初升高物理衔接讲义 11 高中物理学习的数学基础——三角函数和角的弧度制（教师版+学生版）

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知识精讲
一、锐角三角函数
1.1锐角三角函数的定义
（1）直角三角形的三条边：
如图所示，在直角三角形ΔABC中，∠C是直角。则AC、BC叫做直角边，AB叫做斜边。∠A、∠B都是锐角。对于∠A来说，AC叫做∠A的邻边，BC叫做∠A的对边。
（2）锐角三角函数
初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值。
关于这点，我们看下图，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值。如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上。不难看出：
B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，
∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，
因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值。
根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值。
这样，在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作SinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作CsA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数。
三角函数定义如下：
设∠A=α，并令AC=x，BC=y，AB=r，则α的四个三角函数值定义为：
∠A 的正弦、余弦、正切、余切统称为三角函数（高中数学还将会学到其它的三角函数名称）。
1.2 锐角三角函数的主要性质
1. 三角函数值只是一个比值，由角的大小唯一确定，与直角三角形的边长无关。
2．Sinα、Csα、tanα、ctα均为正值。
3.当0<α<90°时，正弦与正切函数为增函数；余弦与余切函数为减函数
4.对于同一个角α，存在如下的关系：
①平方和关系：
②比值的关系：
③倒数关系：
5. 若α、β互为余角，则有：
Sinα=Csβ,Csα=Sinβ,tanα=ctβ,ctα=tanβ
6．若α、β互为补角，则有：
Sinα= Sin（1800-β）= Sinβ Csα= Cs（1800-β）=- Csβ
tanα= tan（1800-β）=- tanβ ctα= ct（1800-β）=- ctβ
1.3 0－90°之间的特殊角的各三角函数值：
高中物理计算中经常用到0、30°、37°、45°、53°、60°、90°的角的三角函数的值。现把这些值列在下面的表格中，这些值都是要求记忆的。其它角度的三角函数的值可以查数学用表或用计算器来算
表格中的370和530角同学们在初中很少遇到，但我们在高中物理中经常要用到它们。其实这两个角也是大家很熟悉的，还记得“勾3股4弦必5”吧？在这个直角三角形中，长为5的边所对的是直角，长为3的边所对的锐角就是370，长为4的边对的角就是530。
1.4 正余弦定理
正弦定理
余弦定理 a2=b2=c2-2bccsA b2=a2+c2-2accsB c2=a2+b2-2abcsA
1.5 直线方程
直线y=kx+b图线如图所示
1．直线的斜率k
2．纵截距y0和横截距x0：直线与x、y轴的交点A、B到原点O的距离就是纵截距y0和横截距x0，分别等于x=0和y=0时y的值、x的值，即y0=b x0=
直线的斜率k和纵横截距是图象问题的重要手和方法
1.6 一元二次函数
一元二次函数 y=ax2+bx+c
（1）顶点坐标公式
（2）判别式
（1） 图象与x轴有两个交点
（2） 图象与x轴只有一个交点
（3） 图象与x轴没有交点
（3）配方
主要用于解决极值问题，尤其判别式法是一种非常有效的方法，如解答追击问题。
2. 角的弧度制表示
2．1 弧度制——另一种度量角的单位制
角的单位，除了我们熟知的“度、分、秒”以外，还可以用另一个单位——弧度。它的单位是“弧度”，记作rad ，读作弧度。
在一个圆中，圆心角的弧度值等于圆弧的长度除以圆的半径。所以，当圆弧的长度等于圆的半径长度时，这段圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：
∠AOB=1rad ∠AOC=2rad
2. 2 角度制与弧度制的换算
显然，一个平角是，对应的弧长就是一个“半圆”，如果这个圆的半径是R，那么这段弧长就是πR，所以，180°的角用弧度做单位就是180°=Rπ/R =π弧度πrad。这个关系式可以作为角度与弧度的换算关系式。
由上述关系式可知：
今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略不写。例如：3表示3rad sinπ表示πrad角的正弦
一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住。你能自己推出30°、45°、60°、90°、120°、150°分别等于多少rad了吧！
扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：.
课程要求
1.掌握0－90°之间的特殊角的各三角函数值和相关运算
2. 了解正余弦定理和一元二次函数
3.掌握角度制与弧度制的换算
典例剖析
（典例1）三角函数的定义及性质
△ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形的边长均为 1）， AD  BC 于 D ．下列选项中，错误的是（ ）
A．sin=csB．tanC=2C．tan=1D．sin=cs
【答案】D
【解析】
如图所示：AD=BD，
则∠α=45°，
故sinα=csα=，故选项A正确，不合题意；
tanC==2，故选项B正确，不合题意；
tanα=1，故选项C正确，不合题意；
sinβ=，csβ=,∴sin≠cs，故选项D错误，符合题意；
故选D．
（典例2）特殊角的三角函数值
已知∠A是锐角，且；
【答案】0.5
【解析】
（典例3）解直角三角形，在下列图中填写各直角三角形中字母的值．
【答案】a=10 b=5 c=10 d=10 e= f=
【解析】根据特殊角的三角函数值运算得到结果。
（典例4）实例分析
一船向东航行，上午8时到达处，看到有一灯塔在它的南偏东，距离为72海里的处，上午10时到达处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）
A 海里/小时 B 海里/小时 C 海里/小时 D 海里/小时
【答案】B
【解析】如图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，AB＝72海里，
故AC＝36海里，BC=海里，艘船航行的速度为/2＝18海里/时．
（典例5）一些常用的特殊角三角函数值
（典例6）时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.eq \f(14,3)π B．－eq \f(14,3)π C.eq \f(7,18)π D．－eq \f(7,18)π
【答案】 B
【解析】 分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的eq \f(1,3)，用弧度制表示就是：－4π－eq \f(1,3)×2π＝－eq \f(14,3)π.
（典例7）下列说法不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的eq \f(1,360)，1弧度的角是周角的eq \f(1,2π)
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【答案】 D
【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关．
（典例8）一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________ rad，扇形面积是________.
【答案】 π－2 2(π－2)
【解析】 由题意知r＝2，l＋2r＝πr，∴l＝(π－2)r，
∴圆心角α＝eq \f(l,r)＝eq \f(π－2r,r)＝π－2(rad)，
扇形面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×(π－2)·r·r＝2(π－2)．
对点精练
1.在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，则；
【答案】；．
【解析】∵∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，
∴AB2，
∴csB，
tanA
2.的值等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】
sin60°＝，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝.故选B.
3.在△ABC中，∠C＝90°，，则
【答案】
【解析】∠C＝90°，，则c=，所以
4.已知Rt△中,若cs,则
【答案】10
【解析】如图，
∵csA=5/13=CA/AB，∴设CA＝5x，AB＝13x，
∴BC12x，
而BC＝24，
∴12x＝24，∴x＝2，
∴AC＝5×2＝10．
故答案为10．
5.在△ABC中,若|sinA﹣|+(﹣csB)2=0,∠A,∠B都是锐角,则∠C度数是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．120°
【答案】C
【解析】∵|sinA﹣|=0，（﹣csB）2=0，
∴sinA﹣=0，﹣csB=0，
∴sinA=， =csB，
∴∠A=45°，∠B=30°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
故选C．
6.当角度在到之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 （ ）
A．正弦和正切 B．余弦和余切 C．正弦和余切 D．余弦和正切
【答案】B
【解析】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函数是余弦和余切。
7.在△中,sin, 则cs等于( )
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】直角三角形中，如果，则cs= sin，故选B。
8.当A为锐角，且＜cs∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜45°
【答案】B
【解析】∵cs60°=， cs30°=，
∴30°＜∠A＜60°．故选B．
9.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2 C．2sin 1 D.eq \f(2,sin 1)
【答案】 D
【解析】 设圆的半径为R，则sin 1＝eq \f(1,R)，∴R＝eq \f(1,sin 1)，故所求弧长为l＝α·R＝2·eq \f(1,sin 1)＝eq \f(2,sin 1).
10.在平面直角坐标系内P点的坐标（，），则P点关于轴对称点P／的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，P点的坐标，P点的关于轴对称点P／与P的横坐标相同，纵坐标变为相反数，P／的坐标为 ，故选C。
11. 一个物体点出发，在坡度为的斜坡上直线向上运动到，当m时，物体升高 （ ）
A m B m C m D 不同于以上的答案
【答案】B
【解析】如图，
设BC＝x，AC＝7x，则AB＝5x，
∵AB＝30米，∴5x＝30，
∴x＝，
∴BC＝，故选：B．
12.数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cs34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）
【答案】51m
【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，
∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1（m），
∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），
在Rt△BCD中，tan60°==，
∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7（m），
∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
13.如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。
A
C
D
B
【答案】7（+1）
【解析】在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝30°，
∴BC=AB．
设AB＝x（米），
∵CD＝14，
∴BC＝x+14． ∴x+14=x
解得x=7（+1）
即铁塔AB的高为7（+1）
14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【答案】6.64（米）
【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，
∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=3（米），
在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，
∴cs41.3°=，即OA===4（米），
tan41.3°=，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），
则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．
15.如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60º的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？
【答案】受影响 沿BF距A200千米内有一段100千米的路 10小时
【解析】（1）A城市受影响．
如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，
∵AB＝300，∠ABC＝30°，
∴ACAB＝150＜200，
所以A城会受到这次台风的影响；
（2）如图，

∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，
则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离，
CD50，
∴DE＝100，
则t=10小时．
故A城遭受这次台风影响的时间10小时．
16.某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．
（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，1.73）
【答案】（1）150°（2）0.8米
【解析】（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，
∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，
∴∠DCG=180°–∠CDE=110°，
∴BCG=∠BCD–∠GCD=30°，
∴∠ABC=180°–∠BCG=150°；
（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，
在Rt△CPD中，DP=CD×cs70°≈0.51（米），
在Rt△BCN中，CN=BC×cs30°≈1.04（米），
所以，DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35（米），
如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，
在Rt△CKD中，DK=CD×sin50°≈1.16（米），
所以，DH=DK+KH=3.16（米），
所以，DH–DE≈0.8（米），
所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置约高了0.8米．
17.如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从处运往正东方向的处，在点处测得某岛在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求的度数；
（2）已知在岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．（参考：，）
【答案】（1）30 （2）无触礁危险
【解析】（1）∵，，
∴．
（2）如图，过点作于，
由题意，，，
∴，
∴，
∴（海里），
在中，，
∴，
∵．
所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．
18.(1)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 .
(2)已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
①若，，求扇形的面积；
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.
【答案】（1） （2）① ② 2
【解析】 设圆半径为，则圆内接正方形的对角线长为，∴正方形边长为，∴圆心角的弧度数是.
（2）解 ①.
②由题意知，即，
，
当时，的最大值为25.
当时，，.
即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2.
19.已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【答案】(1) eq \f(π,3). (2) 25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\r(3)))
【解析】(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝eq \f(π,3).
(2)由(1)可知α＝eq \f(π,3)，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)，
∴S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10＝eq \f(50π,3)，
而S△AOB＝eq \f(1,2)·AB·5eq \r(3)＝eq \f(1,2)×10×5eq \r(3)＝25eq \r(3)，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\r(3))).
角度
00
300
370
450
530
600
900
sin
cs
tan
ct
角度θ
正弦（sinθ）
余弦（csθ）
正切（tanθ）
余切（ctθ）
00
0
1
0
300
0.5
370
0.6
0.8
450
1
1
530
0.8
0.6
600
0.5
900
1
0
0