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    2023-2024学年四川省达州市高二下学期7月期末监测数学试题(含答案)

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    2023-2024学年四川省达州市高二下学期7月期末监测数学试题(含答案)

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    这是一份2023-2024学年四川省达州市高二下学期7月期末监测数学试题(含答案),共9页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.已知z+ii=i,则z=( )
    A. 2B. 2C. 1D. 0
    2.已知集合P=xx2−x−2≤0,则( )
    A. ∁RP=xx≤−1 B. P∪N=N C. P∩N∗=1,2 D. P⊆Z
    3.已知单位向量a,b的夹角为π2,则a−b=( )
    A. 1B. 2C. 2D. 5
    4.已知双曲线C:x23−y24=1的左顶点为A1,右焦点为F2,虚轴长为m,离心率为e,则( )
    A. A1−3,0B. F21,0C. m=2D. e= 213
    5.在▵ABC中,AC=2BC=2,B=π2,将▵ABC绕边AC旋转一周得到一旋转体则该旋转体体积为( )
    A. π2B. πC. 3π2D. 2π
    6.已知▵ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanB=12,bcsA+c=0,则A=( )
    A. π4B. π2C. 2π3D. 3π4
    7.已知p:a≤0,q:函数fx=lnx−ax只有一个零点,则p是q的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    8.“不以规矩,不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规,“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺,是古人用来测量、画图的工具.如图,现有一椭圆经某同学以“矩”量之得F1P=6cm,F1Q=2cm,其中F1为椭圆左焦点,PQ经过坐标原点O,则该椭圆的离心率为( )
    A. 12B. 105C. 104D. 13
    二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.下列叙述正确的是( )
    A. 随机变量X∼Nμ,σ2σ>0,σ反映了随机变量X的分布相对于均值μ的离散程度
    B. 经验回归直线y=bx+a必过点x,y
    C. 样本相关系数r的绝对值越接近于1时,成对样本数据的线性相关程度越弱
    D. 决定系数R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越差
    10.已知fx=sinπx+csπx,则( )
    A. 函数fx的周期为2πB. 曲线y=fx关于直线x=14对称
    C. 函数fx在−12,0上单调递增D. k=1131fk=−1
    11.如图,等边▵ABC的边长为4,D为边AB的中点,将▵ABC沿CD折成三棱锥A1−BCD,A1,B,C,D都在球O的球面上.记A1C,A1D,A1B与平面BCD所成的角分别为α1,β1,γ1,平面A1DC,A1DB,BDC与平面A1BC所成的角分别为α2,β2,γ2,则( )
    A. CD与A1B所成的角为定值B. 球O的表面积的最大值为20π
    C. 2tanβ1≠1tanα1+1tanγ1D. 存在点A1使得α2=β2=γ2
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.在等比数列bn中,b1b2b3=27,b4=9,则b6= .
    13.1+ x10的展开式中x2项的二项式系数是 (用数字作答).
    14.已知函数fx=ax−a−x−a(a>0且a≠1),若不等式faex+flna−lnx+2a≤0恒成立,则a的取值范围是 .
    四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题12分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为正方形,▵PAD为等边三角形,AB=2.点M,N分别为AD,BC的中点.
    (1)证明:AD⊥平面PMN;
    (2)若PB=2 2,求平面PBC与平面ABCD的 夹角的余弦值.
    16.(本小题12分)
    随着人工智能的飞速发展,AI应用场景越来越多.最近AI自习室在家长圈、学生圈中持续走热.某校随机抽取400名学生进行调查,其中期末综合素质测评等级为良好的共180人,有120人利用AI自习室学习并且期末综合测评等级为优秀,有200人未利用AI自习室学习
    (1)完成2×2列联表,依据小概率值α=0.05的χ2独立性检验,能否认为期末综合素质测评等级为优秀与利用AI自习室学习有关联?
    (2)现有从利用AI自习室学习的学生中以期末综合素质测评等级为依据,用分层随机抽样的方法抽出的10名学生.从这10名学生中随机选取4人进行访谈,记这4人中期末综合素质测评等级为优秀的人数为X,求X的分布列(用表格表示)与数学期望.
    附:χ2=nad−bc2a+cb+dc+da+b.
    17.(本小题12分)
    已知函数fx=13x3−12x2−2x+3,gx=2−lnx.
    (1)求函数fx的极值;
    (2)曲线y=fx在x=0处的切线方程为y=ℎx,证明:gx>ℎx.
    18.(本小题12分)
    把一个无穷数列an从第2项起,每一项减去它的前一项,得到一个新数列,此数列叫做原数列an的1阶差数列.对1阶差数列作同样的处理得到的数列叫做原数列an的2阶差数列,如此类推,可得到原数列an的K阶差数列.如果一个数列an的K阶差数列是由一个非零常数D组成的常数数列,则称这个数列an为K阶等差数列,非零常数D叫做数列an的K阶公差.
    例如,原数列:14,24,34,44,54,64,74,⋯⋯
    1阶差数列:15,65,175,369,671,1105,⋯⋯
    2阶差数列:50,110,194,302,434,⋯⋯
    3阶差数列:60,84,108,132,⋯⋯
    4阶差数列:24,24,24,⋯⋯
    所以原数列为4阶等差数列,24为该数列的4阶公差.
    已知数列an是2阶等差数列,2阶公差为1,且a1=1,a2=2.
    (1)已知数列bn是数列an的1阶差数列,求数列bn的通项;
    (2)求数列an的通项公式;
    (3)数列cn的前n项和为Sn,c1=1,cn=1an−1n≥2,证明:1≤Sn0的焦点,过F的直线l交C于点P,Q.当l的斜率为1时,PQ=8.
    (1)求C的方程;
    (2)已知圆H:x2+y+12=1.
    (i)若直线m与C,H都相切,求m的方程;
    (ii)点N是H上的动点,点M是y轴上的动点,若四边形MQNP为菱形,求所有满足条件的点M的纵坐标之和.
    参考答案
    1.B
    2.C
    3.B
    4.D
    5.A
    6.D
    7.A
    8.C
    9.AB
    10.BCD
    11.ACD
    12.27
    13.210
    14.1e,1
    15.解:(1)由底面ABCD为正方形,所以AD/​/BC且AD=BC,
    因为点M,N分别为AD,BC的中点,所以AM=BN,
    所以四边形ABNM是平行四边形,又∠BAM=90∘,
    所以四边形ABNM是矩形,所以NM⊥AD,.
    又▵PAD为等边三角形,所以PM⊥AD,
    又PM∩MN=M,PM,MN⊂平面PNM,
    所以AD⊥平面PMN;
    (2)因为AB=2,底面ABCD为正方形,▵PAD为等边三角形,所以PA=2,
    又PB=2 2,所以PB2=PA2+AB2,所以∠PAB=90∘,
    所以AB⊥PA,又AB⊥AD,AP∩AD=A,AP,AD⊂平面PAD,
    所以AB⊥平面PAD,又AB⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD,
    又PM⊥AD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以PM⊥平面ABCD,
    又MN⊂平面ABCD,所以PM⊥MN,
    又可得PM= 3,MN=2,所以PN= 3+4= 7,
    由(1)可得AD⊥平面PMN,又AD/​/BC,
    所以BC⊥平面PMN,PN⊂平面PMN,所以BC⊥PN,
    所以∠PNM是平面PBC与平面ABCD的夹角,
    所以cs∠PNM=NMPN=2 7=2 77.
    所以平面PBC与平面ABCD的夹角的余弦值为2 77.
    16.解:(1)由题可得2×2列联表为:
    χ2=40080×100−120×1002180×220×100×100=4.040>3.841,
    所以能认为期末综合素质测评等级为优秀与利用AI自习室学习有关联.
    (2)由题意可得利用AI自习室学习的学生中良好,优秀的人数分别为80人,120人,
    所以用分层随机抽样的方法抽出的10名学生中良好,优秀的学生人数分别为4人,6人,
    从这10名学生中随机选取4人进行访谈,记这4人中期末综合素质测评等级为优秀的人数为X,
    则X的值为0,1,2,3,4.
    P(X=0)=C44C104=1210,P(X=1)=C61C43C104=435,P(X=2)=C62C42C104=37,
    P(X=3)=C63C41C104=821,P(X=4)=C64C104=114,
    所以X的分布列为:
    E(X)=0×1210+1×435+2×37+3×821+4×114=125
    17.解:(1)f′x=x2−x−2=x+1x−2,
    令f′x=0,得x=−1或x=2,
    所以函数的极大值为256,函数的极小值为−13;
    (2)由(1)可知,f′0=−2,且f0=3,
    所以曲线y=fx在x=0处的切线方程为y−3=−2x−0,即ℎx=3−2x,
    要证明gx>ℎx⇔lnx

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