eq \f(PC,PA)＝eq \f(CD,AB)，∴AB＝eq \f(PA×CD,PC)＝eq \f(5×1,2)＝eq \f(5,2).
8.如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________．
答案 矩形
解析 因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.
同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形．
又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四边形EFGH为矩形．
四、解答题
9．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2eq \r(2)，PB＝PC＝eq \r(6)，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)求证：EF∥平面ADO；
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积．
(1)证明 设AF＝tAC，
则eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝(1－t)eq \(BA,\s\up6(→))＋teq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
因为BF⊥AO，所以eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝[(1－t)eq \(BA,\s\up6(→))＋teq \(BC,\s\up6(→))]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\(BA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))))＝(t－1)eq \(BA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,2)teq \(BC,\s\up6(→))2＝4(t－1)＋4t＝0，
解得t＝eq \f(1,2)，则F为AC的中点，又D，E，O分别为PB，PA，BC的中点，
于是EF∥PC，DO∥PC，所以EF∥DO，又EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，
所以EF∥平面ADO.
(2)解 如图，连接DE，OF，过P作PM垂直于OF，交FO的延长线于点M，
因为PB＝PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，
在Rt△PBO中，PB＝eq \r(6)，BO＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(2)，所以PO＝eq \r(PB2－OB2)＝eq \r(6－2)＝2，
因为AB⊥BC，OF∥AB，所以OF⊥BC，
又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF，
又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，
又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱锥P－ABC的高为PM，
因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，所以PM＝POsin 60°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
又S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2)，所以V三棱锥P－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·PM＝eq \f(1,3)×2eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \f(2\r(6),3).
10．如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点．
(1)求证：GH∥BF；
(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位置并证明；若不存在，说明理由．
(1)证明 连接BD，
∵四边形ABCD为平行四边形，由题意可得，G是线段BD的中点，
则G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF.
(2)解 存在，P是线段CD的中点，理由如下：
由(1)可知，GH∥BF，
GH⊂平面GHP，BF⊄平面GHP，
∴BF∥平面GHP，连接PG，PH，
∵P，H分别是线段CD，DF的中点，则HP∥CF，
HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，
∴CF∥平面GHP，
BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF，
故平面GHP∥平面BCF.
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊄α,b⊂α,a∥b))⇒a∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))⇒β∥α
性质定理
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b