初升高物理衔接讲义 07 自由落体运动（教师版+学生版）

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[注意]：不考虑空气阻力作用，不同轻重的物体下落的快慢是相同的.
竖直上抛运动：将物体以一定初速度沿竖直方向向上抛出，物体只在重力作用下运动（不考虑空气阻力作用）.
[注意]：①运动到最高点v= 0，a = -g（取竖直向下方向为正方向）
②能上升的最大高度hmax=v0 2 /2g，所需时间t =v0/g.
③质点在通过同一高度位置时，上升速度与下落速度大小相等；物体在通过一段高度过程中，上升时间与下落时间相等（t =2v0/g）.
一、自由落体运动
（1）定义：物体只在重力的作用下从静止开始下落的运动。
（2）特点：自由落体是初速度为零的匀加速直线运动。
（3）重力加速度
同一地点，一切物体的自由落体的加速度都相同，这个加速度叫重力加速度，用g表示
地球上不同的纬度、高度g值不同。（纬度越大，g越大；高度越高，g越小。）其方向为竖直向下。通常的计算，g值取9.8m/s2，粗略计算：g=10m/s2
（4）自由落体运动的规律
1、自由落体运动的规律可以用以下四个公式来概括
■
2、以下几个比例式对自由落体运动也成立
①物体在1T末、2T末、3T末……nT末的速度之比为
v1：v2：v3：……：vn=1：2：3:……：n
②物体在1T内、2T内、3T内……nT内的位移之比为
h1：h2：h3：……：hn=1：4：9:……：n2
③物体在第1T内、第2T内、第3T内……第nT内的位移之比为
H1：H2：H3：……：Hn =1：3：5……(2n-1)
④通过相邻的相等的位移所用时间之比为
t1：t2：t3：……：tn=1：()：()：……：()
课程要求
理解什么是自由落体运动．知道它是初速度为零的匀加速直线运动．
理解什么是自由落体加速度，知道它的方向．知道在地球的不同地方，重力加速度大小不同．
初步掌握自由落体运动的规律．
典例剖析
[典例1]关于自由落体运动,下列说法正确的是( )
A.物体竖直向下的运动一定是自由落体运动
B.自由落体运动是初速度为零、加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动
C.物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动
D.当空气阻力的作用比较小,可以忽略不计时,物体自由下落可视为自由落体运动
【答案】BCD
【解析】自由落体运动是物体只在重力作用下从静止开始下落的运动,它是一种初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动.如果空气阻力的作用比较小,可以忽略不计,此时物体的下落也可以看做自由落体运动,所以选项B、C、D正确,选项A不正确.
实际中当阻力相对于重力可以忽略时,才可以把物体自由下落的运动看成自由落体运动,它是一种理想化运动.
[典例2]做自由落体运动的甲、乙两物体所受的重力之比为2 : 1，下落高度之比为l: 2，则
下落时间之比是1:2 B．落地速度之比是1:1
C．落地速度之比是1: D．下落过程中的加速度之比是2:1
【答案】C
【解析】根据自由落体公式可知，虽然重力之比为2:1，但是重力加速度一样，D错，所以当下落高度之比为1:2，则下落时间之比为1:。所以下落速度v=gt之比为1:，B错，所以选择C
[典例3]从离地面80 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求：
(1)经过多长时间落到地面；
(2)自开始下落时计时，在第1 s内和最后1 s内的位移；
【答案】（1）4s（2）5m 35m
【解析】（1）由自由落体运动规律
解得t=4s
（2）第1 s内的位移
最后1 s内的位移
点评：本题还可以用比例关系求解和图象求解。
对点精练
不定项选择题
1.在真空中，将苹果和羽毛同时从同一高度由静止释放，下列频闪照片中符合事实的是( )
【答案】选C
【解析】 在真空中，将苹果和羽毛同时从同一高度由静止释放，苹果和羽毛都做自由落体运动，故频闪照片C符合事实．
2.甲物体的质量是乙物体质量的5倍，它们同时从同一点由静止开始下落，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先着地 B．甲的落地速度比乙的落地速度大
C．甲比乙加速度大 D．下落过程中，两者在任意时刻的速度和离地的高度都相同
【答案】D
【解析】物体做自由落体运动的加速度与质量无关，均等于g
A、它们同时从同一点由静止开始下落，由，可得下落时间一样长，所以同时落地，A错
B、根据自由落体公式，可得，落地时速度相等，B错
C、自由落体加速度相同，均等于g，C错
D、两者同时从同一点由静止开始下落，加速度又相同，运动情况完全一样，两者在任意时刻的速度和离地的高度都相同，所以D对
3. 关于自由落体运动，下列说法正确的是（ ）
A．同一地点不同物体做自由落体运动时的加速度相同
B．只要物体只受重力作用就一定做自由落体运动
C．自由落体运动是匀加速直线运动
D．在地球上同一地点，从同一高度做自由落体的物体，落地时间与物体的质量有关
【答案】AC
【解析】A、因为物体做自由落体运动的条件：①只在重力作用下②从静止开始．只在重力作用下保证了物体的加速度为g，则同一地点，加速度相同；从静止开始保证了物体初速度等于零．所以只受重力作用不一定是做自由落体，故A正确，B错误．
C、自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故C正确．
D、从同一高度做自由落体运动的不同物体，保证了物体的加速度为g；从静止开始保证了物体初速度等于零，下落的快慢相同，与质量无关，故D错误．
4.一物体做自由落体运动,那么在任意一秒内( )
A.物体的末速度一定比初速度大9.8 m/s
B.物体的末速度一定等于初速度的9.8倍
C.物体的位移一定等于前一秒内位移的9.8倍
D.物体的位移一定比前一秒内的位移大9.8 m
【答案】AD
【解析】物体在t s末的速度vt=gt,在(t+1) s末的速度vt+1=g(t+1),故Δv=vt+1-vt=g.物体在相邻的两个1秒内位移之差Δx=gT2=g,故选项AD正确.
5.一物体做自由落体运动．从下落开始计时，重力加速度g取10m/s2．则物体在第5s内的位移为（ ）
A. 10 mB. 125 mC. 45 mD. 80 m
【答案】C
【解析】
解：物体在第5s内的位移h==45m
故选：C。
6.如图所示图象中能够反映自由落体运动规律的是( )
【答案】BCD
【解析】选项A中xt图象表示的是匀速直线运动,而自由落体运动是加速度不变的匀加速直线运动,故选项B、C、D三项正确.
7.一物体做自由落体运动，取g=10m/s2。关于该物体的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A. 第1s末的速度为B. 第1s末的速度为
C. 第1s内下落的距离为15mD. 第1s内下落的距离为5m
【答案】D
【解析】AB.自由落体运动的物体第1s末的速度为：v=gt=10×1=10m/s，故AB错误；
CD.自由落体运动的物体第1s内下落的距离为：h=m，故C错误，D正确。故选D。
8.下列关于自由落体运动的说法正确的是( )
A.在真空条件下,石头将比纸片先落地
B.自由落体运动是初速度为0,加速度大小为g,方向竖直向下的匀加速直线运动
C.离地20 m的高度,物体从赤道落下所用的时间比从北极落下所用的时间长
D.随着高度的增加,重力加速度大小不变
【答案】BC
【解析】在真空条件下,任何物体在同一地点做自由落体运动时,因其重力加速度相等,故它们的快慢效果是相同的,选项A错,选项B正确;自由落体运动的时间有t= QUOTE ,可见,t除了与h有关,还与g有关,因为赤道处的重力加速度比两极处小,所以从赤道落下所用时间较长,选项C正确;随着高度的增加,重力加速度逐渐减小,选项D错.
9.从某一高处释放一小球甲，经过0.5 s从同一高处再释放小球乙，在两小球落地前，则( )
A．它们间的距离保持不变
B．它们间的距离不断减小
C．它们间的速度之差不断增大
D．它们间的速度之差保持不变
【答案】D
【解析】：选D 两球下落距离之差Δx＝eq \f(1,2)gt2－eq \f(1,2)g(t－0.5)2＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))，可见，两球落地之前它们之间的距离不断增大，故A、B错误；又因为速度之差Δv＝gt－g(t－0.5)＝0.5g，故C错误，D正确．
10. 如图所示，甲同学用手拿着一把长50cm的直尺，并使其处于竖直状态；乙同学把手放在直尺0刻度线位置做抓尺的准备．某时刻甲同学松开直尺，直尺保持竖直状态下落，乙同学看到后立即用手抓直尺，手抓住直尺位置的刻度值为20cm；重复以上实验，乙同学第二次手抓住直尺位置的刻度值为10cm．直尺下落过程中始终保持竖直状态．若从乙同学看到甲同学松开直尺，到他抓住直尺所用时间叫“反应时间”，取重力加速度g=10m/s2．则下列说法中不正确的是（ ）
A．若将尺子上原来的长度值改为对应的“反应时间”值，则可用上述方法直接测出“反应时间”
B．若某同学的“反应时间”大于0.4s，则用该直尺将无法用上述方法测量他的“反应时间”
C．乙同学第一次抓住直尺的瞬间，直尺的速度约为4m/s
D．乙同学第一次的“反应时间”比第二次长
【答案】C
【解析】A、将计算出的反应时间对应到尺子上的长度时，可用上述方法直接测出“反应时间”；故A正确；
B、若某同学的反应时间为0.4s，则下落的高度：，大于该直尺的长度，所以将无法测量该同学的反应时间．故B正确．
C、由可知，乙第一次抓住直尺的速度；故C错误；
D、直尺下降的高度h．根据得，所以下落的高度最大的用的时间最长，所以第一次测量的反应时间最长．故D正确；
因选不正确的，故选：C
11.一个小石块从空中a点开始做自由落体运动，先后经过b点和c点．已知石块经过b点时的速度为v，经过c点时的速度为3v，则ab段与bc段的位移之比为( )
A．1∶3 B．1∶5
C．1∶8 D．1∶9
【答案】C
【解析】： ab段的位移为xab＝eq \f(v2,2g)，bc段的位移为xbc＝eq \f(3v2－v2,2g)＝eq \f(8v2,2g)，所以xab∶xbc＝1∶8，选项C正确．
12.物体从离地面45 m高处做自由落体运动(g取10 m/s2),则下列选项中正确的是( )
A.物体运动3 s后落地
B.物体落地时的速度大小为30 m/s
C.物体在落地前最后1 s内的位移为25 m
D.物体在整个下落过程中的平均速度为20 m/s
【答案】ABC
【解析】由x= QUOTE gt2得t= QUOTE =3 s
落地速度:v=gt=30 m/s
最后1 s内位移:Δx= QUOTE g QUOTE - QUOTE g QUOTE =25 m,
全程的平均速度: QUOTE = QUOTE = QUOTE =15 m/s.
则选项A、B、C正确.
13.甲、乙两物体的质量之比为1∶2,甲、乙两物体所在的位置高度之比为2∶1,它们都做自由落体运动,则下列说法中正确的是( )
A.下落的时间之比是1∶2
B.落地时的速度之比是 QUOTE ∶1
C.下落过程中加速度之比是1∶1
D.下落过程中最后1秒内速度的增加量之比是1∶1
【答案】BCD
【解析】因为h= QUOTE gt2,所以t= QUOTE ∝ QUOTE ,即t甲∶t乙= QUOTE ∶1,选项A错;因为v= QUOTE ∝ QUOTE ,即v甲∶v乙= QUOTE ∶1,故选项B正确;又因加速度是g,所以每1秒内Δv=g,选项C、D正确.
14.关于自由落体运动的加速度g,下列说法正确的是( )
A.重的物体的g值大
B.同一地点的轻、重物体的g值一样大
C.g值在地面任何地方一样大
D.g值在赤道处小于南北两极处
【答案】BD
【解析】地面附近的重力加速度(即自由落体加速度)g,随纬度的增加而增大,随高度的增加而减小,故B、D正确.
二、填空题
15.某个由静止自由下落的物体，忽略空气阻力，落地前最后一秒下落的高度为25米，由此可知，该物体是从______m高的地方下落的，落地速度大小为______m/s．（g取10m/s2）
【答案】45；30
【解析】
解：设下落的总时间为t，根据，
代入数据解得t=3s，
则下落的高度h=，
落地的速度v=gt=10×3m/s=30m/s，
故答案为：45，30．
根据匀变速直线运动的位移时间公式，结合最后1s内的位移求出下落的总时间，根据位移时间公式求出下落的高度，结合速度时间公式求出落地的速度．
16.高空作业的电业工人，在操作过程中，不慎将一螺母脱落，经2s螺母落地，取g=10m/s2，则螺母脱落处距地面的高度h=______m；螺母落地时的速度大小v=______m/s．
【答案】20；20
【解析】根据位移时间公式，有
根据速度时间公式，有
v=gt=10m/s2×2s=20m/s
故答案为：20，20．
螺母下落后做自由落体运动，根据自由落体运动的基本公式即可求解．
17.一矿井深45米,在井口每隔一定时间自由落下一个小球,当第7个小球从井口开始下落时,第1个小球恰好落至井底,问:(g=10 m/s2)
(1)相邻两个小球下落的时间间隔是多少?
(2)这时第3个小球和第5个小球相距多远?
【答案】(1)0.5 s (2)15 m
【解析】(1)第1个小球落至井底的时间为t,
则由x= QUOTE gt2得:t= QUOTE = QUOTE =3 s,
第1个小球至第7个小球间共有6个时间间隔
则Δt= QUOTE =0.5 s.
(2)第3个小球下落的时间为t1=2 s;
x1= QUOTE g QUOTE = QUOTE ×10 m/s2×(2 s)2=20 m,
第5个小球下落时间为t2=1 s;
x2= QUOTE g QUOTE = QUOTE ×10 m/s2×(1 s)2=5 m,
Δx=x1-x2=15 m.
18.屋檐每隔一定时间滴下一滴水,当第5滴正欲滴下时,第1滴刚好落到地面,而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿,如图所示,问:滴水的时间间隔是多少?屋檐离地面多高?(g取10 m/s2)
【答案】0.2 s 3.2 m
【解析】设屋檐离地面高为x,滴水间隔为T.
由x= QUOTE gt2得
第2滴水的位移x2= QUOTE g(3T)2①
第3滴水的位移x3= QUOTE g(2T)2②
又因为x2-x3=1 m,③
联立①②③,
解得T=0.2 s,
屋檐高x= QUOTE g(4T)2= QUOTE ×10 m/s2×(4×0.2 s)2=3.2 m.
本题中水滴间的距离最大是第1、2滴之间,最小的是第4、5滴之间,求解时容易反过来,要注意辨析.
19.一个物体从H高处自由落下，经过最后200 m所用的时间是4 s，求物体下落H所用的总时间T和高度H是多少？(g取10 m/s2，空气阻力不计)
【答案】：7 s 245 m
【解析】 解法一：基本公式法
根据题意画出小球的运动示意图如图所示，其中t＝4 s，h＝200 m.
根据自由落体公式得：H＝eq \f(1,2)gT2，H－h＝eq \f(1,2)g(T－t)2.
得：h＝gTt－eq \f(1,2)gt2，所以T＝7 s，H＝eq \f(1,2)gT2＝245 m.
解法二：平均速度法
由题意得最后4 s内的平均速度为：eq \x\t(v)＝eq \f(h,t)＝eq \f(200,4) m/s＝50 m/s
因为在匀变速运动中，某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，所以下落至最后2 s时的瞬时速度为：vt′＝eq \x\t(v)＝50 m/s.由速度公式得下落至最后2 s的时间：t′＝eq \f(vt′,g)＝eq \f(50,10) s＝5 s．所以T＝t′＋eq \f(t,2)＝5 s＋eq \f(4,2) s＝7 s，H＝eq \f(1,2)gT2＝245 m.
解法三：v－t图象法
画出这个物体自由下落的v－t图象，如图所示．
开始下落后经时间(T－t)和T后的速度分别为g(T－t)、gT.图线的AB段与t轴间的面积表示在时间t内下落的高度h.由h＝t，得T＝eq \f(\f(2h,t)＋gt,2g)＝7 s，H＝eq \f(1,2)gT2＝245 m.