2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第10章　§10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征（2份打包，原卷版+含解析）

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1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值(数学期望)
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常用结论
1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．( )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．( )
2．已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A.eq \f(7,3) B．4 C．－1 D．1
3．已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则E(X)＝________，D(X)＝________.
4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
题型一 分布列的性质
例1 (1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
则下列计算结果正确的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq \f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)