2021-2022学年高一下学期期末数学模拟测试卷04

这是一份2021-2022学年高一下学期期末数学模拟测试卷04，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【详解】
由，得．
又，
所以．
故选：C．
2、复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【详解】
设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
4、已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，，，.
，
因此，.
故选：D.
5、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C.
6、已知，则（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
【答案】D
【详解】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
7、如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图的数学风车，若在该数学风车内随机取一点，则该点恰好取自“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
在中，
不妨设，则，
则阴影部分的面积为；数学风车的面积为
所求概率
本题正确选项：
8、已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则平面的距离为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【详解】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共16分，在每小题给出的四个选项中，不止有一项是符合题目要求的）
9、下列说法正确的是（ ）
A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀
C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
【答案】AB
【详解】
对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确
对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确．
对于C，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误．
对于D，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为，故D错．
故选：AB．
10、有以下四种说法，其中正确的有（ ）
A．“且”是“”的充要条件
B．直线，，平面，若，则“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】BD
【详解】
对于A，由“且”，根据不等式的性质可得，
充分性满足；反之，推不出“且”，必要性不满足，故A不正确；
对于B，根据线面垂直的定义：“”可推出“”，
反之，由线面垂直的判定定理可知：仅“”，不一定得出“”，故B正确；
对于C，“”可得“”，充分性满足；
反之，“”可得“”或“”，必要性不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C不正确；
对于D，若“且”可推出“”；
反之，若“”，可得“”或“”，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确；
故选：BD
11、已知函数()的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．为函数的一个对称中心
C．
D．函数向右平移个单位后所得函数为偶函数
【答案】ACD
【分析】
根据图象，先由得，求，判断A正确，再利用五点法定位确定得到解析式，结合利用正弦函数性质逐一判断BCD的正误即可.
【详解】
根据函数的部分图象，
由，所以，故A正确；
由，可得，
由点在函数图像上，可得，可得，解得，
因为，可得，可得，
因为，故B错误；
由于，故C正确；
将函数向右平移个单位后所得函数为为偶函数，故D正确.
故选：ACD.
12、如图，棱长为的正方体中，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与为异面直线
B．与平面所成角的正切值为
C．过三点的平面截正方体所得两部分的体积相等
D．线段在底面的射影长为
【答案】ABC
【详解】
由图可知：DE与CC1为异面直线，∴A正确；
因为平面平面，所以与平面所成角即与平面所成角，连接A1D，显然，是与平面所成角.在直角三角形EA1D中：，∴B正确；
过D､C､E三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴C正确；
取AB中点F，连接EF､DF，∵EFB1B且B1B⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，∴DF的长为线段DE在底面ABCD的射影长，在直角三角形DFE中：
EF=1，DE=，∴DF=，∴D错.
故选：ABC.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知不等式的解集为，则不等式的解集为__________________.
【答案】
【分析】
【详解】
不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，解得，，
则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
14、在中，，则____________.
【答案】
【详解】
设
15、在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________.
【答案】.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，则，．
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为．
由得，，
所以．
所以．
16、设函数,则使成立的的取值范围是____________.
【答案】
【详解】
试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，考生根据要求作答）
17、成年人收缩压的正常范围是（90，140）（单位：），未在此范围的献血志愿者不适合献血，某血站对志愿者的收缩压进行统计，随机抽取男志愿者100名、女志愿者100名，根据统计数据分别得到如下直方图：
（1）根据直方图计算这200名志愿者中不适合献血的总人数；
（2）估计男志愿者收缩压的中位数；
（3）估计女志愿者收缩压的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
【答案】（1）20人；（2）；（3）．
【详解】
解：（1）由得，
故这些男志愿者中有5人不适合献血；
由得，
故这些女志愿者中有15人不适合献血．
综上所述，这些志愿者中共有20人不适合献血．
（2）设男志愿者收缩压的中位数为，则．
由得，
因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为．
（3），
因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为．
18、在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【详解】
（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以.
19、如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
（1）当时，；
（2）点在平面内．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
（1）因为长方体,所以平面,
因为长方体,所以四边形为正方形
因为平面,因此平面,
因为平面,所以；
（2）在上取点使得,连,
因为,所以
所以四边形为平行四边形，
因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形，，所以四点共面，
因此在平面内
20、已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析
【详解】
（1），
∴的最小正周期.
由，得，
∴的单调递减区间为.
（2）∵，
∴，
当，即时，函数取得最小值，为；
当，即时，函数取得最大值，为.
故函数在区间上的最大值为3，最小值为0.
21、在锐角中，角的对边分别为，且．
（I）求角的大小；
（II）求的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【详解】
（I）由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故.
（II）结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
22、有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；
（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.
【答案】（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【详解】
解：（1）由题意知，数据的中位数为
数据的众数为
数据的极差为
估计这批鱼该项数据的百分位数约为
（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则
记“两鱼最终均在水池”为事件，则
∵事件与事件互斥，
∴两条鱼最终在同一水池的概率为
（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为
事件，依次类推；而两鱼的游动独立
∴
记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥
∴ 即