[数学][期末]福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试试题(解析版)，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由复数的运算法则，可得复数，
复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 已知复数z的共轭复数满足，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，所以.
故选：C.
3. 已知两个不同的平面和两条不同的直线，下面四个命题中，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，且，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：当，，，且与相交时，故B错误；
对于C：若，，则或与异面，故C错误；
对于D：若，，根据面面平行的性质定理可得，故D正确.
故选：D.
4. 已知向量满足，向量与的夹角为，则（ ）
A. 12B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】因为，向量与的夹角为．所以，
所以．
故选：C．
5. 已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为，，所以，
所以在上的投影向量为.
故选：D.
6. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 四边形的周长为D. 四边形的面积为
【答案】D
【解析】如图可知，
四边形的周长为，四边形的面积为.
故选：D.
7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由余弦定理，又，
所以，所以，
由正弦定理可得，
又，所以，所以，
又，解得或，
又，所以，则，所以.
故选：C.
8. 如图，在长方体中，，点B到平面的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得点到平面距离为三棱锥的高，
设点到平面距离为，取中点，连接，
因为为长方体，所以，所以，
，，，
所以，，解得.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的内角所对的边分别为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则一定为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，则的最大内角为
D. 若为锐角三角形，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由正弦定理得：，
所以一定为等腰三角形，故A正确；
对于B，因为，又在时为减函数，
所以，故B错误；
对于C，因为，所以角为最大角，
设，由余弦定理得：
，
因为，所以，故C正确；
对于D，若为锐角三角形，则，即，
因为，所以，
因为函数在时为增函数，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 在图示正方体中，O为BD中点，直线平面，下列说法正确的是（ ）．
A. A，C，，四点共面B. ，M，O三点共线
C. 平面D. 与BD异面
【答案】ABD
【解析】由正方体性质，，所以A，C，，四点共面，A正确；
∵直线交平面于点，
平面，直线，又平面，平面，
为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，
平面，且平面，又平面，且平面，
面与面相交，则，，在交线上，即三点共线，故选项正确；
平面平面，平面，
但，所以平面，C错误；
平面，面，，
所以与BD为异面直线，D正确.
故选：ABD.
11. 如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线与直线共面
B.
C. 二面角的平面角余弦值为
D. 过点，，的平面，截正方体的截面面积为9
【答案】ABC
【解析】对于A项，如图①，分别连接，在正方体中，
易得四边形是矩形，故有，又分别是棱的中点，则，
故，即可确定一个平面，故A项正确；
对于B项，如图②，，故B项正确；
对于C项，如图③，连接交于，，
平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，即是二面角的平面角，
又，
故，故C项正确；
对于D项，如图④，连接易得
因平面平面，则为过的平面与平面的一条截线，
即过点的平面即平面.
由，可得四边形为等腰梯形，
故其面积为：，故D项错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为，则该茶壶的容积约为______L（结果精确到0.1，参考数据：；）．
【答案】
【解析】圆台型容器的轴截面为等腰梯形，设高为，则，解得，
所以圆台型容器的容积.
故答案为：.
13. 海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为__________m.（计算结果精确到0.1）
【答案】
【解析】如图，设海宝塔塔底中心为点，与交于点，
过点作于点，则，
由题意知，m，m，
所以，则，
在中，m，
又是的外角，即有，
所以，
在中，m，设m，则m，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，解得或（舍），
所以m，所以m，
即海宝塔的高度为m.
故答案为：.
14. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的体积与表面积之比是__________.
【答案】
【解析】显然阳马的外接球与直三棱柱的外接球为同一个球，
则外接球球心到平面ABC的距离为，
由，，，得三角形ABC的外接圆半径，
因此外接球半径，而外接球体积，表面积，
所以阳马的外接球的体积与表面积之比.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
解：（1）因为，
由正弦定理，得，
即，即，
因为在中，，
所以，
又因为，所以.
（2）因为的面积为，
所以，得，
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以的周长为.
16. 如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC的中点，将、分别沿DP、DQ折叠，使A、C两点重合于点M，连BM、PQ，得到图2所示几何体．
（1）求证：；
（2）在线段MD上是否存在一点F，使平面PQF，如果存在，求的值，如果不存在，说明理由．
解：（1）由图1可得，，
∴， ∴，
∵，，MD、平面MDQ，
∴平面MDQ，
∵平面MDQ，
∴．
（2）当时，平面PQF，
理由如下：
连BD交PQ于点O，连OF，由图1可得，，即，
因为，所以，
所以，所以，
因为平面，平面，所以平面PQF．
17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为的中点，为线段上一点，且．
（1）证明：平面；
（2）若四棱锥为正四棱锥，且，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比．
解：（1）设，在的中点，连接、，
因为分别为的中点，所以且，
又为线段上一点，且，底面是平行四边形，所以为的中点，
所以且，又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为四棱锥为正四棱锥，且，
不妨设，则，
连接，则平面，平面，所以，
所以，则，
所以，
因为，所以正四棱锥外接球的球心位于线段上，
设球心为，半径为，连接，
则，在中，
即，解得，
所以正四棱锥外接球的体积，
所以四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比为
.
18. 如图，在三棱锥中，，是正三角形．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求与平面所成角正弦值．
解：（1）作交PC于，连接，
设，由，得，
因为是正三角形，所以
在中，，
所以，所以，故，
所以即为二面角的平面角，
因为，，则
所以，则
所以由面面垂直定义可知，平面平面．
（2）因为平面平面，平面平面，平面，
，
所以平面，设点到平面的距离为，
由，，，则，
由余弦定理可得：，
在中，，，，所以，
则，
在中，，，，
由余弦定理可得：，
所以在中，，取的中点，连接，
则，所以，则，
根据等体积法可得：，
所以，
因为，所以与平面所成角的正弦值．
19. 如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面．
（1）求证：直线平面；
（2）设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角；
（3）若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高．
解：（1）斜三棱柱中，为的中点，为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为AC=BC，为的中点，所以CD⊥AB，
因为平面⊥平面，交线为AB，CD平面ABC，
所以CD⊥平面，故⊥平面，
所以，又与互相垂直，，面，
故面，得.即为直角三角形，
在中，为中点，，所以为的三等分点，设，
由余弦定理可得：
，
解之：，所以故，
⊥平面，在中，.
与所成的角为
（3）过作于，过作于，连，
为直截面，小球半径为的内切圆半径，
因为，所以，
故AC⊥BC，则，
设所以，由解得，
；
由最小角定理，
，
由面，易知，，
内切圆半径为：，
则