2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.1　直线的方程（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
4．直线方程的五种形式
常用结论
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．( √ )
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．( × )
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( × )
(4)经过P0(x0，y0)的任意直线方程可表示为y－y0＝k(x－x0)．( × )
2．已知点A(2,0)，B(3，eq \r(3))，则直线AB的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B
解析 由题意得直线AB的斜率k＝eq \f(\r(3)－0,3－2)＝eq \r(3)，设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝eq \r(3)，
∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____．
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，
设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，则eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
4．直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为________．
答案 (1，－1)
解析 直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋1＝0，,y＋x＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))故所过的定点坐标为(1，－1).
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[－eq \r(3)，1] B．(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)
答案 B
解析 如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝eq \f(1－0,2－1)＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)．
延伸探究 本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
(2)已知直线l的方程为xsin α＋eq \r(3)y－1＝0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))
答案 B
解析 xsin α＋eq \r(3)y－1＝0，则k＝－eq \f(\r(3),3)sin α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，故k＝tan θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以当k∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))时，直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))；当k∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))时，直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))，综上所述，直线l的倾斜角θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)).
思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．
跟踪训练1 (1)已知直线l的一个方向向量为p＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)，cs \f(π,3)))，则直线l的倾斜角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 A
解析 由题意可得，直线l的斜率k＝eq \f(cs \f(π,3),sin \f(π,3))＝eq \f(\r(3),3)，又倾斜角的范围是[0，π)，所以k＝eq \f(\r(3),3)＝tan eq \f(π,6)，即直线l的倾斜角为eq \f(π,6).
(2)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2eq \r(3)，则边AC所在直线斜率的一个可能值为________．
答案 －eq \f(3\r(3),5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(\r(3),7)))
解析 设直线AB的倾斜角为α，由已知得kAB＝tan α＝2eq \r(3)，设直线AC的倾斜角为θ，则kAC＝tan θ，
因为在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以θ＝α±60°，
当θ＝α＋60°时，tan θ＝tan(α＋60°)＝eq \f(tan α＋tan 60°,1－tan αtan 60°)＝eq \f(2\r(3)＋\r(3),1－2\r(3)×\r(3))＝－eq \f(3\r(3),5)，所以kAC＝－eq \f(3\r(3),5)；
当θ＝α－60°时，tan θ＝tan(α－60°)＝eq \f(tan α－tan 60°,1＋tan αtan 60°)＝eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq \f(\r(3),7)，所以kAC＝eq \f(\r(3),7)，
综上，kAC＝－eq \f(3\r(3),5)或kAC＝eq \f(\r(3),7).
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－eq \f(1,4)；
(2)斜率为eq \f(3,4)，且与两坐标轴围成的面积为6；
(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍．
解 (1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－eq \f(1,4)，∴y＋3＝－eq \f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)设直线方程为y＝eq \f(3,4)x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－eq \f(4,3)b，
∴eq \f(1,2)|b|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)b))＝6，解得b＝±3，∴直线方程为y＝eq \f(3,4)x±3，即3x－4y±12＝0.
(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)，
∴1＝2k，解得k＝eq \f(1,2)，∴直线方程为y＝eq \f(1,2)x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，,a＝2b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2，))∴直线方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0；
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
思维升华 求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
跟踪训练2 (1)过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 C
解析 当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1,4)代入y＝kx，
求得k＝4，故方程为y＝4x；当截距不为0时，
①若截距相等，设方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，将P(1,4)代入，即eq \f(1,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝5，故方程为x＋y＝5.
②若截距互为相反数，设直线方程为eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1，
将P(1,4)代入，即eq \f(1,a)－eq \f(4,a)＝1，解得a＝－3，故方程为x－y＋3＝0.
一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．
(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是( )
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0
答案 B
解析 如图所示，设∠BAC的角平分线所在直线l与横轴的交点为D(a,0)，
由角平分线的性质可知eq \f(|AB|,|AC|)＝eq \f(|BD|,|DC|)⇒eq \f(\r(2＋22＋32),3)＝eq \f(a＋2,2－a)⇒a＝eq \f(1,2)，
所以∠BAC的角平分线所在直线l的方程是eq \f(y－3,0－3)＝eq \f(x－2,\f(1,2)－2)⇒2x－y－1＝0.
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解 方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)，
S△AOB＝eq \f(1,2)(1－2k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,k)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4＋－4k＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)))))≥eq \f(1,2)×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－eq \f(1,k)，即k＝－eq \f(1,2)时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，则1＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)×8＝4，当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)，即a＝4，b＝2时，等号成立，
故直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解 由本例方法二知，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq \f(a,b)＋eq \f(2b,a)≥3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(2b,a)，
即a＝2＋eq \r(2)，b＝1＋eq \r(2)时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋eq \r(2)y－2－eq \r(2)＝0.
2．在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解 由本例方法一知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,k)，0))，B(0,1－2k)(k<0)．
所以|MA|·|MB|＝eq \r(\f(1,k2)＋1)·eq \r(4＋4k2)＝2×eq \f(1＋k2,|k|)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－k＋\f(1,－k)))≥4.当且仅当－k＝－eq \f(1,k)，
即k＝－1时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
跟踪训练3 (1)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(－∞，0)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
答案 C
解析 若a＝0，则l的方程为x＝－eq \f(3,2)，不经过第四象限；若a≠0，将l的方程转化为y＝－eq \f(a－2,a)x－eq \f(2a－3,a)，
因为l经过第四象限，所以－eq \f(a－2,a)<0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a－2,a)≥0，,－\f(2a－3,a)<0，))解得a<0或a>eq \f(3,2).
综上，a的取值范围为(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
(2)已知直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点A，点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则eq \f(2,m)＋eq \f(2,n)的最小值为( )
A．4 B．4＋4eq \r(2)
C．8 D．4－4eq \r(2)
答案 C
解析 由kx－y＋2k－2＝0，得y＝k(x＋2)－2.
∴直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点(－2，－2)，即A(－2，－2)，
∵点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴m＋n＝1，
∴eq \f(2,m)＋eq \f(2,n)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝8，当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(m,n)，即m＝n＝eq \f(1,2)时取等号．
∴eq \f(2,m)＋eq \f(2,n)的最小值为8.
课时精练
一、单项选择题
1．在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为( )
A．45° B．135° C．90° D．180°
答案 A
解析 由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，
则k＝tan α＝eq \f(2－0,0－－2)＝1，故倾斜角α＝45°.
2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c不过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 直线方程为y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(c,b)，其斜率－eq \f(a,b)>0，直线在y轴的截距eq \f(c,b)<0，据此可知直线不经过第二象限．
3．已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－eq \f(3,2)(x＋4) B．y＋3＝eq \f(3,2)(x－4)
C．y－3＝eq \f(3,2)(x＋4) D．y＋3＝－eq \f(3,2)(x－4)
答案 C
解析 因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝eq \f(3,2)，故直线l的方程为y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)．
4．直线l的倾斜角是直线eq \r(3)x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(eq \r(3)，－1)，则直线l的方程为( )
A.eq \r(3)x－y－4＝0 B．2eq \r(3)x－y－7＝0
C.eq \r(3)x＋y－2＝0 D.eq \r(3)x＋y－4＝0
答案 C
解析 直线eq \r(3)x－y－1＝0可化为y＝eq \r(3)x－1，其斜率为eq \r(3)，∴其倾斜角为60°，∴直线l的倾斜角为120°，∴kl＝tan 120°＝－eq \r(3)，∴直线l的方程为y＋1＝－eq \r(3)(x－eq \r(3))，即eq \r(3)x＋y－2＝0.
5．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为( )
A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0
C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝0
答案 C
解析 因为直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，
所以4a1＋3b1＋1＝0,4a2＋3b2＋1＝0.
由上式可得点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)都在直线4x＋3y＋1＝0上，
即过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为4x＋3y＋1＝0.
6．已知直线l：y＝eq \f(1,2)x＋1与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转45°后与x轴交于点Q，要使直线l平移后经过点Q，则应将直线l( )
A．向左平移eq \f(1,6)个单位长度 B．向右平移eq \f(1,6)个单位长度
C．向左平移eq \f(5,3)个单位长度 D．向右平移eq \f(5,3)个单位长度
答案 D
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝eq \f(1,2)，旋转后的直线斜率为tan(α＋45°)＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝3，又点P坐标为(0,1)，所以旋转后的直线方程为y＝3x＋1，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0))，因为直线l过点(－2,0)，所以把直线l向右平移eq \f(5,3)个单位长度后经过点Q.
二、多项选择题
7．已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是( )
A．若ab>0，则直线l的斜率小于0
B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°
C．直线l可能经过坐标原点
D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°
答案 ABD
解析 若ab>0，则直线l的斜率－eq \f(a,b)<0，故A正确；若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝eq \f(2,a)，其倾斜角为90°，故B正确；将(0,0)代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝eq \f(2,b)，其倾斜角为0°，故D正确．
三、填空题
8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
解析 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6≤0，,3－2k≤0，))得k≥eq \f(3,2).
9．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________．
答案 y＝－eq \f(5,3)x或x－y＋8＝0
解析 过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数，
当截距为0时，所求直线斜率为－eq \f(5,3)，方程为y＝－eq \f(5,3)x，即5x＋3y＝0；
当截距不为0时，设所求直线方程为x－y＝a，代入M的坐标，可得a＝－3－5＝－8，
即直线方程为x－y＋8＝0.综上可得所求直线方程为y＝－eq \f(5,3)x或x－y＋8＝0.
10．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．
答案 (0，－2) [1,3]
解析 由题意得直线l：y＝kx－2过定点C(0，－2)，又点A(2,4)，B(4,2)，kCA＝eq \f(4－－2,2－0)＝3，kCB＝eq \f(2－－2,4－0)＝1，
要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]．
四、解答题
11．根据所给条件求直线方程．
(1)直线过点A(1,2)，倾斜角α的正弦值为eq \f(3,5)；
(2)直线过点A(1,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；
(3)直线过点A(2,4)，B(－2,8)．
解 (1)因为sin α＝eq \f(3,5)，所以k＝tan α＝±eq \f(3,4)，则所求直线方程为y－2＝±eq \f(3,4)(x－1)，
即3x－4y＋5＝0或3x＋4y－11＝0.
(2)依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，
可设直线方程为eq \f(x,m)＋eq \f(y,8－m)＝1，代入点A(1,3)，可得eq \f(1,m)＋eq \f(3,8－m)＝1，解得m＝2或m＝4，
所以所求直线方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1或eq \f(x,4)＋eq \f(y,4)＝1，即所求直线方程为3x＋y－6＝0或x＋y－4＝0.
(3)直线斜率k＝eq \f(4－8,2－－2)＝－1，则所求直线方程为y－4＝－(x－2)，即x＋y－6＝0.
12．已知直线l：x－ky＋2＋k＝0(k∈R)．
(1)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程．
解 (1)当k＝0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为x＝－2，不经过第一象限；
当k≠0时，方程x－ky＋2＋k＝0可化为y＝eq \f(1,k)x＋eq \f(2,k)＋1，要使直线不经过第一象限，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,k)≤0，,\f(2,k)＋1≤0，))解得－2≤k<0.综上，k的取值范围为[－2,0]．
(2)由题意可得k>0，由x－ky＋2＋k＝0，令y＝0，得x＝－2－k，令x＝0得y＝eq \f(2＋k,k)，
所以S＝eq \f(1,2)|OA||OB|＝eq \f(1,2)·eq \f(2＋k,k)·(2＋k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(4,k)＋4))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(k·\f(4,k))＋4))＝4，
当且仅当k＝eq \f(4,k)，即k＝2时取等号，此时Smin＝4，直线l的方程为x－2y＋4＝0.名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0