专题8.1 幂的运算【八大题型】（举一反三）（苏科版）（学生版）

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专题8.1 幂的运算【八大题型】 【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc10024" 【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】  PAGEREF _Toc10024 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24752" 【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】  PAGEREF _Toc24752 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18061" 【题型3 利用幂的运算法则比较大小】  PAGEREF _Toc18061 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22405" 【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】  PAGEREF _Toc22405 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc12064" 【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】  PAGEREF _Toc12064 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21045" 【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】  PAGEREF _Toc21045 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20217" 【题型7 幂的混合运算】  PAGEREF _Toc20217 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc15259" 【题型8 新定义下的幂的运算】  PAGEREF _Toc15259 \h 4【知识点1 幂的运算】①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。【题型1 利用幂的运算法则进行简便运算】【例1】（2023春·河北保定·七年级校联考期末）用简便方法计算：(1)452019×-1.252020；(2)-93×-233×133．【变式1-1】（2023春·山东烟台·六年级统考期中）计算-542023×(-0.8)2022的结果是（　　）A．1 B．-1 C．54 D．-54【变式1-2】（2023春·上海杨浦·七年级统考期中）用简便方法计算：-35×(-23)5×(-5)6【变式1-3】（2023春·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）简便方法计算：(1)325×202.3+87%×2023-21×20.23；(2)(-1.5)2024×(23)2023【题型2 利用幂的运算法则求式子的值】【例2】（2023春·江苏宿迁·七年级校考期中）若xm=2，xn=5，则x3m-2n= ．【变式2-1】（2023春·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）已知2a=18，2b=3，则2a-2b+1的值为 ．【变式2-2】（2023春·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）已知x3m=2，y2m=3，求x2m3+ym6-x2y3m⋅ym的值．【变式2-3】（2023春·浙江温州·七年级温州市第二十三中学校考期中）已知整数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d且2a3b4c5d=10000，则4a+3b+2c+d的值为 ．【题型3 利用幂的运算法则比较大小】【例3】（2023春·浙江杭州·七年级期中）如A=999999，B=119990，是比较A，B大小（    ）A．A>B B．A23，55>45．在底数(或指数)不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：2710与325，解：2710=(33)10=330，∵30>25，∴330>325．∴2710>325．(1)上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质（______ ） A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法   C．幂的乘方   D．积的乘方(2)类比解答：比较254，1253的大小．(3)拓展提高：比较3555，4444，5333的大小．【变式3-2】（2023春·江苏·七年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为a15=a35=25=32，b15=b53=33=27，32>27，所以a15>b15，所以a>b．已知x5=2，y7=3，则x，y的大小关系是x y（填“<”或“>”）．【变式3-3】（2023春·河北张家口·七年级统考阶段练习）阅读：已知正整数a,b,c，对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac(a≠1)，若b>c，则ab>ac；对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，若a>c，则ab>cb．根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小：28 82（填“>”“<”或“=”）；(2)比较233与322的大小（写出具体过程）；(3)比较9913×10210与9910×10213的大小（写出具体过程）．【题型4 利用幂的运算法则整体代入求值】【例4】（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）若a+b+c=1，则(-2)a-1×(-2)3b+2×(-2)2a+3c的值为 .【变式4-1】（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）已知2x+y=1，则4x·2y的值为 ．【变式4-2】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）已知2x+4y-3=0，则4x⋅16y-8的值为（    ）A．3 B．8 C．0 D．4【变式4-3】（2023春·广西崇左·七年级统考期中）若2a+3b-4c-2=0，则9a×27b÷81c的值为 ．【题型5 利用幂的运算法则求字母的值】【例5】（2023春·上海浦东新·七年级统考期中）已知42x⋅52x+1-42x+1⋅52x=203x-4，求x的值；【变式5-1】（2023春·河北邯郸·七年级校考期中）计算：(1)已知2⋅8n⋅32n=225，求 n 的值；(2)已知 n 是正整数，且x3n=2，求(3x3n)2+(-2x2n)3的值．【变式5-2】（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若2a=3，2b=7，2c=m，且a+b=c，则此时m值为 ．【变式5-3】（2023春·山东淄博·六年级统考期中）若52×5m=510，9n÷3n=3，则m+n= ．【题型6 利用幂的运算法则表示代数式】【例6】（2023春·江苏泰州·七年级校考期中）若x=2m+1，y=4m-1．(1)当m=2时，分别求x，y的值．(2)用只含x的代数式表示y．【变式6-1】（2023春·福建漳州·七年级漳州三中校考期中）已知2x-4=m，用含m的代数式表示2x正确的是（    ）A．16m B．8m C．m+4 D．m4【变式6-2】（2023春·江苏扬州·七年级统考期中）若43x=2021,47y=2021，则代数式xy与x+y之间关系是 ．【变式6-3】（2023春·江西南昌·七年级南昌市第十九中学校考期末）若am=an(a>0且a≠l，m、n是正整数），则m=n．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果8x=25，求x的值；(2)如果2x+2+2x+1=24，求x的值；(3)若x=5m-3，y=4-25m，用含x的代数式表示y．【题型7 幂的混合运算】【例7】（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）计算：(1)a4+(-2a2)3-a8÷a4；(2)2a2b⋅5ab2-3ab⋅(ab)2．【变式7-1】（2023春·浙江金华·七年级校考期中）计算：(1)2x3y2⋅(-2xy2z)2；(2)(-2x2)3+x2⋅x4-(-3x3)2．【变式7-2】（2023春·上海青浦·七年级校考期中）计算：-12xy22⋅8x4y2-2x2y23．【变式7-3】（2023春·湖南邵阳·七年级统考期中）计算：an-5an+1b3m-22+an-1bm-23-b3m+2．【题型8 新定义下的幂的运算】【例8】（2023春·上海徐汇·七年级上海市第四中学校考期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘a⋅a…，记为an．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a>0且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．(1)计算以下各对数的值：log24＝_____，log216＝_____，log264＝_____．(2)写出（1）log24、log216、log264之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：logaM+logaN=_____（a>0且a≠1，M>0，N>0）．(4)设an＝N，am＝M，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【变式8-1】（2023春·广东揭阳·七年级校考期中）若定义表示3xyz，表示-2abcd，则运算的结果为（    ）A．-12m3n4 B．-6m2n5 C．12m4n3 D．12m3n4【变式8-2】（2023春·江苏淮安·七年级期中）定义一种幂的新运算：xa⊕xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题：(1)22⊕23的值为 ；(2)若2p=3,2q=5,3q=7，求2p⊕2q的值；【变式8-3】（2023春·江苏·七年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a,b，如果ac=b．我们叫a,b为“雅对”．例如：因为23=8，所以2,8=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式3,3+3,5=3,15成立．证明如下：设3,3=m，3,5=n，则3m=3，3n=5，故3m⋅3n=3m+n=3×5=15，则3,15=m+n，即3,3+3,5=3,15．(1)根据上述规定，填空：2,4=_________；5,1=_________；3,27=_________．(2)计算5,2+5,7=___________，并说明理由．(3)利用“雅对”定义证明：2n,3n=2,3，对于任意自然数n都成立．