2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.8　直线与圆锥曲线的位置关系（2份打包，原卷版+含解析）

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1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)，
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(y1＋y22－4y1y2).
常用结论
1．已知M，N是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－eq \f(b2,a2).
2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则kMN·kOP＝eq \f(b2,a2).
3．若曲线为抛物线，P(x0，y0)为弦MN的中点：kMN＝eq \f(p,y0)(开口向右)，kMN＝－eq \f(p,y0)(开口向左)，kMN＝eq \f(x0,p)(开口向上)，kMN＝－eq \f(x0,p)(开口向下)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))的直线一定与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1相交．( )
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．( )
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．( )
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．( )
2．直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1有且只有一个交点，则k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3) C．±eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(3),3)
3．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
4．已知点A，B是双曲线C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(4,9) D.eq \f(9,4)
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)(多选)直线y＝kx－eq \r(2)k＋eq \f(\r(6),2)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的位置关系可能为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．有3个公共点
(2)已知直线y＝2x＋2与双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(00)有且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为( )
A．5 B.eq \r(5) C.eq \f(5,2) D.eq \f(\r(5),2)
跟踪训练1 (1)已知抛物线C：y2＝4x，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为( )
A．(0,1) B．(1，－3) C．(3,4) D．(2，－2)
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1，过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
题型二 弦长问题
例2 已知椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦点为F(eq \r(2)，0)，且离心率为eq \f(\r(6),3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝eq \r(3).
跟踪训练2 已知焦点在x轴上的椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，短轴长为2eq \r(3)，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝eq \f(18\r(2),7)，求直线l的方程．
题型三 中点弦问题
例3 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(\r(2),2)，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
跟踪训练3 (1)已知双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是( )
A．6x＋y－11＝0 B．6x－y－11＝0
C．x－6y－11＝0 D．x＋6y＋11＝0
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,2))) D．(1,1)
课时精练
一、单项选择题
1．已知直线kx－y＋2＝0与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为( )
A．(4,9] B．[4，＋∞)
C．[4,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)
2．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
3．直线x＋4y＋m＝0交椭圆eq \f(x2,16)＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，直线l：y＝x＋2.若以F1，F2为焦点的椭圆C与直线l有公共点，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A.eq \f(\r(10),5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为eq \r(3)的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若△MNF1的周长为36，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,10)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
二、多项选择题
7．关于双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1，下列说法正确的是( )
A．该双曲线与双曲线eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1有相同的渐近线
B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B，若|AB|＝5，则满足条件的直线只有一条
C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，\f(\r(5),2)))
D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
三、填空题
8．已知m为实数，直线mx＋y－1＝0与椭圆eq \f(x2,m2)＋y2＝1的交点个数为________．
9．已知椭圆T：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若|AB|＝eq \f(8\r(2),5)，则椭圆T的方程为________．
10．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________．
四、解答题
10．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,2)，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围．
11．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，eq \r(23))在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2eq \r(2)，求直线l的方程．