专题9.7 整式乘法与因式分解章末八大题型总结（培优篇）（苏科版）（学生版）

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专题9.7 整式乘法与因式分解章末八大题型总结（培优篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc25752" 【题型1 整式的乘除中的错解问题】  PAGEREF _Toc25752 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc17509" 【题型2 整式乘除的计算与化简】  PAGEREF _Toc17509 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc7665" 【题型3 整式混合运算的应用】  PAGEREF _Toc7665 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc1569" 【题型4 因式分解（提公因式与公式法综合）】  PAGEREF _Toc1569 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc4102" 【题型5 因式分解（十字相乘法）】  PAGEREF _Toc4102 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2086" 【题型6 因式分解（分组分解法）】  PAGEREF _Toc2086 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc1736" 【题型7 利用因式分解求值】  PAGEREF _Toc1736 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc7310" 【题型8 整式的乘除中的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc7310 \h 6【题型1 整式的乘除中的错解问题】【例1】（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）某同学计算一个多项式乘-3x2时，因抄错符号，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-12x+1，那么正确的计算结果是 ．【变式1-1】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）小林同学把9(M-5)错抄为9M-5，抄错后算得的答案为a，则正确答案为 ．【变式1-2】（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）在计算x+ax+b时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙把a错看成-a，得到结果是：x2+x-6．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算x+ax-b的结果．【变式1-3】（2023春·湖南永州·七年级统考期末）甲、乙两人共同计算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2-7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3．(1)求-2a+ba+b的值；(2)若整式中的a的符号不抄错，且a=3，请计算这道题的正确结果．【题型2 整式乘除的计算与化简】【例2】（2023秋·上海金山·八年级校联考期末）已知： a+b=32，ab=1，化简a-2b-2的结果是 ．【变式2-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m-20152+2014-3m2=5．(1)求2015-3m2014-3m的值．(2)求6m-4029的值．【变式2-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）（1）运用乘法公式计算：9992-1002×998+1（2）先化简，再求值：2x+y2x-y-3x+yx-2y-x2÷-12y，其中x=-1，y=2．【变式2-3】（2023春·福建三明·八年级统考期中）为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若M=a+3a-4，N=a+22a-5，其中a为有理数，(1)求M-N，要求化简为关于a的多项式；(2)比较M，N的大小．【题型3 整式混合运算的应用】【例3】（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第三十七中学校校联考开学考试）阅读材料：材料1：将一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=左边数的平方+右边数的平方，那么我们称该整数是平方和数，比如，对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，因为22+12=5，所以251是平方和数；再比如，对于整数3254，因为32+42=25，所以3254是一个平方和数．显然，152，4253这两个数也肯定是平方和数．材料2：将一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=2×左边数×右边数，那么我们称该整数是双倍积数；比如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，因为2×1×3=6，所以163是双倍积数；再比如，对于整数3305，因为2×3×5=30，所以3305是一个双倍积数，显然，361，5303这两个数也肯定是双倍积数．请根据上述定义完成下面问题：(1)如果一个三位整数既是平方和数，又是双倍积数，则该三位整数是_____．（直接写出结果）(2)如果我们用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，则a585b为一个平方和数，a504b为一个双倍积数，求a2-b2的值．【变式3-1】（2023秋·贵州遵义·八年级校考期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；(2)若a=2,b=1，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元?【变式3-2】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a>b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD-AB=2时，S1-S2的值是（　　）A．2a B．2b C．-2b+b2 D．2a-2b【变式3-3】（2023秋·浙江·八年级期中）正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三点在同一条直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a>b）．(1)求图1中阴影部分的面积S1（用含a，b的代数式表示）；(2)当a=5，b=3时，求图1中阴影部分的面积S1的值；(3)当a=5，b=3时，请直接写出图2中阴影部分的面积S2的值．【题型4 因式分解（提公因式与公式法综合）】【例4】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）分解因式（1）20a3-30a2 （2）25（x+y）2-9（x-y）2【变式4-1】（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：3a2m-n+12n-m= ．【变式4-2】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）多项式-2a3-4a2-2a因式分解的结果是 ．【变式4-3】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）请把下列各式分解因式(1)a2a-b+b-a(2)(a2+b2)2-4a2b2【题型5 因式分解（十字相乘法）】【例5】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为x+n，由题意，得x2-4x+m=x+3x+n，x2-4x+m=x2+n+3x+3n，所以n+3=-4m=3n，解得m=-21n=-7．所以另一个因式为x-7，m的值为-21．提出问题：(1)已知二次三项式x2-5x-p有一个因式是x-1，另一个因式是________；(2)已知二次三项式3x2+2x-k有一个因式是x-5，求另一个因式及k的值．【变式5-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）多项式x2+x-6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均为整数，则a+b2023的值为（    ）A．-1 B．1 C．-2023 D．2023【变式5-2】（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）分解因式：2x2+4x2-42x2+4x-12．【变式5-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，将该式子从右到左地使用，即可对形如x2+a+bx+ab的多项式进行因式分解：x2+a+bx+ab=x+ax+b．多项式x2+a+bx+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．材料2：因式分解：(x+y)2+2x+y+1，解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将“A”还原得：原式=(x+y+1)2．上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料1将x2+4x+3因式分解；(2)根据材料2将(x-y)2-10x-y+25因式分解；(3)结合材料1和材料2，将m2-2mm2-2m+4+3因式分解．【题型6 因式分解（分组分解法）】【例6】（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知a+b=3,ab=1，则多项式a2b+ab2-a-b的值为 ．【变式6-1】（2023春·江苏·八年级期中）分解因式：a4-4a3+4a2-9= ．【变式6-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．比如因式分解：am+bm+an+bn=am+bm+an+bn=ma+b+na+b=a+bm+n这种分组法是分组后用提公因式法分解；比如因式分解：a2+2ab+b2-9=a2+2ab+b2-9=a+b2-9=a+b+3a+b-3这种分组法是分组后用公式法分解．根据以上信息分解因式：(1)ab-a-b+1；(2)a2-9b2-2a+6b；(3)n2+(n+1)(n+2)(n+3)(n+6)．【变式6-3】（2023秋·上海·八年级校考期中）因式分解：x2+9xy+18y2-3x-9y．【题型7 利用因式分解求值】【例7】（2023春·四川达州·八年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【变式7-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若x2+x-3=0，则x3+2x2-2x+5的值为 ．【变式7-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市文晖中学校考期中）（1）当mn=-4，m+n=3，求m-n的值．（2）已知x+y=2,xy=34，求x3y+xy3+2x2y2的值．【变式7-3】（2023春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）阅读材料：若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2-6n+9=0，∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0，∴(m+n)2+(n-3)2=0，∴m+n=0，n-3=0，∴m=-3，n=3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：(1)已知x2+2y2-2xy-8y+16=0，则x=______，y=______；(2)若A=2a2-3a-1，B=a2-a-4，试比较A与B的大小：A______B（填“>”或“