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2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高二下学期期末考试数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高二下学期期末考试数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|1A. (−2,−1)B. (−1,2)C. (1,2)D. (−2,−1)∪(1,2)
2.已知x，y为实数，则“x>y>0”成立的充分不必要条件是( )
A. 1x>1yB. x2>y2
C. ln(x+1)>ln(y+1)D. x−2> y−2
3.已知函数f(x)=lnx+x−2x，则f(x)的零点所在的区间为( )
A. (12,1)B. (1,2)C. (2,e)D. (e,3)
4.定义行列式abcd=ad−bc，若行列式2a2122>a14−5a2a，则实数a的取值范围为( )
A. (−1,32) B. (−∞,−1)∪(32,+∞) C. (12,2) D. (−∞,12)∪(2,+∞)
5.已知a=lg513，b=ln3，c=ba，则a，b，c的大小关系( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
6.函数f(x)=ln( 9x2+1−3x)|3−x2|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.若对任意的x1，x2∈(e,+∞)，且x1A. eB. eC. 0D. 1
8.已知等差数列{bn}的公差为π4，且集合A={x|x=sin(bn),n∈N∗}中有且只有5个元素，则A中的所有元素之积为( )
A. 0B. 12C. −12D. 1
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(4x)的定义域为[0,4]
B. 函数f(x)=x2−2x2+3的值域为[−23,1)
C. 若alg94=1，则2−a=13
D. 若幂函数f(x)=(2m2−6m+5)xm2−m−1，且在x∈(0,+∞)上是增函数，则实数m=1
10.已知函数y=xf(x+2)是定义在R上的偶函数，且f(3−x)=f(x+5)，当x∈[0,2]时，f(x)=9−3x，则下列选项正确的是( )
A. f(x)的图象关于点(2,0)对称B. f(x)的最小正周期为4
C. f(x)为偶函数D. i=12026f(i)=6
11.已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+3y=1，则下列结论正确的是( )
A. 1x+2y的最小值为7+2 6B. x2+y2的最小值为 1010
C. sinx2+3y<1D. lnx−e−3y<−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=a3x+1+b是定义在R上的奇函数，且f(lg35)=12，则f(1)= ．
13.已知数列{an}的首项为2，D是△ABC边BC所在直线上一点，且2CA+5(an+3)AD−(an+1+1)AB=0，则数列{an}的前n项和为 。
14.若关于x的不等式xe2x−2ax−a(lnx+3)≥0在(0,+∞)上恒成立，则 。
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(x+3)−lg2(x−3)．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明;
(2)若关于x的方程f(x)=lg2(x+m)在区间[4,6]上有解，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用。喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气。能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量y(单位：mg/L)与时间x(x≥0)(单位：ℎ)间的关系为y=y0e−kx，其中y0，k为正常数，已知过滤2ℎ消除了20%的有害物质．
(1)过滤4ℎ后还剩百分之几的有害物质?
(2)要使有害物质减少80%，大约需要过滤多少时间(精确到1ℎ)?
参考数据：lg2≈0.3
17.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=3，an+1=7an+3．
(1)证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式;
(2)证明：1a1+1a2+⋯+1an<718
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−csx
(1)求证：当x∈[−π2,+∞)时，f(x)有两个零点;
(2)若f(x)≥x2−ax在[0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围。
19.(本小题12分)
柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：(a12+a22+⋯+an2)(b12+b22+⋯+bn2)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2，等号成立条件为a1b1=a2b2=⋯=anbn或ai，bi，i=1，2，3，⋯，n至少有一方全为0.柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题。
已知数列{an}满足a1=13，an+1=12−an(n∈N∗).
(1)证明：数列{1an−1}为等差数列，并求数列{an}的通项公式;
(2)证明：n2−(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)答案解析
1.C
【解析】解：由题可得A={x|1B=={x|13<3x<9}={ x|−1< x<2} ，
则A∩B=(1,2)．
故选C．
2.D
【解析】解：对于A，当x>0，y<0时1x>1y成立，但不能得到“x>y>0”，故A不符合题意；
对于B，当x=2，y=−1时，x2>y2成立，但不能得到“x>y>0”，故B不符合题意；
对于C，由ln(x+1)>ln(y+1)得到x+1>y+1>0，得到x>y>−1，不能得到“x>y>0”，故B不符合题意；
对于D，由 x−2> y−2得到x−2>y−2⩾0，即x>y⩾2，能推出“x>y>0”，
但由“x>y>0”不能推出x>y⩾2，故 x−2> y−2是“x>y>0”的充分不必要条件，
故选D．
3.B
【解析】解：由题可知f(x)=lnx+x−2x在 0,+∞上单调递增，
因为f(1)=ln1+1−2=−1<0，f(2)=ln2+2−1=1+ln2>0，
所以由零点存在性定理知，f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
故选：B．
4.D
【解析】解：因为2a2122>a14−5a2a，
所以4a2−2>2a2−4−5a，
即2a2−5a+2>0，即(a−2)(2a−1)>0，解得a<12或a>2，
所以实数a的取值范围为(−∞,12)∪(2,+∞).
故选D．
5.B
【解析】解：因为a=lg513< lg51=0,b=ln3> lne=1，
0所以b>c>a．
6.C
【解析】解：因为函数fx=ln ( 9x2+1−3x)|3−x2|的定义域为−∞,− 3∪− 3, 3∪ 3,+∞关于原点对称，
并且f−x+fx=ln 9x2+1+3x+ln 9x2+1−3x3−x2=0，即f−x=−fx，
所以fx为奇函数，图象关于原点对称．
又因为当x∈0, 3∪ 3,+∞时，ln 9x2+1−3x=ln1 9x2+1+3x<0，
所以这时fx<0，图象在x轴下方，
所以ABD错误，C正确．
故选C．
7.C
【解析】解：由题意x10，
∵x1lnx2−x2lnx1x2−x1∴x1lnx2−x2lnx1∴x1(lnx2+m)∵x1,x2∈[e,+∞),
∴lnx2+mx2令f(x)=lnx+mx，则f(x2)又x2>x1>e，则f(x)在(e,+∞)递减，
∴f′(x)=1−m−lnxx2<0在(e,+∞)上恒成立，
即1−m−lnx<0在(e,+∞)上恒成立，
所以m>1−lnx在(e,+∞)上恒成立，
又lnx−1<0，
所以m⩾0.
8.A
【解析】解：因为等差数列{bn}的公差为π4，
bn=nπ4+b1−π4，x=sin(nπ4+b1−π4)，周期T=8，
故只需考虑前8项的值：sinb1，sin(b1+π4)，sin(b1+π2)=csb1，sin(π+b1−π4)=−sin(b1−π4)，
sin(b1+π)=−sinb1，sin(b1+5π4)=−sin(b1+π4)，sin(b1+3π2)=−csb1，sin(b1+7π4)=sin(b1−π4)，
由题意知，这8个式子只能取到5个不同的值，
借助三角函数的定义，即在单位圆上有8个点均分圆周，
且这8个点的纵坐标只能取到5个不同的值，
如图所示，
于是集合M={0,−1,− 22, 22,1}，
所以A中的所有元素之积为0．
故选A．
9.BC
【解析】解：对于A，函数f(x)的定义域为[0,1]，由0≤4x≤1，得0≤x≤14，则函数f(4x)的定义域为[0,14]，故A错误;
对于B，因为函数f(x)=x2−2x2+3=x2+3−5x2+3=1−5x2+3，
又因为x∈R，所以x2+3≥3，则0<1x2+3≤13，−23≤1−5x2+3<1，所以函数f(x)=x2−2x2+3的值域为[−23,1)，故B正确；
对于C，若alg94=1，则a=1lg94=lg49=lg23，
则2−a=2−lg23=2lg213=13，故C正确;
对于D;幂函数f(x)=(2m2−6m+5)xm2−m−1，且在x∈(0,+∞)上是增函数，则2m2−6m+5=1m2−m−1>0,
解得m=2，m=1(舍去)，故D不正确．
故选BC．
10.ACD
【解析】解：对于A，y=xf(x+2)是定义在R上的偶函数，
xf(x+2)=−xf(−x+2)恒成立，则f(x+2)=−f(−x+2)，f(x+2)+f(−x+2)=0，
f(x)的图象关于点(2,0)对称，A正确；
对于B，由f(x+2)=−f(−x+2)，得f(x+4)=−f(−x)①，
因为f(3−x)=f(x+5)，
所以f(x)的图象关于x=4对称，即f(x+4)=f(−x+4)②，
由①②联立可得，f(−x+4)=−f(−x)，即f(x+4)=−f(x)，f(x+8)=f(x)，f(x)的最小正周期为8，B错误；
对于C，由f(x+4)=f(−x+4)得f(x+8)=f(−x)，
又f(x+8)=f(x)，
所以f(x)=f(−x)，f(x)为偶函数，C正确；
对于D，当x∈[0,2]时，f(x)=9−3x，f(8)=f(0)=8，
因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，关于x=4对称，
所以f(7)=f(1)=6， f(3)=−f(1)=−6， f(3)=f(5)=−6，f(4)=−f(0)=−8，f(6)=f(2)=0，
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=6+0−6−8−6+0+6+8=0，
i=12026f(i)=253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)]+f(1)+f(2)=6，D正确；
故选项为ACD．
11.ACD
【解析】解：对于A，1x+2y=(1x+2y)(x+3y)=1+6+3yx+2xy⩾7+2 6，当且仅当x= 2−1，y=132− 2时取等号，
故A正确；
对于B，x2+y2的最小值可看成是原点到直线x+3y=1的距离的平方，
由点到直线的距离公式可得d=1 12+32=1 10= 1010，故B错误；
对于C，令y=x−sinx，(x>0)，则y′=1−csx⩾0，所以函数y=x−sinx，(x>0)是增函数，又x=0时，y=0，
所以x>0时，sinx由已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+3y=1，得0对于D，令f(x)=lnx−x+1，则f′(x)=1x−1，当00，当x>1时，f′(x)<0，所以x=1时f(x)取极大值，
也是最大值，f(x)=0，所以lnx⩽x−1(x=1时取等号)，
令g(x)=x−ex−1(00，g(x)在(0,1)上是增函数，又g(1)=0，
所以012.38
【解析】解：因为f(x)=a3x+1+b是定义在R上的奇函数，且f(lg35)=12，
所以f0=a30+1+b=0a3lg35+1+b=12，解得b=34,a=−32，
所以f(x)=−323x+1+34，
所以f(1)=−3231+1+34=38．
故答案为38．
13.5n+1−54−3n
【解析】解：2CA+5(an+3)AD−(an+1+1)AB=0，
5(an+3)AD=(an+1+1)AB+2AC，
AD=an+1+15an+3AB+25an+3AC
因为D是△ABC边BC所在直线上一点，即B，C，D三点共线，
所以an+1+15an+3+25an+3=1，
整理得an+1+3= 5(an+3)，
所以数列{an+3}为等比数列，首相为a1+3=5，公比为5，
an+3=5n，an=5n−3，
数列{an}的前n项和Sn=51−5n1−5−3n=5n+1−54−3n．
14.(0,e−2]
【解析】解：令f(x)=xe2x−2ax−a(lnx+3)，x>0，
f′(x)=2x+1e2x−a2x+1x=2x+1e2x−ax，
当a<0时，f′(x)⩾0，f(x)在(0,+∞)上递增，
x→0,fx→−∞，不符合题意，舍去，
当a=0时，f(x)=xe2x⩾0在(0,+∞)上恒成立，符合题意;
当a>0时，设x=x0时，f′(x)=0，即e2x0=ax0，
f(x)在(0,x0)上递减，在(x0,+∞)上递增，
f(x)min=f(x0)=x0e2x0−2ax0−a(lnx0+3)=x0·ax0−2ax0−a(lnx0+3)=−2ax0−alnx0−2a，
由f(x)min≥0，得a(2x0+lnx0+2)⩽0，即2x0+lnx0+2⩽0，
令ℎ(x)=2x+lnx+2， ℎ(x)在(0,+∞)上递增，
x→0,ℎx→−∞，ℎ(1)=4，
所以存在x1，使得 ℎ(x1)=2x1+lnx1+2=0，即lnx1=−2−2x1，
当x∈(0,x1]时，ℎ(x)=2x+lnx+2⩽0，
即x0∈(0,x1]时，2x0+lnx0+2⩽0，
由e2x0=ax0，得a=x0e2x0，lna=lnx0+2x0，x0∈(0,x1]，
由于y=lnx+2x在(0,+∞)上单调递增，
所以lna=lnx0+2x0⩽lnx1+2x1=−2−2x1+2x1=−2，
所以0综上，实数a的取值范围为(0,e−2].
15.解：(1)函数f(x)的定义域为x+3>0x−3>0，
所以定义域为(3,+∞)，
所以f(x)=lg2(x+3)−lg2(x−3)=lg2x+3x−3，x∈(3,+∞)，f(x)在定义域(3,+∞)上为减函数，
证明如下：
(法一)设任意x1，x2∈(3,+∞)，且x1f(x1)−f(x2)=lg2x1+3x1−3−lg2x2+3x2−3=lg2(x1+3)(x2−3)(x1−3)(x2+3)，
因为(x1+3)(x2−3)(x1−3)(x2+3)−1=6(x2−x1)(x1−3)(x2+3)，且x2>x1>3，
所以由x2−x1>0，x1−3>0，x2+3>0知6(x2−x1)(x1−3)(x2+3)>0，即(x1+3)(x2−3)(x1−3)(x2+3)>1，
所以lg2(x1+3)(x2−3)(x1−3)(x2+3)>0，因此f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在定义域上是减函数．
(法二) f′(x)=1(x+3)ln2−1(x−3)ln2=1ln2(1x+3−1x−3)=1ln2(6x2−9)，
因为x∈(3,+∞)，
所以f′(x)<0，所以函数f(x)在定义域上是减函数．
(2)f(x)=lg2(x+m)等价于x+m=x+3x−3>0即m=x+3x−3−x在[4,6]上有解．
记g(x)=x+3x−3−x，
因为g(x)=x+3x−3−x=6x−3−x+1，
所以g(x)在[4,6]上为严格减函数，
所以，g(x)max=g(4)=3，g(x)min=g(6)=−3，故g(x)的值域为[−3,3]，
因此，实数m的取值范围为[−3,3]，经检验满足题意，
综上：实数m的取值范围为[−3,3]．
【解析】(1)依题意，x+3>0x−3>0,求解即可，根据复合函数的单调性判断方法求解即可．
(3)分离参数得m=x+3x−3−x，结合函数的单调性求解即可．
16.解：(1)由y=y0e−kx可知，当x=0时，y=y0，当x=2时，y=(1−20%)y0，则有y0e−2k=(1−20%)y0，解得k=−12ln0.8，所以y=y0 e(12ln 0.8)x=y00.8x2，
故当t=4时，y=y00.82=0．64y0，即过滤4ℎ后还剩64%的有害物质．
(2)要使有害物质减少80%，则有y=15y0，y00.8x2=15y0，
因为y0>0，所以0.8x2=15，x2=lg0.815=lg15lg45=−lg5lg4−lg5=lg2−13lg2−1≈7，所以x≈14，
故要使有害物质减少80%大约需要过滤14小时．
【解析】(1)利用已知，首先求出k的值，再求出y=y00.8x2，再将t=4代入即可求出．
(2)利用对数的运算，求出x的值．
17.解：(1)由an+1=7an+3得an+1+12=7an+3+12=7an+72，
所以an+1+12=7(an+12)，
因为a1+12=72≠0，所以an+1+12an+12=7，
所以{an+12}是等比数列，首项为a1+12=72，公比为7，
所以an+12=72⋅7n−1，解得an=7n−12，n∈N∗；
(2)由(1)知：an=7n−12，所以1an=27n−1，
因为当n≥1时，7n−1≥6⋅7n−1，所以27n−1≤13⋅7n−1，
1a1+1a2+⋯+1an≤13(1+17+172+⋯+17n−1)=13⋅1−17n1−17=718(1−17n)<718，
所以1a1+1a2+⋯1an<718．
【解析】(1)根据递推关系和等比数列的定义证明，再由等比数列通项公式可得{an}的通项公式；
(2)易得1an=27n−1，所以27n−1≤13⋅7n−1，由等比数列求和即可得证．
18.证明：(1)①当x∈(0,+∞)时，ex>1，csx≤1，所以ex−csx>0，函数f(x)无零点；
②当x∈[−π2,0]时，f′(x)=ex+sinx=ℎ(x)，
ℎ′(x)=ex+csx>0，所以f′(x)在[−π2,0]上单调递增，
因为f′(−π2)=e−π2−1=1eπ2−1<0，f′(0)=1>0，
所以存在唯一x0∈(−π2,0)，使得f′(x0)=0，
所以f(x)在(−π2,x0)上单调递减，在(x0,0)上单调递增，
又因为f(0)=0，f(−π2)=e−π2>0，
所以存在唯一x1∈(−π2,x0)，使得f(x1)=0．
所以由①②知，当x∈[−π2,+∞)时，函数f(x)有两个零点为x1和0．
解：(2)若f(x)≥x2−ax在[0,+∞)上恒成立，即ex−csx≥x2−ax恒成立，
设g(x)=ex−csx−x2+ax，x∈[0,+∞)，即g(x)≥0在[0,+∞)恒成立，
g′(x)=ex+sinx−2x+a=t(x)，
t′(x)=ex+csx−2=m(x)，
而m′(x)=ex−sinx≥0恒成立，
所以t′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以t′(x)≥t′(0)=0，所以g′(x)在[0,+∞)单调递增，
①当a≥−1时，g′(x)≥g′(0)=1+a≥0，所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(0)=0在[0,+∞)上恒成立，所以a≥−1，
②当a<−1时，g′(0)=1+a<0，因为ex≥ex，sinx≥−1，
所以g′(1−ae−2)=e1−ae−2+sin1−ae−2−21−ae−2+a≥e1−ae−2−1−21−ae−2+a=1−a+a−1=0，
于是存在x2∈(0,+∞)，使得g′(x2)=0，
所以g(x)在(0,x2)单调递减，又因为g(0)=0，所以在x∈(0,x2)时，g(x)<0，不合题意．
综上，实数a的取值范围是[−1,+∞)．
【解析】(1)利用导数研究单调性即可得证；
(2)设g(x)=ex−csx−x2+ax，x∈[0,+∞)，即g(x)≥0在[0,+∞)恒成立，利用导数性质能求出a的取值范围。
19.解：(1)因为an+1=12−an，
所以1an+1−1−1an−1=112−an−1−1an−1=2−anan−1−1an−1=1−anan−1=−1，
又因为a1=13，
故{1an−1}是以−32为首项，−1为公差的等差数列;
所以1an−1=−32−(n−1)=−2n+12，
所以an=1−22n+1，n∈N∗；
(2)欲证n2−(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)即证n2−ln 2n+1即证n−ln(2n+1)<2(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)，
因为an>0，
由柯西不等式得：
(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)[(a1+an)+(a2+an−1)+⋯+(an+a1)]≥(a1+a2+⋯+an)2
令Sn=a1+a2+⋯+an，即(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)·2Sn⩾Sn2，
因为Sn>0，得到：2(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)≥Sn．
故原命题只需证n−ln(2n+1)即证：23+25+⋯+22n+1构造函数y=lnx−(x−1)，
则y′=1x−1=1−xx，
当x∈(0,1)时，y′>0，当x∈(1,+∞)时，y′<0，
所以函数y=lnx−(x−1)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，
则lnx−(x−1)≤ln1=0，即lnx≤x−1，
1x替换x:ln1x≤1x−1，即lnx≥1−1x=x−1x，
令x=1+22n−1得22n+1不等式左边，右边分别求前n项和，
即得23+25+⋯+22n+1【解析】(1)由递推关系，结合等差数列的定义求得{1an−1}是以−32为首项，−1为公差的等差数列，由等差数列的通项公式即可求解;
(2)转化为求证n−ln(2n+1)<2(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)，由柯西不等式，令Sn=a1+a2+⋯+an，转化为求证23+25+⋯+22n+1
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|1
2.已知x，y为实数，则“x>y>0”成立的充分不必要条件是( )
A. 1x>1yB. x2>y2
C. ln(x+1)>ln(y+1)D. x−2> y−2
3.已知函数f(x)=lnx+x−2x，则f(x)的零点所在的区间为( )
A. (12,1)B. (1,2)C. (2,e)D. (e,3)
4.定义行列式abcd=ad−bc，若行列式2a2122>a14−5a2a，则实数a的取值范围为( )
A. (−1,32) B. (−∞,−1)∪(32,+∞) C. (12,2) D. (−∞,12)∪(2,+∞)
5.已知a=lg513，b=ln3，c=ba，则a，b，c的大小关系( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a
6.函数f(x)=ln( 9x2+1−3x)|3−x2|的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.若对任意的x1，x2∈(e,+∞)，且x1
8.已知等差数列{bn}的公差为π4，且集合A={x|x=sin(bn),n∈N∗}中有且只有5个元素，则A中的所有元素之积为( )
A. 0B. 12C. −12D. 1
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(4x)的定义域为[0,4]
B. 函数f(x)=x2−2x2+3的值域为[−23,1)
C. 若alg94=1，则2−a=13
D. 若幂函数f(x)=(2m2−6m+5)xm2−m−1，且在x∈(0,+∞)上是增函数，则实数m=1
10.已知函数y=xf(x+2)是定义在R上的偶函数，且f(3−x)=f(x+5)，当x∈[0,2]时，f(x)=9−3x，则下列选项正确的是( )
A. f(x)的图象关于点(2,0)对称B. f(x)的最小正周期为4
C. f(x)为偶函数D. i=12026f(i)=6
11.已知实数x，y满足x>0，y>0，且x+3y=1，则下列结论正确的是( )
A. 1x+2y的最小值为7+2 6B. x2+y2的最小值为 1010
C. sinx2+3y<1D. lnx−e−3y<−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=a3x+1+b是定义在R上的奇函数，且f(lg35)=12，则f(1)= ．
13.已知数列{an}的首项为2，D是△ABC边BC所在直线上一点，且2CA+5(an+3)AD−(an+1+1)AB=0，则数列{an}的前n项和为 。
14.若关于x的不等式xe2x−2ax−a(lnx+3)≥0在(0,+∞)上恒成立，则 。
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(x+3)−lg2(x−3)．
(1)判断函数f(x)的单调性并证明;
(2)若关于x的方程f(x)=lg2(x+m)在区间[4,6]上有解，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用。喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气。能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量y(单位：mg/L)与时间x(x≥0)(单位：ℎ)间的关系为y=y0e−kx，其中y0，k为正常数，已知过滤2ℎ消除了20%的有害物质．
(1)过滤4ℎ后还剩百分之几的有害物质?
(2)要使有害物质减少80%，大约需要过滤多少时间(精确到1ℎ)?
参考数据：lg2≈0.3
17.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=3，an+1=7an+3．
(1)证明{an+12}是等比数列，并求{an}的通项公式;
(2)证明：1a1+1a2+⋯+1an<718
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−csx
(1)求证：当x∈[−π2,+∞)时，f(x)有两个零点;
(2)若f(x)≥x2−ax在[0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围。
19.(本小题12分)
柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：(a12+a22+⋯+an2)(b12+b22+⋯+bn2)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2，等号成立条件为a1b1=a2b2=⋯=anbn或ai，bi，i=1，2，3，⋯，n至少有一方全为0.柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题。
已知数列{an}满足a1=13，an+1=12−an(n∈N∗).
(1)证明：数列{1an−1}为等差数列，并求数列{an}的通项公式;
(2)证明：n2−(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)
1.C
【解析】解：由题可得A={x|1
则A∩B=(1,2)．
故选C．
2.D
【解析】解：对于A，当x>0，y<0时1x>1y成立，但不能得到“x>y>0”，故A不符合题意；
对于B，当x=2，y=−1时，x2>y2成立，但不能得到“x>y>0”，故B不符合题意；
对于C，由ln(x+1)>ln(y+1)得到x+1>y+1>0，得到x>y>−1，不能得到“x>y>0”，故B不符合题意；
对于D，由 x−2> y−2得到x−2>y−2⩾0，即x>y⩾2，能推出“x>y>0”，
但由“x>y>0”不能推出x>y⩾2，故 x−2> y−2是“x>y>0”的充分不必要条件，
故选D．
3.B
【解析】解：由题可知f(x)=lnx+x−2x在 0,+∞上单调递增，
因为f(1)=ln1+1−2=−1<0，f(2)=ln2+2−1=1+ln2>0，
所以由零点存在性定理知，f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
故选：B．
4.D
【解析】解：因为2a2122>a14−5a2a，
所以4a2−2>2a2−4−5a，
即2a2−5a+2>0，即(a−2)(2a−1)>0，解得a<12或a>2，
所以实数a的取值范围为(−∞,12)∪(2,+∞).
故选D．
5.B
【解析】解：因为a=lg513< lg51=0,b=ln3> lne=1，
0
6.C
【解析】解：因为函数fx=ln ( 9x2+1−3x)|3−x2|的定义域为−∞,− 3∪− 3, 3∪ 3,+∞关于原点对称，
并且f−x+fx=ln 9x2+1+3x+ln 9x2+1−3x3−x2=0，即f−x=−fx，
所以fx为奇函数，图象关于原点对称．
又因为当x∈0, 3∪ 3,+∞时，ln 9x2+1−3x=ln1 9x2+1+3x<0，
所以这时fx<0，图象在x轴下方，
所以ABD错误，C正确．
故选C．
7.C
【解析】解：由题意x1
∵x1lnx2−x2lnx1x2−x1
∴lnx2+mx2
∴f′(x)=1−m−lnxx2<0在(e,+∞)上恒成立，
即1−m−lnx<0在(e,+∞)上恒成立，
所以m>1−lnx在(e,+∞)上恒成立，
又lnx−1<0，
所以m⩾0.
8.A
【解析】解：因为等差数列{bn}的公差为π4，
bn=nπ4+b1−π4，x=sin(nπ4+b1−π4)，周期T=8，
故只需考虑前8项的值：sinb1，sin(b1+π4)，sin(b1+π2)=csb1，sin(π+b1−π4)=−sin(b1−π4)，
sin(b1+π)=−sinb1，sin(b1+5π4)=−sin(b1+π4)，sin(b1+3π2)=−csb1，sin(b1+7π4)=sin(b1−π4)，
由题意知，这8个式子只能取到5个不同的值，
借助三角函数的定义，即在单位圆上有8个点均分圆周，
且这8个点的纵坐标只能取到5个不同的值，
如图所示，
于是集合M={0,−1,− 22, 22,1}，
所以A中的所有元素之积为0．
故选A．
9.BC
【解析】解：对于A，函数f(x)的定义域为[0,1]，由0≤4x≤1，得0≤x≤14，则函数f(4x)的定义域为[0,14]，故A错误;
对于B，因为函数f(x)=x2−2x2+3=x2+3−5x2+3=1−5x2+3，
又因为x∈R，所以x2+3≥3，则0<1x2+3≤13，−23≤1−5x2+3<1，所以函数f(x)=x2−2x2+3的值域为[−23,1)，故B正确；
对于C，若alg94=1，则a=1lg94=lg49=lg23，
则2−a=2−lg23=2lg213=13，故C正确;
对于D;幂函数f(x)=(2m2−6m+5)xm2−m−1，且在x∈(0,+∞)上是增函数，则2m2−6m+5=1m2−m−1>0,
解得m=2，m=1(舍去)，故D不正确．
故选BC．
10.ACD
【解析】解：对于A，y=xf(x+2)是定义在R上的偶函数，
xf(x+2)=−xf(−x+2)恒成立，则f(x+2)=−f(−x+2)，f(x+2)+f(−x+2)=0，
f(x)的图象关于点(2,0)对称，A正确；
对于B，由f(x+2)=−f(−x+2)，得f(x+4)=−f(−x)①，
因为f(3−x)=f(x+5)，
所以f(x)的图象关于x=4对称，即f(x+4)=f(−x+4)②，
由①②联立可得，f(−x+4)=−f(−x)，即f(x+4)=−f(x)，f(x+8)=f(x)，f(x)的最小正周期为8，B错误；
对于C，由f(x+4)=f(−x+4)得f(x+8)=f(−x)，
又f(x+8)=f(x)，
所以f(x)=f(−x)，f(x)为偶函数，C正确；
对于D，当x∈[0,2]时，f(x)=9−3x，f(8)=f(0)=8，
因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，关于x=4对称，
所以f(7)=f(1)=6， f(3)=−f(1)=−6， f(3)=f(5)=−6，f(4)=−f(0)=−8，f(6)=f(2)=0，
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=6+0−6−8−6+0+6+8=0，
i=12026f(i)=253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)]+f(1)+f(2)=6，D正确；
故选项为ACD．
11.ACD
【解析】解：对于A，1x+2y=(1x+2y)(x+3y)=1+6+3yx+2xy⩾7+2 6，当且仅当x= 2−1，y=132− 2时取等号，
故A正确；
对于B，x2+y2的最小值可看成是原点到直线x+3y=1的距离的平方，
由点到直线的距离公式可得d=1 12+32=1 10= 1010，故B错误；
对于C，令y=x−sinx，(x>0)，则y′=1−csx⩾0，所以函数y=x−sinx，(x>0)是增函数，又x=0时，y=0，
所以x>0时，sinx
也是最大值，f(x)=0，所以lnx⩽x−1(x=1时取等号)，
令g(x)=x−ex−1(0
所以0
【解析】解：因为f(x)=a3x+1+b是定义在R上的奇函数，且f(lg35)=12，
所以f0=a30+1+b=0a3lg35+1+b=12，解得b=34,a=−32，
所以f(x)=−323x+1+34，
所以f(1)=−3231+1+34=38．
故答案为38．
13.5n+1−54−3n
【解析】解：2CA+5(an+3)AD−(an+1+1)AB=0，
5(an+3)AD=(an+1+1)AB+2AC，
AD=an+1+15an+3AB+25an+3AC
因为D是△ABC边BC所在直线上一点，即B，C，D三点共线，
所以an+1+15an+3+25an+3=1，
整理得an+1+3= 5(an+3)，
所以数列{an+3}为等比数列，首相为a1+3=5，公比为5，
an+3=5n，an=5n−3，
数列{an}的前n项和Sn=51−5n1−5−3n=5n+1−54−3n．
14.(0,e−2]
【解析】解：令f(x)=xe2x−2ax−a(lnx+3)，x>0，
f′(x)=2x+1e2x−a2x+1x=2x+1e2x−ax，
当a<0时，f′(x)⩾0，f(x)在(0,+∞)上递增，
x→0,fx→−∞，不符合题意，舍去，
当a=0时，f(x)=xe2x⩾0在(0,+∞)上恒成立，符合题意;
当a>0时，设x=x0时，f′(x)=0，即e2x0=ax0，
f(x)在(0,x0)上递减，在(x0,+∞)上递增，
f(x)min=f(x0)=x0e2x0−2ax0−a(lnx0+3)=x0·ax0−2ax0−a(lnx0+3)=−2ax0−alnx0−2a，
由f(x)min≥0，得a(2x0+lnx0+2)⩽0，即2x0+lnx0+2⩽0，
令ℎ(x)=2x+lnx+2， ℎ(x)在(0,+∞)上递增，
x→0,ℎx→−∞，ℎ(1)=4，
所以存在x1，使得 ℎ(x1)=2x1+lnx1+2=0，即lnx1=−2−2x1，
当x∈(0,x1]时，ℎ(x)=2x+lnx+2⩽0，
即x0∈(0,x1]时，2x0+lnx0+2⩽0，
由e2x0=ax0，得a=x0e2x0，lna=lnx0+2x0，x0∈(0,x1]，
由于y=lnx+2x在(0,+∞)上单调递增，
所以lna=lnx0+2x0⩽lnx1+2x1=−2−2x1+2x1=−2，
所以0
15.解：(1)函数f(x)的定义域为x+3>0x−3>0，
所以定义域为(3,+∞)，
所以f(x)=lg2(x+3)−lg2(x−3)=lg2x+3x−3，x∈(3,+∞)，f(x)在定义域(3,+∞)上为减函数，
证明如下：
(法一)设任意x1，x2∈(3,+∞)，且x1
因为(x1+3)(x2−3)(x1−3)(x2+3)−1=6(x2−x1)(x1−3)(x2+3)，且x2>x1>3，
所以由x2−x1>0，x1−3>0，x2+3>0知6(x2−x1)(x1−3)(x2+3)>0，即(x1+3)(x2−3)(x1−3)(x2+3)>1，
所以lg2(x1+3)(x2−3)(x1−3)(x2+3)>0，因此f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在定义域上是减函数．
(法二) f′(x)=1(x+3)ln2−1(x−3)ln2=1ln2(1x+3−1x−3)=1ln2(6x2−9)，
因为x∈(3,+∞)，
所以f′(x)<0，所以函数f(x)在定义域上是减函数．
(2)f(x)=lg2(x+m)等价于x+m=x+3x−3>0即m=x+3x−3−x在[4,6]上有解．
记g(x)=x+3x−3−x，
因为g(x)=x+3x−3−x=6x−3−x+1，
所以g(x)在[4,6]上为严格减函数，
所以，g(x)max=g(4)=3，g(x)min=g(6)=−3，故g(x)的值域为[−3,3]，
因此，实数m的取值范围为[−3,3]，经检验满足题意，
综上：实数m的取值范围为[−3,3]．
【解析】(1)依题意，x+3>0x−3>0,求解即可，根据复合函数的单调性判断方法求解即可．
(3)分离参数得m=x+3x−3−x，结合函数的单调性求解即可．
16.解：(1)由y=y0e−kx可知，当x=0时，y=y0，当x=2时，y=(1−20%)y0，则有y0e−2k=(1−20%)y0，解得k=−12ln0.8，所以y=y0 e(12ln 0.8)x=y00.8x2，
故当t=4时，y=y00.82=0．64y0，即过滤4ℎ后还剩64%的有害物质．
(2)要使有害物质减少80%，则有y=15y0，y00.8x2=15y0，
因为y0>0，所以0.8x2=15，x2=lg0.815=lg15lg45=−lg5lg4−lg5=lg2−13lg2−1≈7，所以x≈14，
故要使有害物质减少80%大约需要过滤14小时．
【解析】(1)利用已知，首先求出k的值，再求出y=y00.8x2，再将t=4代入即可求出．
(2)利用对数的运算，求出x的值．
17.解：(1)由an+1=7an+3得an+1+12=7an+3+12=7an+72，
所以an+1+12=7(an+12)，
因为a1+12=72≠0，所以an+1+12an+12=7，
所以{an+12}是等比数列，首项为a1+12=72，公比为7，
所以an+12=72⋅7n−1，解得an=7n−12，n∈N∗；
(2)由(1)知：an=7n−12，所以1an=27n−1，
因为当n≥1时，7n−1≥6⋅7n−1，所以27n−1≤13⋅7n−1，
1a1+1a2+⋯+1an≤13(1+17+172+⋯+17n−1)=13⋅1−17n1−17=718(1−17n)<718，
所以1a1+1a2+⋯1an<718．
【解析】(1)根据递推关系和等比数列的定义证明，再由等比数列通项公式可得{an}的通项公式；
(2)易得1an=27n−1，所以27n−1≤13⋅7n−1，由等比数列求和即可得证．
18.证明：(1)①当x∈(0,+∞)时，ex>1，csx≤1，所以ex−csx>0，函数f(x)无零点；
②当x∈[−π2,0]时，f′(x)=ex+sinx=ℎ(x)，
ℎ′(x)=ex+csx>0，所以f′(x)在[−π2,0]上单调递增，
因为f′(−π2)=e−π2−1=1eπ2−1<0，f′(0)=1>0，
所以存在唯一x0∈(−π2,0)，使得f′(x0)=0，
所以f(x)在(−π2,x0)上单调递减，在(x0,0)上单调递增，
又因为f(0)=0，f(−π2)=e−π2>0，
所以存在唯一x1∈(−π2,x0)，使得f(x1)=0．
所以由①②知，当x∈[−π2,+∞)时，函数f(x)有两个零点为x1和0．
解：(2)若f(x)≥x2−ax在[0,+∞)上恒成立，即ex−csx≥x2−ax恒成立，
设g(x)=ex−csx−x2+ax，x∈[0,+∞)，即g(x)≥0在[0,+∞)恒成立，
g′(x)=ex+sinx−2x+a=t(x)，
t′(x)=ex+csx−2=m(x)，
而m′(x)=ex−sinx≥0恒成立，
所以t′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以t′(x)≥t′(0)=0，所以g′(x)在[0,+∞)单调递增，
①当a≥−1时，g′(x)≥g′(0)=1+a≥0，所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(0)=0在[0,+∞)上恒成立，所以a≥−1，
②当a<−1时，g′(0)=1+a<0，因为ex≥ex，sinx≥−1，
所以g′(1−ae−2)=e1−ae−2+sin1−ae−2−21−ae−2+a≥e1−ae−2−1−21−ae−2+a=1−a+a−1=0，
于是存在x2∈(0,+∞)，使得g′(x2)=0，
所以g(x)在(0,x2)单调递减，又因为g(0)=0，所以在x∈(0,x2)时，g(x)<0，不合题意．
综上，实数a的取值范围是[−1,+∞)．
【解析】(1)利用导数研究单调性即可得证；
(2)设g(x)=ex−csx−x2+ax，x∈[0,+∞)，即g(x)≥0在[0,+∞)恒成立，利用导数性质能求出a的取值范围。
19.解：(1)因为an+1=12−an，
所以1an+1−1−1an−1=112−an−1−1an−1=2−anan−1−1an−1=1−anan−1=−1，
又因为a1=13，
故{1an−1}是以−32为首项，−1为公差的等差数列;
所以1an−1=−32−(n−1)=−2n+12，
所以an=1−22n+1，n∈N∗；
(2)欲证n2−(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)
因为an>0，
由柯西不等式得：
(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)[(a1+an)+(a2+an−1)+⋯+(an+a1)]≥(a1+a2+⋯+an)2
令Sn=a1+a2+⋯+an，即(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)·2Sn⩾Sn2，
因为Sn>0，得到：2(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)≥Sn．
故原命题只需证n−ln(2n+1)
则y′=1x−1=1−xx，
当x∈(0,1)时，y′>0，当x∈(1,+∞)时，y′<0，
所以函数y=lnx−(x−1)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，
则lnx−(x−1)≤ln1=0，即lnx≤x−1，
1x替换x:ln1x≤1x−1，即lnx≥1−1x=x−1x，
令x=1+22n−1得22n+1
即得23+25+⋯+22n+1
(2)转化为求证n−ln(2n+1)<2(a12a1+an+a22a2+an−1+⋯+an2an+a1)，由柯西不等式，令Sn=a1+a2+⋯+an，转化为求证23+25+⋯+22n+1
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