初升高数学衔接讲义 第11讲.函数的单调性与最值（教师版+学生版）

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单调性的概念（一般地，设函数的定义域为，区间.）
2.单调区间的定义
如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间．
3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
①设元——设是给定区间内的任意两个数，且;
②作差——计算化简至最简（方便判断因式正负）；
③判号——判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论；
④定论——根据符号下结论.
判断函数单调性的方法：
定义法；
图像法；
性质法：①与具有相同的单调性；
②与，当时单调性相同；当时，单调性相反；
③当，都是增(减)函数时，是增(减)函数；
④当恒不为零时，与具有相反的单调性；
⑤当时，与具有相同的单调性．
若函数的定义域为且满足，则函数在上为( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不能确定
函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间.
利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性.
（2）
研究函数的性质.
判断下列函数的单调性，并求其单调区间.
（1） （2） （3）
函数最值
函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：
①，都有；②，使得.那么称是的最大值.
函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：
①，都有；②，使得.那么称是的最小值.
如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.
求下列函数的值域.
（1） （2）
若函数的单调减区间是，求实数的取值范围；
若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
已知函数．若对任意，恒成立，试求的取值范围．
若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
已知函数是定义在区间上的减函数，解不等式．
设函数，其中为常数.
对任意，当时，，求实数的取值范围；
在（1）的条件下，求在区间上的最小值.
定义在上的函数满足，且当时，.
求的值；
求证：；
求证：在上是增函数；
若，解不等式；
比较与的大小.
跟踪训练
下列函数在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
已知在区间是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
函数的图象的对称轴为直线，则 （ ）
A. B.
C. D.
若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______.
若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_______.
求函数在区间上的值域是_______.
函数在区间的最大值为4，则________.
若函数在上递增，在上递减，则 ___ .
已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.
函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
已知是定义在上的减函数，则应满足 （ ）
A. B. C. D.
若函数与在上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
已知函数.
当时，求的最小值；
当时，求的最小值；
若为正常数，求的最小值.
利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．
已知函数对任意，总有，且当时，
，.
求证：是上的减函数；
求是上的最大值和最小值.
设，当时，恒成立，求的取值范围．
已知函数是定义在上的增函数，且，解不等式.
名称
定义
几何意义
图形表示
增函数
如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.
的图象在区间上呈上升趋势
减函数
如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.
的图象在区间上呈下降趋势