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专题12 等腰三角形（含答案）【暑假预习课堂】新八年级数学同步精讲精练（人教版）
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这是一份专题12 等腰三角形（含答案）【暑假预习课堂】新八年级数学同步精讲精练（人教版），文件包含专题12等腰三角形原卷版暑假预习课堂新八年级数学同步精讲精练人教版docx、专题12等腰三角形解析版暑假预习课堂新八年级数学同步精讲精练人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
目录
【考点一 等腰三角形性质】
【考点二 等腰三角形判定】
【考点三 等腰三角形判定性质综合应用】
【聚焦考点1】
等腰三角形的概念
有两边相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．
3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．
在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。
【典例剖析1】
【典例1-1】如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝（ ）
A．50°B．40°C．20°D．25°
【典例1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E，若BC＝4，△BDC的周长为10，则AE的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【典例1-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例1-4】在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
针对训练1
【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E，若BC＝4，△BDC的周长为10，则AE的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【变式1-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-4】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【能力提升1】
【提升1-1】如图，中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【提升1-2】在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cmB．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cmD．5cm＜AB＜10cm
【提升1-3】探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【聚焦考点2】
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用
【典例剖析2】
【典例2-1】在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形
【典例2-2】已知：如图，下列三角形中， ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
针对训练2
【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形．
【能力提升2】
【提升2-1】．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，BD=BE．求证：
(1)△CED是等腰三角形；
(2)BD+AD=BC．
【提升2-2】下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【聚焦考点3】
等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
等腰三角形的判定是证明两条线段_相等_的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理
【典例剖析3】
【典例3-1】如图，在中，平分于点D，交于点E，若，求的长．
【典例3-2】如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）
针对训练3
【变式3-1】如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.
求证：BE＝AD.
【变式3-2】如图， 是的两条高线，且它们相交于F，于点H，与相交于点G，已知．
（1）求证： ．
（2）若平分．求证： ．
【变式3-3】如图，和均为等腰三角形，，，点A，D，E在同一直线上，连接．
（1）如图1，若．
①求证：；
②则的度数为_______．
（2）如图2，若，为中边上的高，试猜想，，之间的数量关系，并简要证明你的结论．
【能力提升3】
【提升3-1】已知在△ABC中，AB=AC．
（1）若D为AC的中点，BD把三角形的周长分为24cm和30cm两部分，求△ABC三边的长；
（2）若D为AC上一点，试说明AC＞（BD+DC）．
【提升3-2】如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动，运动时间是秒．
（1）在运动过程中，当______秒时，；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【提升3-3】如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC= ∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
目录
【考点一 等腰三角形性质】
【考点二 等腰三角形判定】
【考点三 等腰三角形判定性质综合应用】
【聚焦考点1】
等腰三角形的概念
有两边相等的三角形是等腰三角形。
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．
3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．
在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。
【典例剖析1】
【典例1-1】如图，点D是△ABC的BC边上一点，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，则∠C＝（ ）
A．50°B．40°C．20°D．25°
【典例1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E，若BC＝4，△BDC的周长为10，则AE的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【典例1-3】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于点F，交AC于点E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例1-4】在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
针对训练1
【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC＝（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
【变式1-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，DE⊥AB于点E，若BC＝4，△BDC的周长为10，则AE的长为（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
【变式1-3】如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-4】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【能力提升1】
【提升1-1】如图，中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【提升1-2】在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1cm＜AB＜4cmB．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cmD．5cm＜AB＜10cm
【提升1-3】探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.
（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【聚焦考点2】
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用
【典例剖析2】
【典例2-1】在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形
【典例2-2】已知：如图，下列三角形中， ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
针对训练2
【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【变式2-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求证：△ADC是等腰三角形．
【能力提升2】
【提升2-1】．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，BD=BE．求证：
(1)△CED是等腰三角形；
(2)BD+AD=BC．
【提升2-2】下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【聚焦考点3】
等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
等腰三角形的判定是证明两条线段_相等_的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理
【典例剖析3】
【典例3-1】如图，在中，平分于点D，交于点E，若，求的长．
【典例3-2】如图，△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC．（用两种方法）
针对训练3
【变式3-1】如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E.
求证：BE＝AD.
【变式3-2】如图， 是的两条高线，且它们相交于F，于点H，与相交于点G，已知．
（1）求证： ．
（2）若平分．求证： ．
【变式3-3】如图，和均为等腰三角形，，，点A，D，E在同一直线上，连接．
（1）如图1，若．
①求证：；
②则的度数为_______．
（2）如图2，若，为中边上的高，试猜想，，之间的数量关系，并简要证明你的结论．
【能力提升3】
【提升3-1】已知在△ABC中，AB=AC．
（1）若D为AC的中点，BD把三角形的周长分为24cm和30cm两部分，求△ABC三边的长；
（2）若D为AC上一点，试说明AC＞（BD+DC）．
【提升3-2】如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以3个单位长度每秒的速度向点运动，运动时间是秒．
（1）在运动过程中，当______秒时，；
（2）在运动过程中，当时，求出的值；
（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【提升3-3】如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC= ∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
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