专题9.8 整式乘法与因式分解章末九大题型总结（拔尖篇）（苏科版）（学生版）

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专题9.8 整式乘法与因式分解章末九大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc24968" 【题型1 巧用乘法公式求值】  PAGEREF _Toc24968 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25262" 【题型2 整式乘法中不含某项问题】  PAGEREF _Toc25262 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc14890" 【题型3 多项式乘法中的规律性问题】  PAGEREF _Toc14890 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc10531" 【题型4 整式运算中的整除问题】  PAGEREF _Toc10531 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10594" 【题型5 乘法公式的几何背景】  PAGEREF _Toc10594 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc30934" 【题型6 利用因式分解探究三角形形状】  PAGEREF _Toc30934 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13012" 【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】  PAGEREF _Toc13012 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc247" 【题型8 因式分解的应用】  PAGEREF _Toc247 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc679" 【题型9 整式运算中的定值问题】  PAGEREF _Toc679 \h 12【题型1 巧用乘法公式求值】【例1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题(1)已知a+1a=5，求a2+1a2的值(2)计算：2-22-23-⋯-218-219+220（写计算过程）(3)设a，b，c，d都是正整数，并且a5=b4，c3=d2，c-a=19求d-b的值．【变式1-1】（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．【变式1-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x-y=-1，则：（1）x+y= ．（2）求x，y的值分别为 ．【变式1-3】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）已知a-ba+b=a2-b2．(1)2-12+122+1=______；(2)求2+122+124+128+1216+1的值；(3)求23+132+134+138+1316+1332+1结果的个位数字．【题型2 整式乘法中不含某项问题】【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若(x2+nx+3)(x2-3x+m)的展开式中不含x2和x3项，则m+n= ．【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展开了下面的讨论：小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；小新：这道题与y的值无关，可以求解；根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？【变式2-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知x2+mx-32x+n的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ．【变式2-3】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x、y的代数式2x+5y32x-5y3-mx-32+nx的值与x的取值无关，求实数m、n的值．【题型3 多项式乘法中的规律性问题】【例3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．  【变式3-1】（2023春·重庆·八年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　．（2）a+bn的展开式共有______项，系数和为_______．（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．【变式3-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．  【变式3-3】（2023春·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料：(x-1)(x+1)=x2-1；(x-1)x2+x+1=x3-1；(x-1)x3+x2+x+1=x4-1⋯⋯（1）根据以上规律，(x-1)xn-1+xn-2+xn-3+⋯+x+1=　　　　 ；（2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000的值【题型4 整式运算中的整除问题】【例4】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'．把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为Fn，例如：n=23时，n'=32，F23=2332-322311=-81．对于两位正整数s与t，其中s=10a+b，t=10x+y（1≤bb，当a+bc-d为9的倍数时，则所有满足条件的N2的最大值为 ．【变式8-1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务．生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2-x-2可以因式分解为x-1x+1x+2，当x=29时，x-1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．任务：(1)根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3-xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）如图1，现有3种不同型号的A型、B型、C型卡片若干张．  (1)已知1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片可拼成如图2所示的正方形，用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：______ ；(2)请用上述三种型号的卡片若干张拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形(无空隙，不重叠)，在图4虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式2a2+5ab+2b2因式分解的结果；(3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为m(aAB，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形面积分别为S1，S2，已知小长方形绿化带的长为a米，宽为b米，且a>b．(1)当AD=20米时，请用含a，b的式子分别表示S1= 米2，S2= 米2，S1-S2= 米2；(2)由于空间有限，花坛的短边AB长度为定值，而花坛的长边AD可以延伸，将这4块小长方形绿化带按同样的方式放在新的长方形花坛ABCD内，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积S1=S2，求a，b满足的数量关系．【变式9-3】（2023下·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）阅读理解，若x满足30-xx-10=160，求30-x2+x-102的值．解：设30-x=a，x-10=b，则30-xx-10=ab=160，a+b=30-x+x-10=20，30-x2+x-102=a2+b2=a+b2-2ab=202-2×160=80，归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．解决问题：(1)若x满足2021-xx-2016=2，则2021-x2+x-20162=____________________．(2)若x满足2021-x2+x-20182=2020，求2021-xx-2018的值．(3)如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？